Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3824 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

б.М] МАКСИМАЛЬНЫЕ ПАРОСОЧЕТАННЯ 229

мальным, то			существует	чередующаяся			цепь,		соединяю
щ а я	две вершины, не покрытые множеством М.								(Обратное
у ж е	было	установлено.)		Допустим,		что		паросочетание
М' имеет		на	одно ребро больше, чем М, и рассмотрим
граф	G'=(V,		М@М'),	содержащий		только			те	ребра,
которые встречаются в				М или	М', но не			в обоих		одно-,
временно.			G' не существует				v
В	графе				вершины			степени		боль

ше чем 2, так как вершине v инцидентно самое большее


одно ребро в М и одно					в М'.	Компоненты			G', исключая
изолированные		вершины, соответствуют						чередующимся
цепям и	чередующимся				простым		циклам		относительно
М (и М').	К а ж д ы й		из	циклов		содержит		одинаковое чис
ло ребер из М и из М'.					Следовательно, должна					быть, по
крайней	мере,	одна		компонента,			которая		соответству
ет чередующейся			цепи		и в которой число ребер, при
н а д л е ж а щ и х		М',	на		единицу		больше		числа	ребер,

принадлежащих М. Конечные точки такой цепи обяза тельно останутся непокрытыми ребрами М. Теорема доказана .

На основе предыдущей теоремы можно решать	з а д а
чу нахождения максимального паросочетания, если	най

ти удобный метод поиска чередующегося расширения в

том

случае,

когда

оно существует.

Действительно,

мы

могли

бы

начать

с .«пустого»

паросочетания

М0,

найти

чередующую

цепь

С\

(единственное

ребро в

этом

слу

чае)

и определить' М\ = М0@С1ш

В общем

случае,

можно

т а к ж е

определить

Л1; =Л1( _j(х)С,-, где

С, —

чередующаяся

цепь,

соединяющая две вершины, непокрытые относи

тельно

М.

В конечном

счете мы

придем

некото

рому

г'-му

этапу,

на

котором

чередующееся

расширение

C,-+i

не

существует.

Тогда

Л1{ — максимальное

паро

сочетание.

Известно несколько эффективных алгоритмов нахож

дения

максимальных паросочетаинй в двудольных гра

фах

(см.,

например,

[22]

и. [ 4 9 ] ) . Алгоритм,

описанный

ниже, применим для любых графов. Он основан на си стематическом поиске чередующихся расширений и по следовательном расширении паросочетаний. В процессе его функционирования находятся определенные области графа (соответствующие так называемым венгерским деревьям), которые могут быть удалены при дальней-

гзо	ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ			[ГЛ. G
т е м	поиске без	опасности	потери каких-то чередующих
ся расширении.		Алгоритм	может т а к ж е стягивать	опре

деленные подграфы (связанные с соответствующими

циклами нечетной длины)

в одну

«псевдовершину», уп

рощая

тем

самым процедуру поиска.

Перед

тем

как переходить

описанию

алгоритма,

введем несколько вспомогательных понятий.

Чередую

щееся

дерево — это дерево, вершины

которого

разбиты

на

два

класса

(называемые

внутренними

внешними

вершинами)

так, что к а ж д а я

внутренняя

вершима имеет

степень 2 и каждое ребро соединяет внутреннюю

верши

ну

внешней.

(Заметим,

что

все

«конечные»

вершины,

т.

е.

вершины

степени 1, обязательно

внешние.)

Пример

Рис. 6.30.

чередующегося дерева показан на рис. 6.30, а (зачернен ные вершины соответствуют внешним) . Число внешних вершин чередующегося дерева всегда точно на единицу

больше	числа внутренних вершин. Действительно, каж
дое ребро дерева инцидентно в		точности одной внут
ренней	вершине. Следовательно,	если существует in
ребер,	то существуют //г/2 внутренних вершин и ( « г + 1 ) —


— т / 2 = т / 2 - j - 1				внешних		вершин.
Чтобы найти максимальное паросочетание чередую
щегося дерева, нужно					выбрать		любую внешнюю		верши
ну в качестве v0				и определить			d{, число	ребер	в	цепи,
соединяющей			v0	с любой другой вершиной и,-. Считается,
что	d0=0	(этот		процесс		иллюстрируется		рис.	6.30,		Ь).
К а ж д а я		внутренняя вершина у(					смежна в	точности		с	од
ной	внешней		вершиной			так,	что 0 ^ = 6 ^ + 1 (т. е. vt				ле
жит	«между»		v0	и Vj). Множество ребер,				соединяющих
все	такие пары			о,- и vh	образует паросочетание. Это						па
росочетание			обязательно			будет	максимальным,		так		как

6.14]

МАКСИМАЛЬНЫЕ ПАРОСОЧЕТАННЯ

231

только одна вершина vn не покрыта. Соответственно для каждой внешней вершины . существует максимальное паросочетаипе, оставляющее только эту вершину непо крытой, и каждое максимальное паросочетание череду ющегося дерева принадлежит к названному типу.

Упражнения 6.18. Доказать, что множество ребер, определенных в предыду

щем абзаце, образует паросочетаипе.

6.19.Доказать, что вершина, оставшаяся непокрытой максималь ным паросочетанием в чередующемся дереве, не может быть внутрен ней вершиной.

6.20.Доказать, что максимальное паросочетаипе в чередующемся дереве обладает тем свойством, что цепь, соединяющая непокрытую вершину с любой другой вершиной, является чередующейся цепью. (Другие вершины, в общем случае, не обладают этим свойством.)


Если М — паросочетаипе				в графе G,			то растущее		де
рево	в G есть	чередующееся		дерево		Т в	G такое, что		все
ребра	паросочетапия,		которые		инцидентны			вершинам
7", являются		ребрами	дерева		и	эти	ребра	образуют

максимальное паросочетаипе для Т. Единственная не

покрытая вершина Т называется корнем растущего					де
рева	Т.
Пусть Т будет растущее дерево в G относительно па
росочетапия М и v0		— его корень. Если		существует	реб
ро е	графа G, соединяющее .внешнюю		вершину Т с		не
покрытой вершиной		в G, отличной от v0,		то Т называет
ся	расширяющимся	относительно	е.	Очевидно,	что

существует чередующаяся цепь, соединяющая две непо

крытые вершины, п М может быть увеличено		описанным
ранее способом.
Цветущее	дерево есть растущее дерево	Т вместе
с ребром	в G, соединяющим две внешние вершины Т.

Если С[ и С2 обозначают чередующиеся цепи, соединя

ющие	эти вершины	с v0, то	C\\JC2 называется	цветком,
С\(~]С2	называется	стволом	и Ci@C2 называется	соцве

тием. Введенные понятия иллюстрируются рис. 6.31.


(Если	корень		дерева инцидентен		с соцветием, то в ство
ле нет	ребер.)		Вершина, в которой			ствол		соединяется
с соцветием,		называется		верхушкой		ствола.
Пусть Т—растущее				дерево	графа		G	относительно
паросочетапия			М, и предположим,			что	некоторое		ребро
е соединяет		внешнюю		вершину	о е Г		с покрытой		вер-

232 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ [ГЛ в


шиной w <£Т. Тогда			ребро /,	которое			покрывает w			вме
сте	со своей	другой граничной точкой					х, не		принадлежит
Т	(почему?). В этом		случае	мы	можем увеличить Т, до
			б а в л я я		ребра е			и	/ и вершины
			w и х (как внутреннюю и
			внешнюю			соответственно).
				Заметим, что все три при
			веденных			понятия			(расширя -
		Соцвстие	ющееся		дерево,			цветущее		дере-
	р 1 1 С	2	во	и	дерево,			которое		может
			быть увеличено) связаны с рас
смотрением		растущего дерева			и	ребра,		инцидентного

одной из его внешних вершин. Они различаются в зави

симости от типа другой конечной точки	рассматриваемо
го ребра (принадлежит дереву, покрыта	или не покрыта) .

Естественно одно и то ж е растущее дерево может удов летворять нескольким из этих условий относительно раз личных ребер. Если оно не удовлетворяет .ни одному из названных условий при рассмотрении любого ребра, ин


цидентного	любой внешней вершиной, то				мы	приходим
к понятию венгерского дерева. Растущее дерево Т в G
называется	венгерским	деревом,	если	каждое		ребро	G,
которое инцидентно		некоторой	внешней		вершиной		Т,
соединяет	ее с внутренней вершиной			Т. Таким		образом,

Т не является расширяемым или цветущим деревом отно

сительно произвольного ребра е графа	G и	его нельзя
увеличить, как делалось в предыдущем	абзаце.
Рассмотрим теорему, очень в а ж н у ю	для	понимания

алгоритма поиска максимального паросочетанпя в графе. Теорема 6.10. Растущее дерево Т в G может быть увеличено до расширяющегося дерева, до цветущего де

рева, либо до венгерского дерева.
Д л я	доказательства достаточно рассмотреть			опреде
ления	и найти ребро е графа	G,	относительно	которого
;Т является расширяющимся		или	цветущим деревом. Ес

ли такого ребра не существует и Т не может быть уве личено, то Т является венгерским деревом.

Перейдем теперь к описанию алгоритма нахождения максимального паросочетанпя. Возьмем любое паросо четание М в G и любое растущее дерево Т относительно

М.(В качестве М можно взять пустое множество, а в

качестве 7" — л ю б у ю вершину.)

6.1-1]		МАКСИМАЛЬНЫЕ ПАРОСОЧЕТАНИЯ				233
1.	Если	Т--	расширяющееся		дерево относительно	н е - '
которого ребра			е графа	G, то,	используя чередующуюся
цепь,	увеличим		М до паросочетапня М', имеющего на
одно	ребро	больше. Если AV — не совершенное паросо-
четанпе, то		выбираем новое растущее дерево Т (напри
мер,	с началом		в любой	непокрытой вершине) .
2.	Если	Т—цветущее		дерево относительно некоторо
го ребра е,		то стянем вершины и ребра цветения в но
вую псевдовершину и удалим получившиеся петли.

3.Если Т может быть увеличено добавлением двух новых вершим и ребер, как это было описано выше, то увеличим Т.

4.Повторим шаги 1—3 до тех пор, пока не будет найдено либо венгерское дерево, либо максимальное па-

росочетание (в	преобразованном	графе,	где ряд соцве
тий может быть стянут).			Т содержит все
В результате,	если венгерское	дерево	Т содержит все

вершины преобразованного графа G*, то текущее паросочетание /V), очевидно, является максимальным в G*.

Если это		не так, то удалим из G* вершины Т	и все реб
ра,	инцидентные с этими вершинами, и повторим			шаги
I—3	для	оставшегося графа. Таким образом,	мы	посте

пенно удаляем одно венгерское дерево за другим до тех пор, пока не получим совершенное паросочетание в оставшейся части графа пли оставшаяся часть графа оказывается венгерским деревом.

Максимальные паросочетания, полученные для не скольких выделенных частей графа, используются за тем для восстановления максимального паросочетания


исходного		графа	путем растягивания				ранее			стянутых
соцветий (в порядке, обратном порядку								стягивания) и
добавления соответствующих ребер						к		паросочетаншо.
Если соцветие имеет 2/z+l вершину, То								к	паросочета
ншо	д о б а в л я е т с я ' п			ребер соцветия		(одним			из	возмож
ных	способов),		за	исключением	ребра,			инцидентного
верхушке		ствола	(которая может		быть		у ж е		инцидентна
с ребром		паросочетания).
Проиллюстрируем алгоритм нахождения максималь
ного паросочетания на примере графа							рис. 6.32, а. Бу
дем помечать ребра и корень текущего							варианта расту
щего дерева утолщенными линиями, а							ребра			паросоче<
тания — звездочками.

234

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ

[ГЛ. 6

Йозьмем сначала в качестве М пустое множество и выберем в качестве начала растущего дерева Т любую непокрытую вершину, скажем F. Дерево Т является рас ширяющимся относительно ребра 13. Таким образом,

Л)

Рис. 6.32.

мы добавляем ребро 13 к М и начинаем новое растущее дерево в вершине С, как показано на рис. 6.32, Ь. Отно


сительно нового Т ребра			/ /	и 13 удовлетворяют			усло
виям увеличения Т (рис. 6.32, с). Текущее						дерево явля
ется	расширяющимся	относительно			ребра	10. Увеличи
ваем	М, отбрасываем	Т и начинаем новое дерево					в Н,
как	показано на рис.	6.32,	cl.	Д в у м я	расширениями		(на

6.1-1]	МАКСИМАЛЬНЫЕ ПАРОСОЧЕТАНПЯ			235
основе	ребер 6 и 7) мы	увеличиваем	Т (рис. 6.32,	е).
Теперь	Т расширяющееся	относительно	ребра 12. Увели

чиваем М и начинаем новое дерево в /, как показано на

рис. 6.32,	f. Д в а	расширения	(на	основе ребер 8 и 9)
образуют	дерево,	показанное	па рис. 6.32, д,		которое яв
ляется венгерским. Его внешние				вершины	(С, И и /)

связаны только с внутренними вершинами дерева. Те перь временно удалим дерево из рассмотрения и выде лим подграф G b полученный удалением вершин венгер ского дерева и всех ребер, инцидентных его вершинам . Этот подграф показан на рпс. 6.32, к. Здесь мы выбрали новый корень А и увеличили дерево за счет ребра / . Полученное дерево является расширяющимся по отно


шению к ребру 2 и дает новое паросочетанпе									в	G b со
стоящее		из двух ребер			(рис. 6.32, ;'). Это паросочетанпе
является,		очевидно, максимальным					(точнее,		совершен
ным)	в G\.		Объединяя		его с	найденным		ранее		макси
мальным		паросочетанпем венгерского дерева,							получим
(как будет показано далее) максимальное								паросочетанпе
для G (рис. 6.32,/). В рассмотренном примере нам не по
требовалось прибегать к процедуре стягивания									соцветий.
В более сложных графах необходимо находить и по
следовательно				удалять	несколько		венгерских		деревьев
Т\, Т2,	. • • ,		и,	следовательно,		рассматривать			несколько
оставшихся			подграфов		G b Go, . . •, прежде чем					будет

получен граф, в котором мы обнаружим либо совершен ное паросочетанпе, либо венгерское дерево, содержащее все оставшиеся вершины. Восстанавливая последователь но венгерские деревья в обратном порядке н находя максимальное паросочетанпе для каждого вновь добав

ленного дерева, получаем максимальное		паросочетанпе
для всего	графа .
Чтобы	проиллюстрировать стягивание	и последующее

разворачивание соцветий, предположим, что кроме ре


бер, показанных			на рис. 6.32, а, вершина				С инцидентна
структуре,		представленной			на рпс. 6.33,		а.	По	отноше
нию к растущему			дереву и ребрам паросочетання, пока
занным	на	рис. 6.32,		а, цикл С, Р,		Q, Т,	N	является со
цветием.	После		его	стягивания		получим		рис. 6.33,		Ь.
По отношению к новому растущему дереву								(рис. 6.33, Ь)
оставшийся		граф	является		соцветием,		которое		можно
стянуть	в	одну	псевдо-псевдовершпну,				показанную			на

236

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ

|ГЛ. б

рис. 6.33, с. Растягивая соцветия в обратном порядке и восстанавливая паросочетания, удаленные при стягива нии, получим максимальное паросочетание, показанное на рис. 6.33, d. Предположим, что вершима С в нашем

с)

Рис. 6.33.

исходном примере фактически была вышеупомянутой псевдо-псевдовершнной (т. е. что процедурам, показан ным на рпс. 6.32, предшествовало двойное стягивание) . Тогда максимальное паросочетание для всего графа бу дет иметь вид рис. 6.34.

Упражнение	6.21. Найти	максимальное паросочетание для гра
фов, показанных	на рпс. 6.15	и 6.17.

Итак, в предыдущих разделах мы ввели терминоло гию и предварительные сведения, необходимые для опи

сания

алгоритма, и проиллюстрировали

его работу на

небольшом

частном

при-

* ^

М е р е . Опишем

теперь

ал

горитм

в общем виде.

О п и с а н и е

а л г о

р и т м а .

Пусть G =

(К,

Е)

обозначает

граф,

д л я

ко

торого

требуется

найти

максимальное

паросоче

тание,

М — исходное

па

росочетание

(возмож

но,

пустое

множество),

Рпс. 6.34.

5 — множество

ребер,

первоначально

пустое,

ко

торое

будет

последовательно

расширяться

добавлением

определенных ребер. Если некоторые вершины G не по

крыты

относительно Мг

то выберем одну

из

них

каче

стве начала

растущего

дерева

Т.

Рассмотрим

любом

6.1-1] МАКСИМАЛЬНЫЕ ПАРОСОЧЕТАНИЯ 237

порядке ребра, которые не входят в Т, по инцидентны внешним вершинам Т. Если Т — цветущее дерево относи тельно некоторого ребра, то стянем соответствующее со цветие в одну псевдовершину, зафиксируем стянутое со цветие и будем считать псевдовершнпу внешней верши

ной	Т. Если	Т может	быть увеличено		присоединением
двух	ребер и	вершин,	как	описывалось	ранее,	то увели
чим его. Если		Т является		расширяющимся по		отношению

к некоторому ребру, то увеличим М, используя соответ

ствующее чередующееся расширение.	(В этом случае Т
не является более растущим деревом.	Образуем новое

растущее дерево, выбирая, если она существует, непо

крытую	вершину	относительно М.) Если	текущий	ва
риант	растущего	дерева Т оказывается	венгерским	и

если не ьхе вершины графа принадлежат Т, то временно

удалим все вершины Т и все			ребра, которые		инцидентны
этим вершинам . Оставшийся граф обозначим G\ и по
вторим описанный процесс д л я этого графа.
В конечном счете, после удаления конечного числа
венгерских деревьев Т\, Т?, . . . , Т„ и рассмотрения							со
ответствующих	оставшихся		графов Gu	G2,		Gn	ока
зывается, что	либо (1)	G„ и	есть пустой граф, либо				(2)''
М содержит совершенное паросочетание для Gn.						После
этого восстанавливаем		поочередно Т„,		7"п _ь	. . . ,	7",	и их

максимальные паросочетания. Если некоторые вершины являются псевдовершинами, то растянем их в соцветия. (Во избежание ошибок лучше всего это делать в поряд ке, обратном их стягиванию.) При этом после растяги вания найдем для соответствующего соцветия макси мальное паросочетание, ни одно ребро которого не инцидентно вершине, служившей верхушкой ствола в момент стягивания. После растягивания всех соцветий получим паросочетание, которое является максимальным для первоначального графа. Подробное обоснование


предложенного				алгоритма			приводится		в работе		[20] .
Пусть		G=(V,		Е)—граф,			каждой из вершин v кото
рого поставлено в соответствие неотрицательное											целое
число	d(v).		Подграфом			с	ограниченными			степенями
графа	G	считается			подграф		G'=(V,	F)	такой, что сте
пень каждой его вершины v							не больше d(v).			Максималь
ным	подграфом			с	ограниченными			степенями		считается
подграф,		имеющий			наибольшее число ребер.

23S	ПРИКЛАДНЫЕ			ЗАДАЧИ	ТЕОРИИ ГРАФОВ			[ГЛ. 6
Л е г ко	видеть, что		задача о		максимальном		паросоче-
тании соответствует			частному		случаю,	когда	d(v)	= l
д л я к а ж д о й		вершины	v.
Эдмондс		непосредственно обобщил приведенный						выше
алгоритм	на	решение	общей задачи нахождения макси
мального	подграфа		с	ограниченными		степенями		для

произвольных неотрицательных d(v). Он т а к ж е рассмот рел еще одно важное обобщение задачи о максимальном наросочетанпп, когда требуется найти паросочетание с максимальным общим весом при условии, что каждому

ребру графа поставлено в соответствие число,		называе
мое «весом» (исходная задача о наросочетаппп		соответ
ствует случаю, когда все веса равны единице).		Алгоритм
решения этой задачи	[18] можно объединить с	алгорит
мом нахождения кратчайших путей (глава 3)		и решить
на их основе «задачу китайского почтальона»,		впервые
предложенную Кваном	[ 5 6 а ] . Эта задача сводится к на

хождению замкнутой цепи, в которую каждое -ребро связного графа входит по крайней мере один раз и ко

торая имеет минимальный	общий вес. (Другими слова
ми, задача состоит в том. чтобы получить		уникурсальный
граф за счет дублирования ребер при		минимальном
дополнительном весе.)
Т Е Х Н И Ч Е С К И Е	П Р И Л О Ж Е Н И Я

6.15.Анализ технических систем

По к а ж е м , как можно использовать соответственным образом построенные ориентированные графы для по

лучения существенной информации о поведении реаль ных технических систем на основе информации, харак теризующей их составные части при заданном способе связи этих частей. Излагаемый ниже метод, разработан

ный в числе прочих Трентом		[86],	наиболее широко ис
пользуется	для анализа электрических			цепей.	Однако
его можно	т а к ж е применять	и к	любым	другим	систе

мам, в которых происходит преобразование энергии, на пример к механическим устройствам с поступательными или вращательными движениями, или к гидравлическим системам. Кроме «чистых» систем (т. е. использующих

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3824 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202318.51 Mб53Барташев Л.В. Технико-экономические расчеты при проектировании и производстве машин.pdf
#
24.10.20239.52 Mб69Бартенев Г.М. Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла.pdf
#
29.10.20234.6 Mб19Бартль С. Атом в Арктике.pdf
#
19.10.20232.01 Mб19Бархатный, В. Д. Выбор участков и способов организации работы локомотивных бригад.pdf
#
19.10.20236.31 Mб27Барыкин, К. К. h = 533. (О московской телебашне).pdf
#
25.10.202312.41 Mб87Басакер Р. Конечные графы и сети.pdf
#
29.10.20234.3 Mб26Басалов Ф.А. Некоторые вопросы техники сверхвысоких частот [конспект лекций].pdf
#
19.10.20237 Mб34Басевич, В. В. Корабли не умирают.pdf
#
19.10.20233.4 Mб31Басистов, М. А. Взрывные работы при сооружении земляного полотна железных дорог.pdf
#
22.10.202313 Mб27Баскаков, А. П. Нагрев и охлаждение металлов в кипящем слое.pdf
#
19.10.20232.92 Mб49Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf