книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

6.151 АНАЛИЗ ТЕХНИЧЕСКИХ-СИСТЕМ 239

только один вид энергии) этот метод может быть рас­ пространен на «смешанные» системы, в которых различ­ ные элементы работают с различными видами энергии и связаны между собой через соответствующие устройства согласования.

Рассмотрим набор из т двухполюсников, которые

набор сопротивлений, конденсаторов, нндуктивностей и источников напряжения (в простейшем с л у ч а е — б а т а ­

элемент системы можно адекватно охарактеризовать из­ вестным уравнением, связывающим две основные пере­

Выбор переменных и использование терминов «ток» и «напряжение» будут скоро понятны.

основных переменных как функцию времени (это может

узлов, то полученный ориентированный граф дает удоб­ ную характеристику структуры соответствующей реаль­ ной технической системы. Важное для нашего рассмот-.

240 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ [ГЛ. 6

соответствующих дугам, инцидентным любой заданной вершиной, равна пулю.

Под алгебраической суммой понимается следующее:

выбираться переменная, размерность которой обеспечи­

Ц и к л и ч е с к о е п р а в и л о . Алгебраическая сумма напряжений, соответствующих дугам любого элементар­

дое напряжение добавляется или вычитается в зависи­

бая другая вершина, отличная от vu то алгебраическая сумма напряжений по любой цепи, ориентированной от v\ к ии не зависит от выбранной цепи. (Здесь предпола­ гается, что граф связен и, следовательно, существует,

Рис. 6.36. Рпс. 6.37.

по крайней мере, одна такая цепь.) Используя эту фор­

выбранного потенциала исходной вершины. Очевидно, величины напряжении будут соответствовать разностям потенциалов.

Процесс получения уравнений, характеризующих систему в целом, на основе уравнений ее элементов и за­ данной структуры проводится в два этапа. Сначала с помощью вершинного и циклического правил уменьша­ ется количество переменных, соответствующих токам и напряжениям . В результате выделяется множество не­ зависимых переменных, через которые можно выразить все переменные системы. Затем выписываются уравнения связи переменных тока и напряжения . Рассмотрим пер­ вый этап процесса.

Применяя к вершине vt правило вершин, получим

т

2 dijXj = О,

/ =1

15 Р. Басакер, Т. Саати

242 ПРИКЛАДНЫЕ ЗлдлчМ ТЕОРИИ ГРАФОВ [ГЛ. S

нальные подпространства, которые вместе образуют

к = [KJI) н с = (//с12)

при выборе хорд стягивающего дерева в качестве первых т—п-\-\ столбцов. Здесь / — единичные матрицы. Раз ­ бивая таким же способом вектор токовых переменных, получим

где Хс и Хь относятся к хордам и ветвям дерева соот­ ветственно. Правило вершин означает, что

(Л„7) ( £ ) - а

Следовательно,

в хордах. Аналогичным образом, циклическое правило

последнее из которых в ы р а ж а е т напряжения на хордах через напряжения иа ветвях. Применение этих соотно­ шений составляет первый этап анализа. В результате число рассматриваемых в явном виде переменных, со-

214 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ [ГЛ. 6

матрица, характеризующая основные уравнения, имеет более сложную структуру и решение результирующей системы уравнений получается более сложно. Тем не ме­ нее, роль графа, представляющего систему, остается по существу той ж е самой. Более подробные сведения чи­ татель сможет получить в работах [14], [15], [17], [22] и [27], приведенных в литературе к главе 1.

6.16. Сети связи

Рассмотрим сначала некоторые качественные аспекты связи между членами некоторой группы. Члены группы могут общаться несколькими способами, например устно, письменно или жестами . Средства общения, используе­ мые членами группы, образуют в результате сеть связи для этой группы. Сеть в данном случае есть граф, вер­ шины которого соответствуют членам группы, а ребра

пунктами, соответствующими вершинам, причем стрелки показывают направления возможной передачи сообще­ ний. Матрица вершин этого графа имеет вид

Упражнение 6.22. Используя матрицу вершин, ответьте па сле­ дующие вопросы.

а) Со сколькими пунктами непосредственно связан каждый от­ дельный пункт системы?

b)Сколько пунктов непосредственно связано с каждым отдель­ ным пунктом системы?

c)Сколькими способами каждый пункт связан с любым другим через один промежуточный пункт?

d)Может ли каждый пункт быть связан непосредственно или косвенно с каждым другим пунктом?

Пусть Ъ сети связи задано подмножество соединении вершин (непосредственно через дуги или косвенно через пути), что является необходимым условием обеспечения связи между пунктами. Возникает вопрос, можно ли ре­ шить требуемую задачу взаимодействия пунктов связи с помощью заданной сети. Как правило, существуют различные способы изменения взаимодействия пунктов сети. Каждый такой способ соответствует определенной структуре сети. Структура может быть оптимальной по некоторому критерию, например по минимуму обшей стоимости работы.

З а м е ч а н и е . На сильно связных графах определя­ ется интересная мера, называемая индексом централь­

центральности вершины v( есть

п

ч

2 rati i=i

Глобальный индекс центральности графа получается суммированием по всем /.

Упражнение 6.23. Вычислите индексы центральности и глобаль­ ный индекс центральности для нескольких графов. Сравните с поня­ тием радиуса.

С и н т е з с е т и с в я з и

Рассмотрим теперь ряд задач, в которых в а ж н ы коли­ чественные характеристики каналов связи. В сети связи (представляющей собой связный обыкновенный граф)

его пропускная способность, т. е. число, которое ограни­ чивает общее количество сообщений, передаваемых меж­

ределяет пропускную способность ребра, инцидентного двум вершинам, соответствующим этому элементу. Эле­ менты па главной диагонали одинаковы и равны произ­ вольному числу d. Из матрицы В можно получить тер­

мально возможные потоки сообщений между любыми парами вершин.

Элементы матрицы Т получаются с помощью нахожде­ ния всех разрезов, разделяющих рассматриваемую пару вершин, считающихся терминалами, вычисления суммы пропускных способностей ребер в каждом разрезе и оп­ ределения минимальной суммы.

Приводимые ниже рассуждения несколько предвос­ хищают результаты, строго обоснованные в главе 7, где, в частности, показывается, что максимально допус­

ж е предлагается систематический метод определения та­ кого критического разреза .

Таким образом, матрица В однозначно определяет матрицу Т. Одна из интересных задач заключается в оп­ ределении условий, при которых данная симметрическая матрица может рассматриваться (реализуется) как тер­ минальная матрица пропускных способностей Т. Д р у г а я задача состоит в том, чтобы найти систематическую процедуру получения В из Т (здесь может быть несколь­ ко матриц В), которая обеспечивала бы минимально возможную сумму пропускных способностей ребер. Эта задача известна как задача синтеза сети связи с задан ­ ными терминальными характеристиками.

Е рнемся к задаче реализуемости матриц. Рассмот­ рим разрез, соответствующий минимальному элементу t\ в Т. Этот разрез разделяет граф на две компоненты: