Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3823 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

6.11] ЗАДАЧА ДЕЛЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА 219

д о к а з ы в а е м ое за	2 шага,	например, Ев-^>-Е7,	Е7-+Е1а
вместе означают	Е6-^>Е10.	Единичные элементы	матри

цы, являющейся третьей степенью исходной, указывают постулаты или утверждения, которые могут быть дока

заны за 2 или за 3 шага.	Наконец, (п—1)-я	степень
показывает все утверждения.	Возникает интересная за

дача нахождения наименьшего числа постулатов, из ко торых можно вывести заданное множество утвержде ний. Заметим, что существует, по крайней мере, 2" мно


жеств	эквивалентных		постулатов,			позволяющих		полу
чить п	теорем	[70], [73] .
Упражнение		6.16. Показать, что		общее		число матриц	размером
" X " . элементы		которых принимают		значения 0 пли 1, а			все	диаго
нальные	элементы единичные, равно			2п"~71.
	6.11. З а д а ч а деления				треугольника
Допустим,		что мы	разделили		треугольник ABC			на не

сколько треугольников меньшего размера, проводя п


линий,		параллельных					его	сторонам		(рис. 6.25, где п=,
= 2).		Расставим				буквы		А,	В
и С в точках пересечения ли
ний	со сторонами					следующим
образом: точки					на	стороне			ВС
могут		помечаться				только		бук
вами В, С (но не А),							точки		на
сторонах			АС	и	А В		помечают
ся	по	аналогичному					правилу.
Точки,			находящиеся				внутри
большого			треугольника,					могут
помечаться				любой			из	трех		Рис. 6.25.
букв.		Требуется			показать,				что

число маленьких треугольников, вершины которых по мечены разными буквами, нечетно.


Д л я	доказательства		припишем	символ нуль		всем	от
резкам	с	одинаково помеченными		граничными		точками
и символ		1 — отрезкам	с разными		пометками.	Сумма
символов		ребер для любого треугольника ABC				равна	3.
Д л я всех		других треугольников эта			сумма равна 0 или

2. Легко проверить, что сумма символов, соответствую щих отрезкам каждой стороны большого треугольника, должна быть нечетной. Сумма символов по всем сто-

220 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ [ГЛ. 6

ромам всех маленьких треугольников должна быть не


четной, так		как	все	внутренние		отрезки считаются д в а ж
ды.	Следовательно,			число	треугольников		(маленьких)
с суммой символов				сторон	3 оказывается		нечетным.
			6.12. Игра двух лиц
	Ориентированный граф является удобной математи
ческой моделью для описания и анализа							некоторых	ти
пов ситуаций, в которых проявляется							соревнование
(конкуренция)			двух лиц или двух групп				лиц, имеющих
противоречивые			(конфликтные)			цели. Предлагаемое		ни
ж е	краткое	обсуждение такого				аспекта	использования

графов не следует рассматривать как попытку формули

рования наиболее общих понятий, в рамках			которых
теория графов применима к описанию таких		«игр». Оно
не	является т а к ж е попыткой установления	соответствия
между понятиями теории графов и понятиями			формаль
ной	теории игр.
	Рассмотрим ситуацию, в которой два лица		поочеред
но	вносят частичные изменения в некоторую		структуру.

(Например, в систему размещения фигур на шахматной доске.) Пусть имеется некое стандартное начальное со

стояние (например, исходное положение фигур		шахма
тистов) и «Книга правил», которая	полностью опреде
ляет список допустимых ходов, т. е. допустимые		изме
нения состояния каждого игрока за	1 шаг. Если	суще

ствует конечное число различных состояний игры, то правила игры можно полностью характеризовать конеч


ным	направленным графом		с двумя типами дуг.		При
этом	каждое состояние рассматривается как вершина					tv
Вершины		v{ и Vj соединены	дугой типа 1	(или 2)	тогда
и только		тогда, когда игра	может быть	переведена		из

состояния i в состояние / с помощью некоторого допу стимого хода первого (второго) игрока.' Полная партия игры представляется на графе в виде пути, который состоит из дуг чередующихся типов и начинается в вер

шине начального	состояния дугой, соответствующей хо
ду начинающего	игру лица.

Предположим, что рассматриваемая игра такова, что ни одно из ее состояний не повторяется, т. е. соответ ствующий ей граф не имеет контуров. В этом случае

G.I2] ИГРА ДВУХ ЛИЦ 221

число отдельных ходов в партии игры ограничено. Пусть далее «выигрыш» соответствует первому достижению определенного множества состояний, или вершин. На

пример,		можно считать,	что в	графе без	контуров
рис.	6.26	у и z соответствуют выигрывающим			состояни
ям,	а х—	начальному. (В	данном	примере предполага

ется, что множество допустимых ходов одинаково для

обоих игроков,	поэтому здесь	нет необходимости	выде
лять два типа	дуг.)
З а м е ч а н и е . Необходимо		четко различать	партию

игры п полную игру. Например, в играх более общего вида некоторый игрок может находиться в «выигрываю щем состоянии» н проиграть игру в конечном итоге. И, наоборот, он может находиться в «проигрывающем

состоянии»	и	выиграть	в конце	игры. Рассматриваемый
здесь частный		вид игры	можно назвать «игрой двух лиц
с полной	информацией,		двумя	исходами	(проиграл —
выиграл),	заданной в полной форме» . Эта				игра является,

Рис. 6.26.

пожалуй, простейшим видом игры, в которой участвует


более	одного		игрока. Заметим, что множество S вершин
графа	(помеченных звездочкой на рис. 6.26)					обладает
следующими			свойствами.
1. Ни одна пара вершин, принадлежащих S, не свя
зана	дугой.					S,
2.	Л ю б а я		вершина,	не	п р и н а д л е ж а щ а я		связана
дутой, по крайней мере, с одной вершиной из						5.
3.	Все	выигрывающие состояния принадлежат					S.
Свойства			1 и 2 иногда		называются внутренней			и
внешней		устойчивостью		соответственно. Множество				вер-

222 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ (Г Л G


шин подобное S, обладающее свойствами				1 и 2,		называ
ется	ядром.	Пусть теперь первый ход игры			делает		иг
рок	1, который знает ядро S, и пусть начальное состоя
ние не принадлежит S. В этом случае в силу свойства 2
игрок 1 может попасть в			одно из состояний		S. Если		это
состояние		не оказывается	выигрышным,	то	независимо
от хода игрока 2 вследствие свойства				1 оно		приведет
игрока 1 в		состояние, не	п р и н а д л е ж а щ е е	5	(и	не явля

ющееся выигрышным по свойству 3). Следующий про думанный шаг игрока 1 вернет игру в S. В результате рассмотренной процедуры партия игры оканчивается в конечном итоге выигрышем игрока 1.

Таким образом, если структура игры полностью оп

ределена и выделено ядро S, то игрок			1 в	принципе
имеет выигрышную стратегию при начальном				состоянии
вне 5.	(Если	начальное состояние принадлежит 5, то
игрок	2 имеет	выигрышную стратегию.)	На	практике

структура нетривиальных игр оказывается, конечно, слишком сложной для представления в виде такого полного графа переходов. Однако, если правила игры таковы, что соответствующий граф, несмотря на слож

ность, имеет систематическую					структуру,		то	можно най
ти методы получения элементов S, как и требуется в ок
рестности		текущего состояния			игры.
З а м е ч а н и е . Читателям,					знакомым		с	игрой «Ним»
и с выигрышными стратегиями этой						игры,		рассмотрен
ные	действия помогают			определить			принадлежность
текущего		состояния,	т. е.	оставшегося			числа		палочек
в каждой кучке, к множеству S п, кроме того, найти пе
реход в S, если текущее состояние не						принадлежит это
му	множеству.
		И г р а т и п а «п е р е к л ю ч е н и е»
Р а с с м а т р и в а е м а я			ниже	игра была		впервые			сформу
лирована		Шенноном,	а ее решение предложено						Леманом

[58] . Игра проводится ка графе двумя игроками. Оба игрока по договоренности выделяют две вершины, на

зываемые конечными. Затем они поочередно		делают
ходы.
В соответствии с правилами ходов	один из	игроков
на к а ж д о м ходе удаляет из графа одно	из ребер	и стре-

6.12]	ИГРА ДВУХ		ЛИЦ	223
мится в конечном итоге		разорвать все		цепи, связываю
щие конечные	вершины.	Другой	игрок	на каждом ходе

помечает одно из ребер. При этом помеченное ребро не может быть удалено из графа. Цель его состоит в со хранении хотя бы одной цепи между конечными верши нами. Игра, в которой может выиграть первый игрок, независимо от того, кто делает первый ход, называется

игрой 1-го	типа. Игра, в которой	может выиграть	вто
рой игрок,	— игрой 2-го типа. Игра,	в которой может	вы

играть любой из игроков, сделавший первый ход, назы

вается нейтральной. Д а л е е мы остановимся кратко							толь-,
ко на условиях, определяющих игру 2-го типа.
Теорема		6.8.	Игра	принадлежит ко 2-му типу			тогда
и только тогда,			когда	соответствующий	граф	содержит
2 дерева	без	общих ребер, все вершины			которых одина
ковы и имеют в своем составе обе конечные вершины.
Условие теоремы является достаточным. Действи
тельно,	если	второй игрок может выиграть, делая					вто
рой ход,	то,	очевидно,		он может выиграть и		пойдя	пер

вым. Его ход должен всегда сохранять ребро, которое

связывает две компоненты	одного дерева, получающие
ся в результате удаления	некоторого ребра первым

игроком. Так как оба дерева имеют одинаковое число ребер, второй игрок всегда сможет соединить две об

разовавшиеся компоненты одного дерева		ребром,	при
н а д л е ж а щ и м	другому дереву .'
Необходимость доказывается гораздо сложнее. Это
доказательство здесь не рассматривается.
Разновидностью рассмотренной игры является игра
«Gale» или	«Bridge-it» (перекидывание	мостов),	кото

рая описана в работах [27], [58] . Граф этой игры ана


логичен		показанному жирными		линиями		на рис.			6.27.
Д л я	большего удобства выполнения				ходов		игра	делает
ся симметричной. При такой форме					первый		игрок		дела
ет ходы		на графе, показанном тонкими линиями, а							вто
р о й — на			графе, показанном жирными линиями.						Цель
первого		состоит в построении цепи, соединяющей							ау' и
w",	а цель		второго — соединить	цепью v'		и	v".	На	каж
дом	шаге		игрок помечает одно	из	непомеченных				ребер

па своем графе (в начальный момент все ребра не по мечены) такое, что оно не пересекает ни одно из ребер, помеченных его соперником. Графы, показанные на

224

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОЙ

(ГЛ. в

рисунке, с небольшой погрешностью можно считать двойственными (чем вызвана погрешность?).

о'

		Рис.	6.27.
Д л я	данного	частного вида игры О. Гросс			предложил
простую	выигрышную стратегию			[27] . Эта игра относит
ся к типу нейтральных, поэтому				выигрышной	оказыва
ется «парная		стратегия»,	при	которой первый игрок

всегда выбирает ребро, противоположное соответствую

щему	(парному)		ребру,	выбранному	вторым		игроком
(за исключением случая, когда это						противоположное
ребро уже		выбиралось) .
		6.13. Игры на шахматной доске
Пусть		задано	множество клеток		шахматной			доски
г (рис. 6.28)		и известно, что из клетки			с	четным	номером
можно	сделать ход на соседнюю клетку					по горизонтали
и вертикали, а из клетки с нечетным номером								можно
сделать	ход на соседнюю			клетку по	диагонали.			Сопос
т а в л я я с каждой клеткой вершину графа, можно								полу
чить матрицу смежности вершин V для						соответствующе
го графа .

Упражнение 6.17. С помощью элементов седьмой строки и третьего столбца матрицы V4 найти число способов, которыми можно перейти из седьмой клетки в третью за четыре хода. Найти элемент (7, 3)нз

6.13]	ИГРЫ	НА	ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ	225
V2jr... + 1/6	и определить		число способов перехода из	седьмой
клетки в третью	при числе	ходов меньше чем шесть. Наконец, поль

зуясь диагональными элементами Vs, определить число способов воз врата фигуры в исходное положение за пять ходов.

Вероятно, читатель сталкивался с различными голо воломками, в которых конечная цель состоит в точном


покрытии заданной плоской «доски» множеством										пло
ских	«фигур», общая				площадь		которых равна площади
доски. В случае, когда					каж
д а я	фигура имеет			только		ко
нечное		множество		допусти			/	2	3
мых положений па доске, за
дача	покрытия		может		быть
сформулирована				(по	крап-			4	5	6
пси	мере, в принципе)				и	ре
шена в		терминах теории				гра
фов. Рассмотрим			один из по					7
ходов к решению таких за

дач — подход, основанный						на
работе		П. Ж у л ь е н а			[ 5 2 а ] .				Рис. 6.28.
Пусть для конкретности доска								и к а ж д а я	фигура	име
ют вид		прямоугольников,				размеры		которых	определяют

ся целыми числами. (Можно делать и более общее предположение.) Предположим, что доска разделена па квадраты единичных размеров и допустимыми считаются только такие положения фигур; при которых все квад раты оказываются полностью покрытыми (нет частично

покрытых	квадратов) .
При	сделанных предположениях	можно	выделить
все допустимые положения каждой		фигуры.	Д в а поло

жения считаются совместимыми тогда и только тогда,

когда они соответствуют различным фигурам		и	взаимно
не пересекаются (не имеют	общей площади) .
Обозначим число фигур через k, и пусть			щ—число
допустимых положений i-fi фигуры. Рассмотрим				граф
п
G, имеющий У] Пс вершин,	соответствующих	всем		воз-
1
можным положениям фигур. Будем считать,		что	в	графе

G вершины v и w являются смежными тогда и только тогда, когда соответствующие положения оказываются совместными в названном смысле. Легко видеть, что каждое решение исходной головоломки соответствует

15р. Баса кер, Т. Саатц

226

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ

[ГЛ. 6

полному подграфу из к вершин и наоборот. Таким обра зом, задача нахождения всех решении головоломки эк вивалентна нахождению всех полных подграфов нз к вершин.

a At	Пусть, наконец, /1,		В,	Z	обозначают	фигуры,
	означает	некоторое	положение		(т . е . вершину) фигу
ры	А. Жульен	предложил		последовательность		преобра

зовании, позволяющую получить из исходного графа не

который конечный граф, вершины которого						представля
ют собой различные решения, т. е. полные						подграфы
исходного графа .
На первом шаге удаляются все вершины, соответст
вующие		фигурам	А	и В	(в качестве Л и В	могут		вы
бираться любые фигуры) . Они заменяются						вершинами
типа ABtj		при условии, что			рассматриваемые	комбинации
At и	В}	являются	совместимыми. Кроме того, АВЦ				Z,	сое
диняется со всеми положениями фигур С, D								ко
торые	оказываются			совместимыми как с Л,-, так и			с	Ву
Легко	видеть, что		существует взаимнооднозначное				соот

ветствие между полными подграфами с к вершинами в

исходном графе и полными подграфами с (k—1)											вер
шинами в новом графе.
Повторяя		названную			процедуру,		в конечном				итоге
мы получим		граф, вершины которого					имеют		вид		ABC...
Ziy . .	q. При	этом	А{,	В},	. . .,	обозначает			полный		под
граф	исходного		графа. Л\ожпо			ли	заполнить			куб	12Х
X 1 2 X 1 2 кирпичами				размером		2 X 4 X 8 ?		(Ответ		обосно
вать!)
			ПАРОСОЧЕТАНИЯ
	6.14. Максимальные					паросочетания
Паросочетания			до	сих	пор	считаются		областью чи
стой	теории,	еще	не	нашедшей		практического				приложе

ния. Примеры обобщений основной задачи о паросочетаниях приводятся в разделе, посвященном задаче объ


единения			электростанций.
	Пусть		G=(V,	Е) — граф, не имеющий петель. Множе
ство		ребер Мс^Е		называется паросочетанием		графа G,
если		в М нет двух смежных			ребер. Таким образом,		каж
д а я	вершина G инцидентна				самое большее	одному	реб
ру	М.	Говорят,		что вершина	покрыта (или	ие покрыта)

6.14]

МАКСИМАЛЬНЫЕ ПАРОСОЧЕТАНПЯ

227

относительно

М,

если

она

инцидентна

(пли

нет)

ребру

в М.

Пустое

множество образует (хотя

неинтересный)

случай

паросочетанпя,

относительно

которого к а ж д а я

вершина

является

непокрытой.

Паросочетание графа G будем называть

максималь

ным,

если не существует

паросочетанпя

большей

мощ

ности.

случае,

когда

к а ж д а я

вершина

покрыта,

гово

рят,

что

паросочетание — совершенно.

Совершенное па

росочетание

иногда

называют

1-факторным

[90] .

Если

существует совершенное паросочетание для G, то, оче видно, оно является максимальным . (Заметим, что coj

вершенное паросочетание не	может	существовать, если
\| V\ — нечетное.) Татт [90]	выделил	множество графов,
обладающих совершенными	паросочетаниями.

Основная цель данного раздела состоит в описании алгоритма, предложенного Эдмондсом [20] для нахож

дения	максимального паросочетанпя	в произвольном
графе.
В	частности, алгоритм находит	совершенное па

росочетание, если оно существует. В отлцчие от других известных подходов, максимальное число операций в данном алгоритме растет как степенная функция, а не

экспоненциально с ростом числа вершин					в G.
Предположим,		что	G — двудольный граф,			в котором
существует	такое	разбиение 'вершин		{V\,	V2},	что	к а ж
дое ребро	соединяет		вершину в V\	с	вершиной		в V2.

Задачи о паросочетамиях часто возникают в двудольных


графах, особенно, когда вершины в Vx н V2			представля
ют различные	типы объектов	(например,	мужчины—•
женщины, мужчины — работы — м а ш и н ы ) . При этом				ча
сто требуется	«попарно связать»	или «отобразить»		раз

ные типы объектов друг на друга таким образом, чтобы осталось как можно меньше несвязанных объектов (т. е. непокрытых вершин) . Структура исходного графа ис пользуется для выделения всех допустимых парных со-: единений.

Пусть	М — паросочетание					графа		G—(V,	Е).	Тогда
простая	цепь	С	в	G	называется		чередующейся			цепью
относительно		М,	если		ее ребра (при			прохождении		цепи
от одного конца			до	другого)		являются поочередно				реб
рами паросочетанпя				(ребрами		М)	и	ребрами	непаросо-
15*

228 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ [ Г Л . G

четання	(ребрами	Е—М).	Допустим, что дано паросо-
четанпе	М и чередующая		цепь С. Рассмотрим множест
во ребер	М'=М©С,	состоящее пз ребер, принадлежащих

М пли С, по не одновременно обоим множествам . Таким образом, М' получается вычеркиванием из М ребер па-


росочетанпя, входящих в С,						и добавлением			к М ребер,
не	входящих		в паросочетанпе,				но	принадлежащих		С.
Так как число ребер в С, принадлежащих									паросочета-
пню, отличается от числа ребер,							не п р и н а д л е ж а щ и х			па-
росочетанию,			самое	большее па			1, число ребер в М			и
AV т а к ж е		различается			самое	большое		на 1.
Д л я иллюстрации					сделанных		замечании		рассмотрим
паросочетаиие			М,	выделенное			жирными		линиями	на
рис.	6.29,	а.	Множество			А1'=М©С,		показанное		на

	а)			<Ь)				с)
				Рпс.	6.29.
рис. 6.29,		с,	получается	при	использовании			чередующей
ся цепи С, проведенной па					рпс. 6.29, Ь. Если, как в пред
шествующем			примере,	конечные		точки		чередующейся
цепи С не покрыты ребрами М, то легко видеть,									что		М'
обязательно			является паросочетанпем				и \|Л'1'\| =		\|Л1\| +		1.
П о	этой причине чередующаяся цепь,						обе	конечные		точ
ки	которой		не покрыты, называется чередующимся рас
ширением.		Существование			чередующегося			расширения
'(или просто			расширения) является			необходимым				и до

статочным условием того, что М не является максималь


ным паросочетанпем. Сказанное				можно	сформулировать
в виде следующей теоремы,			предложенной			Б е р ж е м [3]
и доказанной на основе		идей	Эдмондса		[20] .
Теорема 6.9. Паросочетанпе М в графе G является
максимальным тогда	п	только тогда, когда				G не	содер
жит чередующегося	расширения			относительно М.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Д л я		завершения		доказатель
ства остается показать,		что	если М не		является		макси-

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3823 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202318.51 Mб41Барташев Л.В. Технико-экономические расчеты при проектировании и производстве машин.pdf
#
24.10.20239.52 Mб53Бартенев Г.М. Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла.pdf
#
29.10.20234.6 Mб15Бартль С. Атом в Арктике.pdf
#
19.10.20232.01 Mб17Бархатный, В. Д. Выбор участков и способов организации работы локомотивных бригад.pdf
#
19.10.20236.31 Mб21Барыкин, К. К. h = 533. (О московской телебашне).pdf
#
25.10.202312.41 Mб76Басакер Р. Конечные графы и сети.pdf
#
29.10.20234.3 Mб22Басалов Ф.А. Некоторые вопросы техники сверхвысоких частот [конспект лекций].pdf
#
19.10.20237 Mб28Басевич, В. В. Корабли не умирают.pdf
#
19.10.20233.4 Mб23Басистов, М. А. Взрывные работы при сооружении земляного полотна железных дорог.pdf
#
22.10.202313 Mб19Баскаков, А. П. Нагрев и охлаждение металлов в кипящем слое.pdf
#
19.10.20232.92 Mб39Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf