
книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети
.pdf6.11] ЗАДАЧА ДЕЛЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА 219
д о к а з ы в а е м ое за |
2 шага, |
например, Ев-^>-Е7, |
Е7-+Е1а |
вместе означают |
Е6-^>Е10. |
Единичные элементы |
матри |
цы, являющейся третьей степенью исходной, указывают постулаты или утверждения, которые могут быть дока
заны за 2 или за 3 шага. |
Наконец, (п—1)-я |
степень |
показывает все утверждения. |
Возникает интересная за |
дача нахождения наименьшего числа постулатов, из ко торых можно вывести заданное множество утвержде ний. Заметим, что существует, по крайней мере, 2" мно
жеств |
эквивалентных |
постулатов, |
позволяющих |
полу |
||||
чить п |
теорем |
[70], [73] . |
|
|
|
|
|
|
Упражнение |
6.16. Показать, что |
общее |
число матриц |
размером |
||||
" X " . элементы |
которых принимают |
значения 0 пли 1, а |
все |
диаго |
||||
нальные |
элементы единичные, равно |
2п"~71. |
|
|
|
|||
|
6.11. З а д а ч а деления |
треугольника |
|
|
||||
Допустим, |
что мы |
разделили |
треугольник ABC |
на не |
сколько треугольников меньшего размера, проводя п
линий, |
параллельных |
его |
сторонам |
(рис. 6.25, где п=, |
||||||
= 2). |
Расставим |
буквы |
А, |
В |
|
|||||
и С в точках пересечения ли |
|
|||||||||
ний |
со сторонами |
следующим |
|
|||||||
образом: точки |
на |
стороне |
ВС |
|
||||||
могут |
помечаться |
только |
бук |
|
||||||
вами В, С (но не А), |
точки |
на |
|
|||||||
сторонах |
АС |
и |
А В |
помечают |
|
|||||
ся |
по |
аналогичному |
правилу. |
|
||||||
Точки, |
|
находящиеся |
внутри |
|
||||||
большого |
треугольника, |
могут |
|
|||||||
помечаться |
любой |
из |
трех |
Рис. 6.25. |
||||||
букв. |
Требуется |
показать, |
что |
число маленьких треугольников, вершины которых по мечены разными буквами, нечетно.
Д л я |
доказательства |
припишем |
символ нуль |
всем |
от |
||
резкам |
с |
одинаково помеченными |
граничными |
точками |
|||
и символ |
1 — отрезкам |
с разными |
пометками. |
Сумма |
|||
символов |
ребер для любого треугольника ABC |
равна |
3. |
||||
Д л я всех |
других треугольников эта |
сумма равна 0 или |
2. Легко проверить, что сумма символов, соответствую щих отрезкам каждой стороны большого треугольника, должна быть нечетной. Сумма символов по всем сто-
220 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ [ГЛ. 6
ромам всех маленьких треугольников должна быть не
четной, так |
как |
все |
внутренние |
отрезки считаются д в а ж |
||||
ды. |
Следовательно, |
число |
треугольников |
(маленьких) |
||||
с суммой символов |
сторон |
3 оказывается |
нечетным. |
|
||||
|
|
|
6.12. Игра двух лиц |
|
|
|||
|
Ориентированный граф является удобной математи |
|||||||
ческой моделью для описания и анализа |
некоторых |
ти |
||||||
пов ситуаций, в которых проявляется |
соревнование |
|||||||
(конкуренция) |
двух лиц или двух групп |
лиц, имеющих |
||||||
противоречивые |
(конфликтные) |
цели. Предлагаемое |
ни |
|||||
ж е |
краткое |
обсуждение такого |
аспекта |
использования |
графов не следует рассматривать как попытку формули
рования наиболее общих понятий, в рамках |
которых |
||
теория графов применима к описанию таких |
«игр». Оно |
||
не |
является т а к ж е попыткой установления |
соответствия |
|
между понятиями теории графов и понятиями |
формаль |
||
ной |
теории игр. |
|
|
|
Рассмотрим ситуацию, в которой два лица |
поочеред |
|
но |
вносят частичные изменения в некоторую |
структуру. |
(Например, в систему размещения фигур на шахматной доске.) Пусть имеется некое стандартное начальное со
стояние (например, исходное положение фигур |
шахма |
|
тистов) и «Книга правил», которая |
полностью опреде |
|
ляет список допустимых ходов, т. е. допустимые |
изме |
|
нения состояния каждого игрока за |
1 шаг. Если |
суще |
ствует конечное число различных состояний игры, то правила игры можно полностью характеризовать конеч
ным |
направленным графом |
с двумя типами дуг. |
При |
|||
этом |
каждое состояние рассматривается как вершина |
tv |
||||
Вершины |
v{ и Vj соединены |
дугой типа 1 |
(или 2) |
тогда |
||
и только |
тогда, когда игра |
может быть |
переведена |
из |
состояния i в состояние / с помощью некоторого допу стимого хода первого (второго) игрока.' Полная партия игры представляется на графе в виде пути, который состоит из дуг чередующихся типов и начинается в вер
шине начального |
состояния дугой, соответствующей хо |
ду начинающего |
игру лица. |
Предположим, что рассматриваемая игра такова, что ни одно из ее состояний не повторяется, т. е. соответ ствующий ей граф не имеет контуров. В этом случае
G.I2] ИГРА ДВУХ ЛИЦ 221
число отдельных ходов в партии игры ограничено. Пусть далее «выигрыш» соответствует первому достижению определенного множества состояний, или вершин. На
пример, |
можно считать, |
что в |
графе без |
контуров |
|
рис. |
6.26 |
у и z соответствуют выигрывающим |
состояни |
||
ям, |
а х— |
начальному. (В |
данном |
примере предполага |
ется, что множество допустимых ходов одинаково для
обоих игроков, |
поэтому здесь |
нет необходимости |
выде |
лять два типа |
дуг.) |
|
|
З а м е ч а н и е . Необходимо |
четко различать |
партию |
игры п полную игру. Например, в играх более общего вида некоторый игрок может находиться в «выигрываю щем состоянии» н проиграть игру в конечном итоге. И, наоборот, он может находиться в «проигрывающем
состоянии» |
и |
выиграть |
в конце |
игры. Рассматриваемый |
|
здесь частный |
вид игры |
можно назвать «игрой двух лиц |
|||
с полной |
информацией, |
двумя |
исходами |
(проиграл — |
|
выиграл), |
заданной в полной форме» . Эта |
игра является, |
Рис. 6.26.
пожалуй, простейшим видом игры, в которой участвует
более |
одного |
игрока. Заметим, что множество S вершин |
||||||
графа |
(помеченных звездочкой на рис. 6.26) |
обладает |
||||||
следующими |
свойствами. |
|
|
|
|
|||
1. Ни одна пара вершин, принадлежащих S, не свя |
||||||||
зана |
дугой. |
|
|
|
S, |
|
|
|
2. |
Л ю б а я |
вершина, |
не |
п р и н а д л е ж а щ а я |
связана |
|||
дутой, по крайней мере, с одной вершиной из |
5. |
|
|
|||||
3. |
Все |
выигрывающие состояния принадлежат |
S. |
|
||||
Свойства |
1 и 2 иногда |
называются внутренней |
и |
|||||
внешней |
устойчивостью |
соответственно. Множество |
вер- |
222 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ (Г Л G
шин подобное S, обладающее свойствами |
1 и 2, |
называ |
|||||
ется |
ядром. |
Пусть теперь первый ход игры |
делает |
иг |
|||
рок |
1, который знает ядро S, и пусть начальное состоя |
||||||
ние не принадлежит S. В этом случае в силу свойства 2 |
|||||||
игрок 1 может попасть в |
одно из состояний |
S. Если |
это |
||||
состояние |
не оказывается |
выигрышным, |
то |
независимо |
|||
от хода игрока 2 вследствие свойства |
1 оно |
приведет |
|||||
игрока 1 в |
состояние, не |
п р и н а д л е ж а щ е е |
5 |
(и |
не явля |
ющееся выигрышным по свойству 3). Следующий про думанный шаг игрока 1 вернет игру в S. В результате рассмотренной процедуры партия игры оканчивается в конечном итоге выигрышем игрока 1.
Таким образом, если структура игры полностью оп
ределена и выделено ядро S, то игрок |
1 в |
принципе |
||
имеет выигрышную стратегию при начальном |
состоянии |
|||
вне 5. |
(Если |
начальное состояние принадлежит 5, то |
||
игрок |
2 имеет |
выигрышную стратегию.) |
На |
практике |
структура нетривиальных игр оказывается, конечно, слишком сложной для представления в виде такого полного графа переходов. Однако, если правила игры таковы, что соответствующий граф, несмотря на слож
ность, имеет систематическую |
структуру, |
то |
можно най |
||||||
ти методы получения элементов S, как и требуется в ок |
|||||||||
рестности |
текущего состояния |
игры. |
|
|
|
|
|||
З а м е ч а н и е . Читателям, |
знакомым |
с |
игрой «Ним» |
||||||
и с выигрышными стратегиями этой |
игры, |
рассмотрен |
|||||||
ные |
действия помогают |
определить |
|
принадлежность |
|||||
текущего |
состояния, |
т. е. |
оставшегося |
числа |
палочек |
||||
в каждой кучке, к множеству S п, кроме того, найти пе |
|||||||||
реход в S, если текущее состояние не |
принадлежит это |
||||||||
му |
множеству. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И г р а т и п а «п е р е к л ю ч е н и е» |
|
||||||
Р а с с м а т р и в а е м а я |
ниже |
игра была |
впервые |
сформу |
|||||
лирована |
Шенноном, |
а ее решение предложено |
Леманом |
[58] . Игра проводится ка графе двумя игроками. Оба игрока по договоренности выделяют две вершины, на
зываемые конечными. Затем они поочередно |
делают |
|
ходы. |
|
|
В соответствии с правилами ходов |
один из |
игроков |
на к а ж д о м ходе удаляет из графа одно |
из ребер |
и стре- |
6.12] |
ИГРА ДВУХ |
ЛИЦ |
223 |
|
мится в конечном итоге |
разорвать все |
цепи, связываю |
||
щие конечные |
вершины. |
Другой |
игрок |
на каждом ходе |
помечает одно из ребер. При этом помеченное ребро не может быть удалено из графа. Цель его состоит в со хранении хотя бы одной цепи между конечными верши нами. Игра, в которой может выиграть первый игрок, независимо от того, кто делает первый ход, называется
игрой 1-го |
типа. Игра, в которой |
может выиграть |
вто |
рой игрок, |
— игрой 2-го типа. Игра, |
в которой может |
вы |
играть любой из игроков, сделавший первый ход, назы
вается нейтральной. Д а л е е мы остановимся кратко |
толь-, |
||||||
ко на условиях, определяющих игру 2-го типа. |
|
||||||
Теорема |
6.8. |
Игра |
принадлежит ко 2-му типу |
тогда |
|||
и только тогда, |
когда |
соответствующий |
граф |
содержит |
|||
2 дерева |
без |
общих ребер, все вершины |
которых одина |
||||
ковы и имеют в своем составе обе конечные вершины. |
|||||||
Условие теоремы является достаточным. Действи |
|||||||
тельно, |
если |
второй игрок может выиграть, делая |
вто |
||||
рой ход, |
то, |
очевидно, |
он может выиграть и |
пойдя |
пер |
вым. Его ход должен всегда сохранять ребро, которое
связывает две компоненты |
одного дерева, получающие |
ся в результате удаления |
некоторого ребра первым |
игроком. Так как оба дерева имеют одинаковое число ребер, второй игрок всегда сможет соединить две об
разовавшиеся компоненты одного дерева |
ребром, |
при |
|
н а д л е ж а щ и м |
другому дереву .' |
|
|
Необходимость доказывается гораздо сложнее. Это |
|||
доказательство здесь не рассматривается. |
|
|
|
Разновидностью рассмотренной игры является игра |
|||
«Gale» или |
«Bridge-it» (перекидывание |
мостов), |
кото |
рая описана в работах [27], [58] . Граф этой игры ана
логичен |
показанному жирными |
линиями |
на рис. |
6.27. |
|||||
Д л я |
большего удобства выполнения |
ходов |
игра |
делает |
|||||
ся симметричной. При такой форме |
первый |
игрок |
дела |
||||||
ет ходы |
на графе, показанном тонкими линиями, а |
вто |
|||||||
р о й — на |
|
графе, показанном жирными линиями. |
Цель |
||||||
первого |
состоит в построении цепи, соединяющей |
ау' и |
|||||||
w", |
а цель |
второго — соединить |
цепью v' |
и |
v". |
На |
каж |
||
дом |
шаге |
игрок помечает одно |
из |
непомеченных |
ребер |
па своем графе (в начальный момент все ребра не по мечены) такое, что оно не пересекает ни одно из ребер, помеченных его соперником. Графы, показанные на
224 |
ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОЙ |
(ГЛ. в |
рисунке, с небольшой погрешностью можно считать двойственными (чем вызвана погрешность?).
о'
|
|
Рис. |
6.27. |
|
|
Д л я |
данного |
частного вида игры О. Гросс |
предложил |
||
простую |
выигрышную стратегию |
[27] . Эта игра относит |
|||
ся к типу нейтральных, поэтому |
выигрышной |
оказыва |
|||
ется «парная |
стратегия», |
при |
которой первый игрок |
всегда выбирает ребро, противоположное соответствую
щему |
(парному) |
ребру, |
выбранному |
вторым |
игроком |
|||
(за исключением случая, когда это |
|
противоположное |
||||||
ребро уже |
выбиралось) . |
|
|
|
|
|
||
|
|
6.13. Игры на шахматной доске |
|
|
||||
Пусть |
задано |
множество клеток |
шахматной |
доски |
||||
г (рис. 6.28) |
и известно, что из клетки |
с |
четным |
номером |
||||
можно |
сделать ход на соседнюю клетку |
по горизонтали |
||||||
и вертикали, а из клетки с нечетным номером |
|
можно |
||||||
сделать |
ход на соседнюю |
клетку по |
диагонали. |
|
Сопос |
|||
т а в л я я с каждой клеткой вершину графа, можно |
полу |
|||||||
чить матрицу смежности вершин V для |
соответствующе |
|||||||
го графа . |
|
|
|
|
|
|
|
Упражнение 6.17. С помощью элементов седьмой строки и третьего столбца матрицы V4 найти число способов, которыми можно перейти из седьмой клетки в третью за четыре хода. Найти элемент (7, 3)нз
6.13] |
ИГРЫ |
НА |
ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ |
225 |
V2jr... + 1/6 |
и определить |
число способов перехода из |
седьмой |
|
клетки в третью |
при числе |
ходов меньше чем шесть. Наконец, поль |
зуясь диагональными элементами Vs, определить число способов воз врата фигуры в исходное положение за пять ходов.
Вероятно, читатель сталкивался с различными голо воломками, в которых конечная цель состоит в точном
покрытии заданной плоской «доски» множеством |
пло |
|||||||||
ских |
«фигур», общая |
площадь |
которых равна площади |
|||||||
доски. В случае, когда |
каж |
|
|
|
|
|||||
д а я |
фигура имеет |
только |
ко |
|
|
|
|
|||
нечное |
множество |
допусти |
/ |
2 |
3 |
|
||||
мых положений па доске, за |
|
|
|
|
||||||
дача |
покрытия |
может |
быть |
|
|
|
|
|||
сформулирована |
|
(по |
крап- |
|
4 |
5 |
6 |
|||
пси |
мере, в принципе) |
и |
ре |
|
|
|
|
|||
шена в |
терминах теории |
гра |
|
|
|
|
||||
фов. Рассмотрим |
один из по |
|
7 |
|
|
|||||
ходов к решению таких за |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
дач — подход, основанный |
на |
|
|
|
|
|||||
работе |
П. Ж у л ь е н а |
[ 5 2 а ] . |
|
|
Рис. 6.28. |
|
||||
Пусть для конкретности доска |
и к а ж д а я |
фигура |
име |
|||||||
ют вид |
прямоугольников, |
размеры |
которых |
определяют |
ся целыми числами. (Можно делать и более общее предположение.) Предположим, что доска разделена па квадраты единичных размеров и допустимыми считаются только такие положения фигур; при которых все квад раты оказываются полностью покрытыми (нет частично
покрытых |
квадратов) . |
|
|
При |
сделанных предположениях |
можно |
выделить |
все допустимые положения каждой |
фигуры. |
Д в а поло |
жения считаются совместимыми тогда и только тогда,
когда они соответствуют различным фигурам |
и |
взаимно |
||
не пересекаются (не имеют |
общей площади) . |
|
|
|
Обозначим число фигур через k, и пусть |
|
щ—число |
||
допустимых положений i-fi фигуры. Рассмотрим |
граф |
|||
п |
|
|
|
|
G, имеющий У] Пс вершин, |
соответствующих |
всем |
воз- |
|
1 |
|
|
|
|
можным положениям фигур. Будем считать, |
что |
в |
графе |
G вершины v и w являются смежными тогда и только тогда, когда соответствующие положения оказываются совместными в названном смысле. Легко видеть, что каждое решение исходной головоломки соответствует
15р. Баса кер, Т. Саатц
226 |
ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ |
[ГЛ. 6 |
полному подграфу из к вершин и наоборот. Таким обра зом, задача нахождения всех решении головоломки эк вивалентна нахождению всех полных подграфов нз к вершин.
a At |
Пусть, наконец, /1, |
В, |
Z |
обозначают |
фигуры, |
|
означает |
некоторое |
положение |
(т . е . вершину) фигу |
|||
ры |
А. Жульен |
предложил |
последовательность |
преобра |
зовании, позволяющую получить из исходного графа не
который конечный граф, вершины которого |
представля |
|||||||
ют собой различные решения, т. е. полные |
подграфы |
|||||||
исходного графа . |
|
|
|
|
|
|
||
На первом шаге удаляются все вершины, соответст |
||||||||
вующие |
фигурам |
А |
и В |
(в качестве Л и В |
могут |
вы |
||
бираться любые фигуры) . Они заменяются |
вершинами |
|||||||
типа ABtj |
при условии, что |
рассматриваемые |
комбинации |
|||||
At и |
В} |
являются |
совместимыми. Кроме того, АВЦ |
Z, |
сое |
|||
диняется со всеми положениями фигур С, D |
|
ко |
||||||
торые |
оказываются |
совместимыми как с Л,-, так и |
с |
Ву |
||||
Легко |
видеть, что |
существует взаимнооднозначное |
соот |
ветствие между полными подграфами с к вершинами в
исходном графе и полными подграфами с (k—1) |
вер |
||||||||||
шинами в новом графе. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Повторяя |
названную |
процедуру, |
в конечном |
итоге |
|||||||
мы получим |
граф, вершины которого |
имеют |
вид |
ABC... |
|||||||
Ziy . . |
q. При |
этом |
А{, |
В}, |
. . ., |
обозначает |
полный |
под |
|||
граф |
исходного |
графа. Л\ожпо |
ли |
заполнить |
куб |
12Х |
|||||
X 1 2 X 1 2 кирпичами |
размером |
2 X 4 X 8 ? |
(Ответ |
обосно |
|||||||
вать!) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПАРОСОЧЕТАНИЯ |
|
|
|
|
|
|||
|
6.14. Максимальные |
паросочетания |
|
|
|||||||
Паросочетания |
до |
сих |
пор |
считаются |
областью чи |
||||||
стой |
теории, |
еще |
не |
нашедшей |
практического |
приложе |
ния. Примеры обобщений основной задачи о паросочетаниях приводятся в разделе, посвященном задаче объ
единения |
электростанций. |
|
|
|
|||
|
Пусть |
G=(V, |
Е) — граф, не имеющий петель. Множе |
||||
ство |
ребер Мс^Е |
называется паросочетанием |
графа G, |
||||
если |
в М нет двух смежных |
ребер. Таким образом, |
каж |
||||
д а я |
вершина G инцидентна |
самое большее |
одному |
реб |
|||
ру |
М. |
Говорят, |
что вершина |
покрыта (или |
ие покрыта) |
6.14] |
|
|
МАКСИМАЛЬНЫЕ ПАРОСОЧЕТАНПЯ |
|
227 |
|||||||
относительно |
М, |
если |
она |
инцидентна |
(пли |
нет) |
ребру |
|||||
в М. |
Пустое |
множество образует (хотя |
и |
неинтересный) |
||||||||
случай |
паросочетанпя, |
относительно |
которого к а ж д а я |
|||||||||
вершина |
является |
непокрытой. |
|
|
|
|
|
|||||
Паросочетание графа G будем называть |
максималь |
|||||||||||
ным, |
если не существует |
паросочетанпя |
большей |
мощ |
||||||||
ности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
случае, |
когда |
к а ж д а я |
вершина |
покрыта, |
гово |
||||||
рят, |
что |
паросочетание — совершенно. |
Совершенное па |
|||||||||
росочетание |
иногда |
называют |
1-факторным |
[90] . |
Если |
существует совершенное паросочетание для G, то, оче видно, оно является максимальным . (Заметим, что coj
вершенное паросочетание не |
может |
существовать, если |
| V\ — нечетное.) Татт [90] |
выделил |
множество графов, |
обладающих совершенными |
паросочетаниями. |
Основная цель данного раздела состоит в описании алгоритма, предложенного Эдмондсом [20] для нахож
дения |
максимального паросочетанпя |
в произвольном |
графе. |
|
|
В |
частности, алгоритм находит |
совершенное па |
росочетание, если оно существует. В отлцчие от других известных подходов, максимальное число операций в данном алгоритме растет как степенная функция, а не
экспоненциально с ростом числа вершин |
в G. |
|
|
||||
Предположим, |
что |
G — двудольный граф, |
в котором |
||||
существует |
такое |
разбиение 'вершин |
{V\, |
V2}, |
что |
к а ж |
|
дое ребро |
соединяет |
вершину в V\ |
с |
вершиной |
в V2. |
Задачи о паросочетамиях часто возникают в двудольных
графах, особенно, когда вершины в Vx н V2 |
представля |
|||
ют различные |
типы объектов |
(например, |
мужчины—• |
|
женщины, мужчины — работы — м а ш и н ы ) . При этом |
ча |
|||
сто требуется |
«попарно связать» |
или «отобразить» |
раз |
ные типы объектов друг на друга таким образом, чтобы осталось как можно меньше несвязанных объектов (т. е. непокрытых вершин) . Структура исходного графа ис пользуется для выделения всех допустимых парных со-: единений.
Пусть |
М — паросочетание |
графа |
G—(V, |
Е). |
Тогда |
|||||
простая |
цепь |
С |
в |
G |
называется |
чередующейся |
цепью |
|||
относительно |
М, |
если |
ее ребра (при |
прохождении |
цепи |
|||||
от одного конца |
до |
другого) |
являются поочередно |
реб |
||||||
рами паросочетанпя |
(ребрами |
М) |
и |
ребрами |
непаросо- |
|||||
15* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
228 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ [ Г Л . G
четання |
(ребрами |
Е—М). |
Допустим, что дано паросо- |
четанпе |
М и чередующая |
цепь С. Рассмотрим множест |
|
во ребер |
М'=М©С, |
состоящее пз ребер, принадлежащих |
М пли С, по не одновременно обоим множествам . Таким образом, М' получается вычеркиванием из М ребер па-
росочетанпя, входящих в С, |
и добавлением |
к М ребер, |
||||||||
не |
входящих |
в паросочетанпе, |
но |
принадлежащих |
С. |
|||||
Так как число ребер в С, принадлежащих |
паросочета- |
|||||||||
пню, отличается от числа ребер, |
не п р и н а д л е ж а щ и х |
па- |
||||||||
росочетанию, |
самое |
большее па |
1, число ребер в М |
и |
||||||
AV т а к ж е |
различается |
самое |
большое |
на 1. |
|
|
||||
Д л я иллюстрации |
сделанных |
замечании |
рассмотрим |
|||||||
паросочетаиие |
М, |
выделенное |
жирными |
линиями |
на |
|||||
рис. |
6.29, |
а. |
Множество |
А1'=М©С, |
показанное |
на |
|
а) |
|
<Ь) |
|
|
с) |
|
|
|
||
|
|
|
|
Рпс. |
6.29. |
|
|
|
|
|
|
рис. 6.29, |
с, |
получается |
при |
использовании |
чередующей |
||||||
ся цепи С, проведенной па |
рпс. 6.29, Ь. Если, как в пред |
||||||||||
шествующем |
примере, |
конечные |
точки |
чередующейся |
|||||||
цепи С не покрыты ребрами М, то легко видеть, |
что |
М' |
|||||||||
обязательно |
является паросочетанпем |
и |Л'1'| = |
|Л1| + |
1. |
|||||||
П о |
этой причине чередующаяся цепь, |
обе |
конечные |
точ |
|||||||
ки |
которой |
не покрыты, называется чередующимся рас |
|||||||||
ширением. |
Существование |
чередующегося |
расширения |
||||||||
'(или просто |
расширения) является |
необходимым |
и до |
статочным условием того, что М не является максималь
ным паросочетанпем. Сказанное |
можно |
сформулировать |
|||||
в виде следующей теоремы, |
предложенной |
Б е р ж е м [3] |
|||||
и доказанной на основе |
идей |
Эдмондса |
[20] . |
|
|||
Теорема 6.9. Паросочетанпе М в графе G является |
|||||||
максимальным тогда |
п |
только тогда, когда |
G не |
содер |
|||
жит чередующегося |
расширения |
относительно М. |
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Д л я |
завершения |
доказатель |
||||
ства остается показать, |
что |
если М не |
является |
макси- |