Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3828 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

6.231 ДВА ПРИМЕРА ИЗ СТАТПСТИЧЕСКОП МЕХАНИКИ 269

Требуется найти производящую функцию числа до пустимых помеченных подграфов с k ребрами для поме ченного графа, который представляет собой «-мерную решетку. Подграф является допустимым, если все его

вершины имеют четную	степень. Д о	сих пор	эта задача
была решена только для	/ г = 1 (Изинг)	и / 1 = 2	(Онзагер) .

Пример графа Изнпга приведен на рис. 6.56. Под робное рассмотрение задачи Изинга можно найти в ра боте [65] . Интересные работы по статистике решеток опубликованы Монтроллом. Работы сопровож даются хорошей библиографией.


Рассмотрим			вторую	интерес
ную	задачу	статистической меха
ники	(решалась		Монтроллом		и
П ф а ф ф и а п с о м ) ,			которая	возника
ет в	теории	абсорбции двухатом
ных	молекул (димеров)			на	по	Рис. 6.56.
верхностях.		При этом		к а ж д а я		Рис. 6.56.
верхностях.		При этом		к а ж д а я

двухатомная молекула «прилипает» па плоскую решетку

так,	что	каждый	из	атомов попадает		на узел решетки.
З а д а ч а		состоит	в определении		числа	возможных	соеди
нений ближайших соседей на двухпериодической							решет
ке	(прямоугольная			решетка,	к а ж д а я	пара противопо

ложных сторон которой объединена, в результате чего

образована	решетка	на	торе)	таких,	при которых не
остается пи	одного	узла решетки, не			занятого	атомом.
Эта з а д а ч а эквивалентна определению числа						спосо
бов, которыми можно			покрыть	прямоугольную		доску,

разделенную на клетки, прямоугольными фишками, со

стоящими из	двух	клеток	того	ж е	размера, что		и на
доске (типа	домино) . Очевидно,			доска		д о л ж н а	содер
ж а т ь четное	число	клеток	и, кроме		того,	должна	иметь

четное число клеток, по крайней мере, вдоль одной стороны.

Более сложной математической задачей является задача раскладки, в которой требуется найти число спо собов покрытия двухмерной решетки п квадратами .

Причем квадраты		могут	быть	двух	типов:	единичные
и двойные. Считается, что			n =	/ii-\|-2/i2, где		щ — число
единичных	квадратов, а		— число		двойных	квадратов
(см. т а к ж е	раздел.	6.13).

270 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ [ГЛ. 6

6.24. Генетическая з а д а ч а

Бенцер [2] сформулировал следующую задачу о воз можных соединениях, допустимых конфигурацией хими ческих компонент генов. Если такими компонентами являются трехмерные молекулы, то они могут быть сое

динены	вместе в соответствии с определенной структурой.
Это объединение может быть представлено в		трех
мерном	пространстве, е с л и . к а ж д о й молекуле	постав

лена в соответствие некоторая вершина и вершины сое динены прямыми линиями при наличии связи между соответствующими молекулами . Возникает вопрос, мож

но ли расположить молекулы на одной						и той	ж е пря-
'мой линии так,		чтобы они		сохранили	прежние связи?
' К а ж д а я	молекула		представляется при			этом	отрезком
прямой. Если пара			молекул	связана,	то	соответствую
щие им отрезки взаимно перекрываются. Таким							образом,
з а д а ч а	состоит	в	нахождении условий,			при	которых

граф связей можно представить с помощью пересекаю щихся определенным образом отрезков одной прямой липни, т. е. необходимо так сопоставить отрезки с вер шинами, чтобы два отрезка пересекались тогда и только

тогда, когда они соответствуют смежным	вершинам.
Граф, который может быть представлен таким	образом,
будет называться графом отрезков. Например,	треуголь

ник можно представить на действительной оси перекры

вающимися отрезками (0,

3),

(1, 4) н

(2, 5). С другой

стороны,

цикл,

состоящий

более

чем

из

трех

вершин,

не может

быть представлен рассматриваемым способом.

Было

показано

[59],

что

если

граф

не содержит

ни

одного из

пяти

типов

подграфов,

представленных

на

рис. 6.57

(т. е. имеющих только те связи

между

верши

нами, которые показаны на рисунке), то

он

может быть

изображен с помощью отрезков на прямой.

Биологическая

з а д а ч а

ее

общем

виде

связана

мутантными генами. Требуется проверить соответствие линейной модели гена заданной информации о пересече-

кии (соединении)	пар.
Фалкерсон и	Гросс показали, что	задача		определе
ния графа отрезков является частным случаем				следую
щей задачи, которую они решили: дана (0,			1)	матрица
А (у, е, матрица,	элементы которой	равны	0	или 1).

6.24]

ГЕНЕТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

'271

Найти условия, при которых можно путем перестановки строк матрицы получить новую матрицу, в к а ж д о м столбце которой единичные элементы расположены не посредственно друг за другом. Заметим, что сопостав ление графа произвольной матрице А оказывается не однозначным. Один из способов, например, состоит в.

	4 (п+4	вершины;	л ^ О
		Рис. 6.57.
построении графа	пересечений		столбцов А. (Граф	пере
сечений семейства	из п	множеств получается, если		к а ж

дому множеству поставить в соответствие вершину и сое динить пару вершин ребром, когда соответствующие им множества имеют непустые пересечения.)

П р и решении сформулированной задачи вводится понятие графа «перекрытий» (отличается от «пересече

ний»)	и понятие	графа	компонент.
Применительно к графу отрезков матрица А				д о л ж н а
рассматриваться		как	матрица инциденций доминирую
щих	клик. (Множество вершин, к а ж д а я пара			которых

272	П Р И К Л А Д Н Ы Е З А Д А Ч И	Т Е О Р И И	Г Р А Ф О В	[ Г Л . 6
соединена	ребром, называется	кликой	графа.	Если се-

мество всех таких множеств вершин частично упорядо чено по множеству включении, то максимальные эле

менты называются	доминирующими	кликами	графа .
Учитывая, что две	вершины связаны	ребром	тогда и

только тогда, когда они принадлежат некоторой доми нирующей клике, можно считать, что матрица пицнденцнй доминирующих клик полностью определяет граф.) В результате граф является графом отрезков тогда и только тогда, когда единичные элементы во всех столб цах матрицы нпцпденций доминирующей клики распо ложены последовательно друг за другом. Гплмор и Гоф

ман	[31]	доказали,		что граф G является графом отрез
ков	тогда		и только	тогда, когда к а ж д а я квадратная
решетка		в	G имеет	диагональ и к а ж д ы й цикл нечетной
длины в		дополнительном графе имеет треугольную хор

ду. Треугольная хорда цикла, проходящего через вер

шины	О ] v k ,	есть любое	ребро (и,-, vi+2),	l^LL^Lk—2,
д А - ь	У \| ) "л»	(У*, ^г) .
	З А Д А Ч И И З У Ч Е Н И Я Ч Е Л О В Е К А И О Б Щ Е С Т В А
		6.25. Графы	и кибернетика

При чтении настоящего раздела читатель должен сравнить и противопоставить представленные здесь по

нятия и понятия раздела 6.30.	В результате	он	обнару
ж и т некоторое пересечение понятий, но общие			идеи в
этих двух разделах проявляются	совершенно	по-разному.

Преобразования, обсуждаемые в данном разделе, т а к ж е являются более общими, по сравнению со специальным

преобразованием,		при		котором		каждый		член	группы
отображается в новый член добавлением								(в предполо
жении аддитивности			группы) некоторого					фиксированно
го члена	группы.
Понятия изменения				и	выбора	являются		важнейшими
в биологии и эволюции. Рассмотрим вначале									понятие
изменения, например			изменение			цвета	человеческой ко
ж и под воздействием солнечных лучей. Назовем									бледную
кожу операндом,		темную			кожу — результатом				преобра
зования,	солнечный		свет — оператором,				а	само	измене-

6.25]	Г Р А Ф Ы И	К И Б Е Р Н Е Т И К А		273
мне — переходом.	Переход	может	быть	представлен
в виде
Бледная к о ж а — ^ т е м н а я			кожа .

Множество переходов, выполняемых одним операто ром на множестве операндов, будем называть преобра зованием. Схематически преобразование может быть представлено в виде

| a b с

\ а' Ь' с'

Преобразование замкнуто, если множество результа тов преобразований не содержит элементов, которые не принадлежат множеству операндов. Так, преобразование

| a b с

Ь с а а

замкнуто.

Преобразование является однозначным, если оно пе реводит один операнд точно в один результат преобра зования (множество результатов преобразования может содержать одинаковые элементы) . Так,

| a b с \ с а а

является однозначным преобразованием. С другой стороны,

\|	a	b	с
I	с или	d е или /	g или	h
не является однозначным.			взаимно	однозначным,
Преобразование		называется	взаимно	однозначным,

если множество результатов не содержит одинаковых элементов. Например,

| a b с Ь с a b

есть взаимно однозначное преобразование, а

| a b с I с а а

им не является.

18 Р Басакер, Т. Саати

274	ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ	ГРАФОВ	[гл. е

Р а с с м о т р им теперь пример применения последова тельных однозначных преобразований к некоторому множеству операндов, который проиллюстрирует прин цип «выбора» па множестве операндов:

A B C D E F G H 1 J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D I F F E R E N C E B E T W E E N A M E R M A I D A F C R R E A E W F E I E E A E E W D T E A T D C F D R F A A E D E A R E C E E D E E A F E E D E F F R F A R D D E F E D A E F E E F E E D R E E F E R R A R

(вторая	строчка	является частью предложения,		взятого
из произведения		М а р к а Твена	«Письма с З е м л и » ) . За
метим,	что у ж е	после четырех	преобразований	исходное

множество из 26 элементов сводится к множеству из 5. Выполненные выше последовательные преобразования

Р	J
Рис. 6.58.

могут быть представлены ориентированным графом, ко


торый Эшбн			называет кинематическим				(рис. 6.58). З а м е
тим,	что вершины, п р и н а д л е ж а щ и е контурам								(или	пет
л я м ) ,	при	последовательных				преобразованиях			не	уда
ляются. Контуры в кинематическом							графе	называются
бассейнами		равновесия,		так		как они	инвариантны			или
меняются		периодически		при	последовательных				преобра
зованиях.		В	эволюционной			терминологии			элементы,
п р и н а д л е ж а щ и е контурам,					называются выживающими
при	данном		преобразовании.			(Элементы		в	исходном

множестве операндов могут представлять собой совокуп

ность генов, подверженных				облучению.)	Заметим, что
ни один	из	элементов не	теряется при		преобразовании
только	в	случае,, когда	это	преобразование является

6.25] ГРАФЫ И КИБЕРНЕТИКА 275

взаимно однозначным. В терминах теории графов полу чим следующую теорему.

Теорема 6.11. Кинематический граф состоит из не скольких простых контуров, не имеющих общих вершин,

тогда и только тогда, когда преобразование		взаимно
однозначно.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если	преобразование	взаимно
однозначно, то отрицательная	и положительная	степени

каждой вершины равны единице. Таким образом, дуги могут быть разбиты на простые контуры, которые обя зательно ие будут иметь общих вершин.

Сдругой стороны, если дуги образуют множество

контуров, ие имеющих общих вершин, то положительная и отрицательная степени каждой вершины равны еди нице и преобразование является взаимно однозначным.

Кинематический

граф

тождественного

преобразования

состоит из /г = 3

петель

(рис.

6.59). Если

преобразование

ие является

взаимно

однозначным,

то для выбора ми

нимального

числа

элементов

оно

должно применяться

столько раз, сколько дуг содержится в

длиннейшем из

путей

от

вершины

вне

контура до первой верши

ны в

контуре.

биологической

точки

зрения для

Эшби

важно,

о-

г,

что при любом преобра-

р , | с

6.59.

зовании, отличном от вза

имно

однозначного,

многообразие

множества

элементов

будет убывать и никогда не может возрасти. Применяе мое преобразование будет «выбирать» некоторое под

множество исходного			множества.
Преобразование можно представить матрицей вер
шин, например:					а	ь	с
					а	ь	с
\ а	b	с	П р е д С Т а в л я е т с я а 0 0				1
\ с	а	а	как	Ь	1	0	0
\ с	а	а	как	с	1	0	0
				с	1	0	0

З а д а ч а	определения элементов, которые будут выбирать
ся при	m-кратном повторении преобразования, эквнва-
18*

276 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ [ГЛ. G

лентна задаче определения столбцов матрицы, которые содержат положительные элементы после возведения матрицы в т - у ю степень.

Матрица взаимно однозначного преобразования яв ляется единственной матрицей однозначного преобразова

ния, содержащей	единичный элемент		в	к а ж д о й	строке и
к а ж д о м столбце.	Следовательно,	это	единственная мат
рица, которая может быть примитивной. Таким					образом,
		\| a	b	с
	а	0	0	1
	дает 6	1 0		0
	с	0	1	о

Третья степень этой матрицы есть матрица, все эле менты которой равны единице. Матрица будет прими тивной только в том случае, если кинематический граф связен. В противном случае будут существовать k прими тивных подграфов. Рассмотренный подход может быть обобщен на многозначные преобразования, эквивалент ные марковским цепям.

Кроме понятия изоморфизма преобразований, кото рое совпадает с понятием изоморфизма графов, Эшбн


определил	понятие		гомеоморфизма		преобразований.
Требования для гомеоморфизма менее жесткие,							чем для
изоморфизма . Д в а		множества		операндов		гомеоморфны,
если применение		преобразования объединения					к более
сложному	множеству		может	свести	его к	множеству,

Рас. 6.60.
которое изоморфно с более простым. В	терминах гра
фов два графа будут гомеоморфиыми,	если соответ

ствующее стягивание подграфов графа с большим чис лом вершин в отдельные вершины дает граф, который изоморфен более простому графу. Д в а графа па рис. 6.60 гомеоморфны.

П Р И М Е Н Е Н И Я В	С О Ц И О Л О Г И И	277
6.26. Применения	в социологии
Ориентированный граф	может быть	использован

для представления общественной иерархии или родства. Рассмотрим простой пример [91] . Пусть имеется семен

ная	группа, состоящая		из	Дэвида	( D ) , его сына	Д ж о н а
(J)	и дочери	Г р е й с ( G ) ,		жены Д ж о н а Сильвии		(S) и
двух	сыновей	Майкла	(М), Ричарда		(R), дочери	Эмилии

Граф отношения Р(сынкого-то}	Граф отнои/еная @(ре/?ет/пк.п7го-го)
Рпс.	6.61.

(Е)	и сына	Грейс Бена	(В) .	Связи Р	(означает чей-то
сын)	и Q	(означает	чей-то	ребенок)	иллюстрируют

ся ориентированными графами рис. 6.61. Соответствую

щие матрицы для этих графов					имеют				вид		*
	D	G	в	J	s	E	R		M
D / 0 0 0 0 0						0	0		0	\
G	0	0	0	0	0	0	0		0
в	0	1	0	0	0	0	0		0
J	1	0	0	0	0	0	0		0
S	0	0	0	0	0	0	0		0
Е	0	0	0	0	0	0	0		0
R	0	0	0	1	1	0	0		0
М	0	0	0	1	1	0	0		o,
	D	G	в	J	s		E	R
D	'0	0	0	0	0		0	0		°1
	1	0	0	0	0		0	0		°1
G	1	0	0	0	0		0	0		0
в	0	1	0	0	0		0	0		0
J	1	0	0	0	0		0	0		0
S	0	0	0	0	0		0	0		0
Е	0	0	0	1	1		0	0		0
R	0	0	0	1	1		0	0		0
М	,0	0	0	1	1		0	0		oj

278 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ [ГЛ. 6

Взяв произведение матриц,

получим

матрицу

отноше

ний

(сын

ребенка, т. е. чей-то

внук):

с.

М . 1

Рассмотрим еще одни пример.

Ставился эксперимент по изучению эффективности

схем

связи. К а ж д о м у

из

пяти

лиц, участвовавших в экс

перименте, выдавалось

пять

символов

из

шести

[57]

следующих:

•

В к а ж д о м опыте все участники имели

только

один

об

щий

символ.

Д л я

каждого

участника

фиксировалось

число сообщений и время, необходимое

для опознава

ния

<*бщего

символа.

Использовались

четыре схемы

связей,

изображенные

на

рис.

6.62

(предполагается,

что

связь

по

любому

реб

ру

возможна

в двух

направлениях) . Эти

схемы

предпо

л а г а ю т возрастание

степени

централизации

для

лица С

и степени изоляции для других четырех лиц. Структура графов обеспечивает гибкость связи, т. е. при любой схеме существует несколько способов передачи инфор мации и лидер может представляться любой из вершин (наиболее часто лидером было лицо С ) .

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3828 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202318.51 Mб41Барташев Л.В. Технико-экономические расчеты при проектировании и производстве машин.pdf
#
24.10.20239.52 Mб53Бартенев Г.М. Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла.pdf
#
29.10.20234.6 Mб15Бартль С. Атом в Арктике.pdf
#
19.10.20232.01 Mб17Бархатный, В. Д. Выбор участков и способов организации работы локомотивных бригад.pdf
#
19.10.20236.31 Mб21Барыкин, К. К. h = 533. (О московской телебашне).pdf
#
25.10.202312.41 Mб76Басакер Р. Конечные графы и сети.pdf
#
29.10.20234.3 Mб22Басалов Ф.А. Некоторые вопросы техники сверхвысоких частот [конспект лекций].pdf
#
19.10.20237 Mб28Басевич, В. В. Корабли не умирают.pdf
#
19.10.20233.4 Mб24Басистов, М. А. Взрывные работы при сооружении земляного полотна железных дорог.pdf
#
22.10.202313 Mб19Баскаков, А. П. Нагрев и охлаждение металлов в кипящем слое.pdf
#
19.10.20232.92 Mб39Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf