Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

.pdf
Скачиваний:
76
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
12.41 Mб
Скачать

6.11] ЗАДАЧА ДЕЛЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА 219

д о к а з ы в а е м ое за

2 шага,

например, Ев-^>-Е7,

Е7-+Е

вместе означают

Е6-^>Е10.

Единичные элементы

матри­

цы, являющейся третьей степенью исходной, указывают постулаты или утверждения, которые могут быть дока­

заны за 2 или за 3 шага.

Наконец, (п1)-я

степень

показывает все утверждения.

Возникает интересная за­

дача нахождения наименьшего числа постулатов, из ко­ торых можно вывести заданное множество утвержде ­ ний. Заметим, что существует, по крайней мере, 2" мно­

жеств

эквивалентных

постулатов,

позволяющих

полу­

чить п

теорем

[70], [73] .

 

 

 

 

 

Упражнение

6.16. Показать, что

общее

число матриц

размером

" X " . элементы

которых принимают

значения 0 пли 1, а

все

диаго­

нальные

элементы единичные, равно

2п"~71.

 

 

 

 

6.11. З а д а ч а деления

треугольника

 

 

Допустим,

что мы

разделили

треугольник ABC

на не­

сколько треугольников меньшего размера, проводя п

линий,

параллельных

его

сторонам

(рис. 6.25, где п=,

= 2).

Расставим

буквы

А,

В

 

и С в точках пересечения ли­

 

ний

со сторонами

следующим

 

образом: точки

на

стороне

ВС

 

могут

помечаться

только

бук­

 

вами В, С (но не А),

точки

на

 

сторонах

АС

и

А В

помечают­

 

ся

по

аналогичному

правилу.

 

Точки,

 

находящиеся

внутри

 

большого

треугольника,

могут

 

помечаться

любой

из

трех

Рис. 6.25.

букв.

Требуется

показать,

что

число маленьких треугольников, вершины которых по­ мечены разными буквами, нечетно.

Д л я

доказательства

припишем

символ нуль

всем

от­

резкам

с

одинаково помеченными

граничными

точками

и символ

1 — отрезкам

с разными

пометками.

Сумма

символов

ребер для любого треугольника ABC

равна

3.

Д л я всех

других треугольников эта

сумма равна 0 или

2. Легко проверить, что сумма символов, соответствую­ щих отрезкам каждой стороны большого треугольника, должна быть нечетной. Сумма символов по всем сто-

220 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ [ГЛ. 6

ромам всех маленьких треугольников должна быть не­

четной, так

как

все

внутренние

отрезки считаются д в а ж ­

ды.

Следовательно,

число

треугольников

(маленьких)

с суммой символов

сторон

3 оказывается

нечетным.

 

 

 

 

6.12. Игра двух лиц

 

 

 

Ориентированный граф является удобной математи­

ческой моделью для описания и анализа

некоторых

ти­

пов ситуаций, в которых проявляется

соревнование

(конкуренция)

двух лиц или двух групп

лиц, имеющих

противоречивые

(конфликтные)

цели. Предлагаемое

ни­

ж е

краткое

обсуждение такого

аспекта

использования

графов не следует рассматривать как попытку формули­

рования наиболее общих понятий, в рамках

которых

теория графов применима к описанию таких

«игр». Оно

не

является т а к ж е попыткой установления

соответствия

между понятиями теории графов и понятиями

формаль ­

ной

теории игр.

 

 

 

Рассмотрим ситуацию, в которой два лица

поочеред­

но

вносят частичные изменения в некоторую

структуру.

(Например, в систему размещения фигур на шахматной доске.) Пусть имеется некое стандартное начальное со­

стояние (например, исходное положение фигур

шахма ­

тистов) и «Книга правил», которая

полностью опреде­

ляет список допустимых ходов, т. е. допустимые

изме­

нения состояния каждого игрока за

1 шаг. Если

суще­

ствует конечное число различных состояний игры, то правила игры можно полностью характеризовать конеч­

ным

направленным графом

с двумя типами дуг.

При

этом

каждое состояние рассматривается как вершина

tv

Вершины

v{ и Vj соединены

дугой типа 1

(или 2)

тогда

и только

тогда, когда игра

может быть

переведена

из

состояния i в состояние / с помощью некоторого допу­ стимого хода первого (второго) игрока.' Полная партия игры представляется на графе в виде пути, который состоит из дуг чередующихся типов и начинается в вер­

шине начального

состояния дугой, соответствующей хо­

ду начинающего

игру лица.

Предположим, что рассматриваемая игра такова, что ни одно из ее состояний не повторяется, т. е. соответ­ ствующий ей граф не имеет контуров. В этом случае

G.I2] ИГРА ДВУХ ЛИЦ 221

число отдельных ходов в партии игры ограничено. Пусть далее «выигрыш» соответствует первому достижению определенного множества состояний, или вершин. На­

пример,

можно считать,

что в

графе без

контуров

рис.

6.26

у и z соответствуют выигрывающим

состояни­

ям,

а х

начальному. (В

данном

примере предполага­

ется, что множество допустимых ходов одинаково для

обоих игроков,

поэтому здесь

нет необходимости

выде­

лять два типа

дуг.)

 

 

З а м е ч а н и е . Необходимо

четко различать

партию

игры п полную игру. Например, в играх более общего вида некоторый игрок может находиться в «выигрываю­ щем состоянии» н проиграть игру в конечном итоге. И, наоборот, он может находиться в «проигрывающем

состоянии»

и

выиграть

в конце

игры. Рассматриваемый

здесь частный

вид игры

можно назвать «игрой двух лиц

с полной

информацией,

двумя

исходами

(проиграл —

выиграл),

заданной в полной форме» . Эта

игра является,

Рис. 6.26.

пожалуй, простейшим видом игры, в которой участвует

более

одного

игрока. Заметим, что множество S вершин

графа

(помеченных звездочкой на рис. 6.26)

обладает

следующими

свойствами.

 

 

 

 

1. Ни одна пара вершин, принадлежащих S, не свя­

зана

дугой.

 

 

 

S,

 

 

2.

Л ю б а я

вершина,

не

п р и н а д л е ж а щ а я

связана

дутой, по крайней мере, с одной вершиной из

5.

 

 

3.

Все

выигрывающие состояния принадлежат

S.

 

Свойства

1 и 2 иногда

называются внутренней

и

внешней

устойчивостью

соответственно. Множество

вер-

222 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ (Г Л G

шин подобное S, обладающее свойствами

1 и 2,

называ­

ется

ядром.

Пусть теперь первый ход игры

делает

иг­

рок

1, который знает ядро S, и пусть начальное состоя­

ние не принадлежит S. В этом случае в силу свойства 2

игрок 1 может попасть в

одно из состояний

S. Если

это

состояние

не оказывается

выигрышным,

то

независимо

от хода игрока 2 вследствие свойства

1 оно

приведет

игрока 1 в

состояние, не

п р и н а д л е ж а щ е е

5

не явля­

ющееся выигрышным по свойству 3). Следующий про­ думанный шаг игрока 1 вернет игру в S. В результате рассмотренной процедуры партия игры оканчивается в конечном итоге выигрышем игрока 1.

Таким образом, если структура игры полностью оп­

ределена и выделено ядро S, то игрок

1 в

принципе

имеет выигрышную стратегию при начальном

состоянии

вне 5.

(Если

начальное состояние принадлежит 5, то

игрок

2 имеет

выигрышную стратегию.)

На

практике

структура нетривиальных игр оказывается, конечно, слишком сложной для представления в виде такого полного графа переходов. Однако, если правила игры таковы, что соответствующий граф, несмотря на слож­

ность, имеет систематическую

структуру,

то

можно най­

ти методы получения элементов S, как и требуется в ок­

рестности

текущего состояния

игры.

 

 

 

 

З а м е ч а н и е . Читателям,

знакомым

с

игрой «Ним»

и с выигрышными стратегиями этой

игры,

рассмотрен­

ные

действия помогают

определить

 

принадлежность

текущего

состояния,

т. е.

оставшегося

числа

палочек

в каждой кучке, к множеству S п, кроме того, найти пе­

реход в S, если текущее состояние не

принадлежит это­

му

множеству.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И г р а т и п а «п е р е к л ю ч е н и е»

 

Р а с с м а т р и в а е м а я

ниже

игра была

впервые

сформу­

лирована

Шенноном,

а ее решение предложено

Леманом

[58] . Игра проводится ка графе двумя игроками. Оба игрока по договоренности выделяют две вершины, на­

зываемые конечными. Затем они поочередно

делают

ходы.

 

 

В соответствии с правилами ходов

один из

игроков

на к а ж д о м ходе удаляет из графа одно

из ребер

и стре-

6.12]

ИГРА ДВУХ

ЛИЦ

223

мится в конечном итоге

разорвать все

цепи, связываю­

щие конечные

вершины.

Другой

игрок

на каждом ходе

помечает одно из ребер. При этом помеченное ребро не может быть удалено из графа. Цель его состоит в со­ хранении хотя бы одной цепи между конечными верши­ нами. Игра, в которой может выиграть первый игрок, независимо от того, кто делает первый ход, называется

игрой 1-го

типа. Игра, в которой

может выиграть

вто­

рой игрок,

— игрой 2-го типа. Игра,

в которой может

вы­

играть любой из игроков, сделавший первый ход, назы­

вается нейтральной. Д а л е е мы остановимся кратко

толь-,

ко на условиях, определяющих игру 2-го типа.

 

Теорема

6.8.

Игра

принадлежит ко 2-му типу

тогда

и только тогда,

когда

соответствующий

граф

содержит

2 дерева

без

общих ребер, все вершины

которых одина­

ковы и имеют в своем составе обе конечные вершины.

Условие теоремы является достаточным. Действи­

тельно,

если

второй игрок может выиграть, делая

вто­

рой ход,

то,

очевидно,

он может выиграть и

пойдя

пер­

вым. Его ход должен всегда сохранять ребро, которое

связывает две компоненты

одного дерева, получающие­

ся в результате удаления

некоторого ребра первым

игроком. Так как оба дерева имеют одинаковое число ребер, второй игрок всегда сможет соединить две об­

разовавшиеся компоненты одного дерева

ребром,

при­

н а д л е ж а щ и м

другому дереву .'

 

 

Необходимость доказывается гораздо сложнее. Это

доказательство здесь не рассматривается.

 

 

Разновидностью рассмотренной игры является игра

«Gale» или

«Bridge-it» (перекидывание

мостов),

кото­

рая описана в работах [27], [58] . Граф этой игры ана­

логичен

показанному жирными

линиями

на рис.

6.27.

Д л я

большего удобства выполнения

ходов

игра

делает­

ся симметричной. При такой форме

первый

игрок

дела­

ет ходы

на графе, показанном тонкими линиями, а

вто­

р о й — на

 

графе, показанном жирными линиями.

Цель

первого

состоит в построении цепи, соединяющей

ау' и

w",

а цель

второго — соединить

цепью v'

и

v".

На

каж ­

дом

шаге

игрок помечает одно

из

непомеченных

ребер

па своем графе (в начальный момент все ребра не по­ мечены) такое, что оно не пересекает ни одно из ребер, помеченных его соперником. Графы, показанные на

224

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОЙ

(ГЛ. в

рисунке, с небольшой погрешностью можно считать двойственными (чем вызвана погрешность?).

о'

 

 

Рис.

6.27.

 

 

Д л я

данного

частного вида игры О. Гросс

предложил

простую

выигрышную стратегию

[27] . Эта игра относит­

ся к типу нейтральных, поэтому

выигрышной

оказыва­

ется «парная

стратегия»,

при

которой первый игрок

всегда выбирает ребро, противоположное соответствую­

щему

(парному)

ребру,

выбранному

вторым

игроком

(за исключением случая, когда это

 

противоположное

ребро уже

выбиралось) .

 

 

 

 

 

 

 

6.13. Игры на шахматной доске

 

 

Пусть

задано

множество клеток

шахматной

доски

г (рис. 6.28)

и известно, что из клетки

с

четным

номером

можно

сделать ход на соседнюю клетку

по горизонтали

и вертикали, а из клетки с нечетным номером

 

можно

сделать

ход на соседнюю

клетку по

диагонали.

 

Сопос­

т а в л я я с каждой клеткой вершину графа, можно

полу­

чить матрицу смежности вершин V для

соответствующе­

го графа .

 

 

 

 

 

 

 

Упражнение 6.17. С помощью элементов седьмой строки и третьего столбца матрицы V4 найти число способов, которыми можно перейти из седьмой клетки в третью за четыре хода. Найти элемент (7, 3)нз

6.13]

ИГРЫ

НА

ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ

225

V2jr... + 1/6

и определить

число способов перехода из

седьмой

клетки в третью

при числе

ходов меньше чем шесть. Наконец, поль­

зуясь диагональными элементами Vs, определить число способов воз­ врата фигуры в исходное положение за пять ходов.

Вероятно, читатель сталкивался с различными голо­ воломками, в которых конечная цель состоит в точном

покрытии заданной плоской «доски» множеством

пло­

ских

«фигур», общая

площадь

которых равна площади

доски. В случае, когда

каж ­

 

 

 

 

д а я

фигура имеет

только

ко­

 

 

 

 

нечное

множество

допусти­

/

2

3

 

мых положений па доске, за­

 

 

 

 

дача

покрытия

может

быть

 

 

 

 

сформулирована

 

(по

крап-

 

4

5

6

пси

мере, в принципе)

и

ре­

 

 

 

 

шена в

терминах теории

гра­

 

 

 

 

фов. Рассмотрим

один из по­

 

7

 

 

ходов к решению таких за­

 

 

 

 

 

 

 

дач — подход, основанный

на

 

 

 

 

работе

П. Ж у л ь е н а

[ 5 2 а ] .

 

 

Рис. 6.28.

 

Пусть для конкретности доска

и к а ж д а я

фигура

име­

ют вид

прямоугольников,

размеры

которых

определяют­

ся целыми числами. (Можно делать и более общее предположение.) Предположим, что доска разделена па квадраты единичных размеров и допустимыми считаются только такие положения фигур; при которых все квад­ раты оказываются полностью покрытыми (нет частично

покрытых

квадратов) .

 

 

При

сделанных предположениях

можно

выделить

все допустимые положения каждой

фигуры.

Д в а поло­

жения считаются совместимыми тогда и только тогда,

когда они соответствуют различным фигурам

и

взаимно

не пересекаются (не имеют

общей площади) .

 

 

 

Обозначим число фигур через k, и пусть

 

щ—число

допустимых положений i-fi фигуры. Рассмотрим

граф

п

 

 

 

 

G, имеющий У] Пс вершин,

соответствующих

всем

воз-

1

 

 

 

 

можным положениям фигур. Будем считать,

что

в

графе

G вершины v и w являются смежными тогда и только тогда, когда соответствующие положения оказываются совместными в названном смысле. Легко видеть, что каждое решение исходной головоломки соответствует

15р. Баса кер, Т. Саатц

226

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ

[ГЛ. 6

полному подграфу из к вершин и наоборот. Таким обра­ зом, задача нахождения всех решении головоломки эк­ вивалентна нахождению всех полных подграфов нз к вершин.

a At

Пусть, наконец, /1,

В,

Z

обозначают

фигуры,

означает

некоторое

положение

(т . е . вершину) фигу­

ры

А. Жульен

предложил

последовательность

преобра­

зовании, позволяющую получить из исходного графа не­

который конечный граф, вершины которого

представля­

ют собой различные решения, т. е. полные

подграфы

исходного графа .

 

 

 

 

 

 

На первом шаге удаляются все вершины, соответст­

вующие

фигурам

А

и В

(в качестве Л и В

могут

вы­

бираться любые фигуры) . Они заменяются

вершинами

типа ABtj

при условии, что

рассматриваемые

комбинации

At и

В}

являются

совместимыми. Кроме того, АВЦ

Z,

сое­

диняется со всеми положениями фигур С, D

 

ко­

торые

оказываются

совместимыми как с Л,-, так и

с

Ву

Легко

видеть, что

существует взаимнооднозначное

соот­

ветствие между полными подграфами с к вершинами в

исходном графе и полными подграфами с (k1)

вер­

шинами в новом графе.

 

 

 

 

 

 

 

Повторяя

названную

процедуру,

в конечном

итоге

мы получим

граф, вершины которого

имеют

вид

ABC...

Ziy . .

q. При

этом

А{,

В},

. . .,

обозначает

полный

под­

граф

исходного

графа. Л\ожпо

ли

заполнить

куб

12Х

X 1 2 X 1 2 кирпичами

размером

2 X 4 X 8 ?

(Ответ

обосно­

вать!)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПАРОСОЧЕТАНИЯ

 

 

 

 

 

 

6.14. Максимальные

паросочетания

 

 

Паросочетания

до

сих

пор

считаются

областью чи­

стой

теории,

еще

не

нашедшей

практического

приложе­

ния. Примеры обобщений основной задачи о паросочетаниях приводятся в разделе, посвященном задаче объ­

единения

электростанций.

 

 

 

 

Пусть

G=(V,

Е) — граф, не имеющий петель. Множе ­

ство

ребер Мс^Е

называется паросочетанием

графа G,

если

в М нет двух смежных

ребер. Таким образом,

каж ­

д а я

вершина G инцидентна

самое большее

одному

реб­

ру

М.

Говорят,

что вершина

покрыта (или

ие покрыта)

6.14]

 

 

МАКСИМАЛЬНЫЕ ПАРОСОЧЕТАНПЯ

 

227

относительно

М,

если

она

инцидентна

(пли

нет)

ребру

в М.

Пустое

множество образует (хотя

и

неинтересный)

случай

паросочетанпя,

относительно

которого к а ж д а я

вершина

является

непокрытой.

 

 

 

 

 

Паросочетание графа G будем называть

максималь­

ным,

если не существует

паросочетанпя

большей

мощ­

ности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

случае,

когда

к а ж д а я

вершина

покрыта,

гово­

рят,

что

паросочетание — совершенно.

Совершенное па­

росочетание

иногда

называют

1-факторным

[90] .

Если

существует совершенное паросочетание для G, то, оче­ видно, оно является максимальным . (Заметим, что coj

вершенное паросочетание не

может

существовать, если

| V\ — нечетное.) Татт [90]

выделил

множество графов,

обладающих совершенными

паросочетаниями.

Основная цель данного раздела состоит в описании алгоритма, предложенного Эдмондсом [20] для нахож­

дения

максимального паросочетанпя

в произвольном

графе.

 

 

В

частности, алгоритм находит

совершенное па­

росочетание, если оно существует. В отлцчие от других известных подходов, максимальное число операций в данном алгоритме растет как степенная функция, а не

экспоненциально с ростом числа вершин

в G.

 

 

Предположим,

что

G — двудольный граф,

в котором

существует

такое

разбиение 'вершин

{V\,

V2},

что

к а ж ­

дое ребро

соединяет

вершину в V\

с

вершиной

в V2.

Задачи о паросочетамиях часто возникают в двудольных

графах, особенно, когда вершины в Vx н V2

представля­

ют различные

типы объектов

(например,

мужчины—•

женщины, мужчины — работы — м а ш и н ы ) . При этом

ча­

сто требуется

«попарно связать»

или «отобразить»

раз ­

ные типы объектов друг на друга таким образом, чтобы осталось как можно меньше несвязанных объектов (т. е. непокрытых вершин) . Структура исходного графа ис­ пользуется для выделения всех допустимых парных со-: единений.

Пусть

М — паросочетание

графа

G—(V,

Е).

Тогда

простая

цепь

С

в

G

называется

чередующейся

цепью

относительно

М,

если

ее ребра (при

прохождении

цепи

от одного конца

до

другого)

являются поочередно

реб­

рами паросочетанпя

(ребрами

М)

и

ребрами

непаросо-

15*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

228 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ [ Г Л . G

четання

(ребрами

Е—М).

Допустим, что дано паросо-

четанпе

М и чередующая

цепь С. Рассмотрим множест­

во ребер

М'=М©С,

состоящее пз ребер, принадлежащих

М пли С, по не одновременно обоим множествам . Таким образом, М' получается вычеркиванием из М ребер па-

росочетанпя, входящих в С,

и добавлением

к М ребер,

не

входящих

в паросочетанпе,

но

принадлежащих

С.

Так как число ребер в С, принадлежащих

паросочета-

пню, отличается от числа ребер,

не п р и н а д л е ж а щ и х

па-

росочетанию,

самое

большее па

1, число ребер в М

и

AV т а к ж е

различается

самое

большое

на 1.

 

 

Д л я иллюстрации

сделанных

замечании

рассмотрим

паросочетаиие

М,

выделенное

жирными

линиями

на

рис.

6.29,

а.

Множество

А1'=М©С,

показанное

на

 

а)

 

<Ь)

 

 

с)

 

 

 

 

 

 

 

Рпс.

6.29.

 

 

 

 

 

 

рис. 6.29,

с,

получается

при

использовании

чередующей­

ся цепи С, проведенной па

рпс. 6.29, Ь. Если, как в пред­

шествующем

примере,

конечные

точки

чередующейся

цепи С не покрыты ребрами М, то легко видеть,

что

М'

обязательно

является паросочетанпем

и |Л'1'| =

|Л1| +

1.

П о

этой причине чередующаяся цепь,

обе

конечные

точ­

ки

которой

не покрыты, называется чередующимся рас­

ширением.

Существование

чередующегося

расширения

'(или просто

расширения) является

необходимым

и до­

статочным условием того, что М не является максималь ­

ным паросочетанпем. Сказанное

можно

сформулировать

в виде следующей теоремы,

предложенной

Б е р ж е м [3]

и доказанной на основе

идей

Эдмондса

[20] .

 

Теорема 6.9. Паросочетанпе М в графе G является

максимальным тогда

п

только тогда, когда

G не

содер­

жит чередующегося

расширения

относительно М.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Д л я

завершения

доказатель ­

ства остается показать,

что

если М не

является

макси-

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ