Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3822 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

6.0)	ЗАДАЧИ	ИЗМЕНЕНИЯ СОСТОЯНИЙ			СИСТЕМЫ		209
некоторое время		с графом	рпс. 6.20 и либо			найти	реше
ние,	либо убедиться, что		его	нет. Д л я	того	чтобы дать
систематический		способ поиска решения, определим					вспо
могательный граф, имеющий те ж е					самые вершины.
Вспомогательный		граф вводится для того, чтобы					отра
зить	возможные	изменения		состояния	системы		между

МММ

Рис. G.20.

двумя последовательными возвращениями лодки. Тем самым исключается "необходимость чередовать дуги, со ответствующие отъезду и возвращению лодки.

Пусть, например, лодка стоит у берега А, а система

находится

состоянии МММС.

Из

рис.

6.20

мы

видим,

что

система

может

перейти

состояние

AIM С С

или

ММСК

через состояние А1С (заметим, что при

этом

лод

ка снова окажется у берега А).

Поэтому

соединяем

реб

ра МММС

с А1МСС

и А1МСК.

На

рис. 6.21

показаны

все

такие

ребра

(включая

ориентированные

ребра,

ве

дущие

конечное состояние 0, которые соответствуют

последнему

переезду

без

возвращения

лодки

на

берег

А).

Д л я

вспомогательного

графа

рис.

6.21

задача

за

ключается

в следующем: определить цепь из

МММССК

в 0.

Легко

видеть, что т а к а я

цепь

существует.

Напри

мер,

МММССК,

МММСК,

МММК,

ММСК,

ММСС,

ССК,

МС,

является

искомой

цепью. Д о б а в л я я (в скоб

ках)

промежуточные

состояния, получим

следующее

ре-

Н Р. Б«сакер, Т, Са«т«

210	ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ				(ГЛ. 6
шение для первоначального графа рис. 6.20:					МММССК,
(ММСК),	МММСК,	(МММ),	МММ К,	(МК),	ММСК.
[(МС),	ММСС, (СС),	ССК,	(С), МС,	0. Это	решение

МММ

			Рис. 6.22.
показано на рис. 6.22.			Отметим, что		найденный путь не
является		простым, так		как две дуги входят в		ММСК
и	МС (в	к а ж д о м случае		одна дуга	соответствует	отъез
ду	лодки	от берега А,	а	вторая — возвращению		л о д к и ) .

ЗАДАЧИ ИЗМЕНЕНИЯ СОСТОЯНИИ СИСТЕМЫ

211

Упражнения

6.13. Определить, имеет ли задача о миссионерах и людоедах ре шение с меньшим числом переездов, при менее сильном предположе нии, что все людоеды умеют грести. (Заметим, что при более сильном предположении, что только одни миссионер может грести, задача ста новится более интересной.)

6.14. Д л я	ориентированного			графа,	показанного на рис.	6.23,
определить путь из v		в ш, в	котором чередуются сплошные и			пунк
тирные дуги,	причем	первая	дуга	является	сплошной.

	Рис. 6.23.
a)	Решить задачу, использовав для исследования исходного гра
фа рис.	6.23.

b)Решить задачу, применяя описанный выше метод построения вспомогательного графа, каждая из дуг которого соответствует паре чередующихся дуг (или одной сплошной дуге, оканчивающейся в га)

первоначального графа.

c)Отметим, что решение не является простым путем в первона

чальном графе. (Действительно, путь возвращается в v.)

	В	некоторых		случаях	допустимые	переходы		очевид
ны,	в	других	ж е	совершенно неясно,		можно	ли	достичь
из	заданного начального состояния желаемого конечно
го.	Примером		последнего		явл'яется	задача	отыскания
пути в сложной путанице лабиринта, которая								часто
встречается в литературе					по занимательной		математике.

Это в сущности задача определения цепи, соединяющей

две	заданные вершины соответствующего	графа, кото
рый характеризует структуру лабиринта.
Рассмотрим, например, плоский лабиринт, показан
ный на рис. 6.24. Этот лабиринт состоит		из 36 отделе
ний,	некоторые из которых соединены	«проходами»

(указанными разрывами в линиях) . Предположим, что

задача	заключается в том,		чтобы достигнуть точки Q
вне лабиринта,		начиная из	отделения Р.	Рассмотрим
граф,	вершины	которого	соответствуют	отделениям,

а ребра указывают, какие пары соседних отделений со единены проходом. Этот граф показан на рис. 6.24. Д л я данного графа задача заключается в определении цепи, соединяющей Р и Q. В такой формулировке задача

14*

212

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ

[ГЛ. 6

является очень простой. Построив граф, соответствующий данному лабиринту, мы можем применить методы поме ток главы 3 и определить дерево, соединяющее Р со всеми другими вершинами (отделениями) . При этом,

	Т			+
	Т			т	—	г
				+
			+			+	Q
			+			+
	J		L
			Рис.	6.24.
в частности, мы найдем и				цепь,		соединяющую		Р и Q
(если задача имеет		решение) .
Однако	заметили одного серьезного затрудне
Однако	мы не+
ния. Метод непосредственной пометки							требует	система
тического	перебора		ребер	и	вершин		и предполагает,

что мы фактически знаем структуру всего лабиринта . Практически же, если мы находимся в лабиринте, ска жем, в точке Р, то вначале у нас есть очень мало ин

формации,	а именно, мы знаем только, в какие отделе
ния можно	попасть непосредственно из Р. Добавочная

информация поступает только постепенно, при исследо вании различных направлений .

Все многочисленные существующие методы отыска ния выхода из такого лабиринта основаны на система тизации процедуры исследования путей, позволяющей избежать излишних повторений одного и того ж е пути (некоторые повторения неизбежны) . Существование ту пика нельзя предсказать, его можно только обнаружить . (Когда тупик обнаружен, повторение части пути неиз

бежно.) Однако, отмечая	вершины и ребра по	мере то
го, как они встречаются	и исследуются, можно	предло-

6.10) МАТРИЧНАЯ ФОРМА ЗАДАЧИ О ПЕРЕПРАВЕ 213


ж и ть способ,		при	котором	ни одно		ребро	не	проходится
д в а ж д ы в	одном		направлении		независимо		от	структуры
лабиринта	(заметим, что			лабиринт		может быть			прост
ранственным		и в	этом случае		связанный		с	ним	граф
оказывается		неплоским).
6.10. Матричная форма задачи о переправе
Решим	предложенную			в предыдущем			разделе		зада

чу о переправе через реку миссионеров и людоедов, ис пользуя при этом матрицу смежности вершин.

Напомним условие задачи: лодка выдерживает	не
более двух человек, и на одном и том ж е берегу	не

должно находиться больше людоедов, чем миссионеров, поскольку первые имеют привычку съедать своих святых наставников. Рассмотрим простой случай переправы че

рез	реку группы из двух миссионеров и двух людоедов.
	П р е ж д е чем выписывать матрицу	смежности,	поста
вим в соответствие вершинам графа		состояния на одном
из	берегов реки. Предположим, что	вся группа	появля

ется на левом берегу реки. Рассмотрим все возможные состояния (с учетом наших двух условий) на левом бе регу. Состояние будет обозначаться парой чисел, первое из которых указывает число миссионеров, а второе — число людоедов. Мы имеем следующие возможные со

стояния на левом берегу.
	о, =		(2,		2),	t's=(0 ,	2),
	о 2	=	(2,		1),	w 6 = (0,	1).
.	о 3	=	(2,		0),	о 7 = ( 0 ,	0) .
	о 4 = ( 1 ,				1),
Заметим, что	состояние			(1, 0)		недопустимо, так как соот
ветствующее	состояние			на правом			берегу будет (1, 2)

и единственный миссионер будет съеден. Аналогично, со

стояние (1, 2) недопустимо и на	левом берегу.	Образу
ем матрицу смежности, элементы	которой равны	1 или О

в зависимости от того, возможен ли			переход из одного
состояния	на левом берегу	к другому	состоянию т а к ж е
на левом	берегу. Переходы,	конечно,	определяются отъ

ездами лодки. Таким образом, мы выписываем названия вершин слева и сверху матрицы, н расставляем элемен-

21'»

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ

[ГЛ 6

ты 0 пли 1 в зависимости от возможности перехода из состояния, представленного вершиной слева матрицы к другому состоянию, представленному вершиной сверху. Получаем матрицу смежности

	•o	v2	fa	"l	"»	»«	От
	•o	1	1	1	1	0	0'
v2	0	0	1	1	0	1	0
V,	0	0	0	0	0	0	1
	0	0	0	0	0	1	1
	0	0	0	0	0	1	1
	0	0	0	0	0	0	1
	0	0	0	0	0	0	oJ

Д л я правого берега реки мы будем иметь идентичное множество состояний, которые являются дополнитель ными к состояниям левого берега. Их матрица V явля ется транспонированной относительно выписанной выше матрицы V. Нетрудно проверить, что для получения матрицы возможных переходов после одного переезда

лодки туда п обратно необходимо	перемножить V 4 l / / .
В общем случае, чтобы получить	матрицу переходов

после т переездов лодки туда и обратно, нужно вычис

лить ( V V ) " 1 . А так как наша цель	заключается		в	пере
праве группы на правый берег, то	необходимо			(VV')m
умножить на V. Это даст (W)mV,	и	задача свелась к
определению числа т двусторонних	(т.	е. туда	и	обрат

но) переездов лодки, при котором элемент, стоящий на пересечении строки v\ и столбца v7 матрицы (VV)mV, равен 1, т. е. на левом берегу имеет место переход из

состояния (2, 2)	в состояние		(0,	0)	и	вся	группа	оказы
вается на правом берегу. Заметим,					что	величина		элемен
тов произведений	W,	WV,	W	W		и	т. д. указывает

на число способов, которыми можно осуществить соот ветствующий переход. Это число может быть больше 1.

Так как наша цель состоит в определении д л я	каждого
состояния одного возможного перехода, то все	ненуле
вые элементы произведений можно положить	равными

1. Оказывается, что исходную задачу можно решить пу

тем	т = 2	двусторонних		переездов и одного		(последне
го)	одностороннего		(т.	е. единичный элемент впер
вые	появляется на		пересечении строки		v\ и	столбца v7
п	матрице	(W)2V).		Результаты	последовательных

6.10]

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ЗАДАЧИ О ПЕРЕПРАВ'Е

215

вычислении имеют следующий вид:

	'0 0 0 0 0 0 0											'1	I	0 0 0 0						о
	1	0	0	0	0		0	0				1	1	0		1	1		0	о
	1	1	0	0	0		0	0				0	0	1	1	1		1		о
V =	1 1 0 0 0 0 0 , VV =											0 1 1 1 1 1								о
	1	0	0	0	0		0	0				0	1	1	1	1		1		о
	0	1	0	1	1		0	0				0	0	1	1	1		1		°\|
	•0	0	1	1	1		1	0				0	0	0	0		0		0	°\|
		(0 1 1 1 1 1 0\										ч п 1 0 1 1 0 0^								QJ
		0		1 1	1	1	1 0						1	1 0	1 1 0				0
		О О О 0 0 1 1											0 1 1 1 1 1 0
VV'V =		0	0 1		1 0		1	1	,		(VV'f	=	1	1 1 1 1 1 0
		0 0 1 1 0 1 1										=	1 1 1 1 1 1 0
		О О О 0 0 1 1											0 1 1 1 1 1 0
		^0 0 0 0 0 0 o i												0 0 0 о о o i
									0		1 1 1 1 1 1
									0		1 1 1 1 1 1
				(VV)-			V	=	0	0	1 1 0	1 1
				(VV)-			V	=	0		1 1 1 1 1 1
									0		1 1 1 1 1 1
									0	0	1 1 0	11
									[о	о о о о о 0)
Теперь		задача			состоит				в том, чтобы				восстановить ре
шение	по	найденным						матрицам .				Рассмотрим							элемент
(аи v7)	последней				матрицы					(VV)2-V.			Этот		элемент яв

ляется единичным. Найдем возможные ненулевые эле

менты первой строки матрицы (VV)2,	которые при умно
жении на седьмой столбец v д а в а л и	бы единичное значе

ние рассматриваемого элемента. Одним из таких эле

ментов	является	(1, 4), элемент в первой строке и
четвертом столбце		матрицы (VV)2, так как элемент		(4,
7) матрицы V т а к ж е является			единичным. Другим	эле
ментом	У с таким	жесвойством	является (5,7). Выберем

первый из названных элементов. Таким образом, полу


чаем, что последний	переход есть v4	v7. Д а л е е		смот
рим, каким способом	мог получиться	единичный элемент
(1, 4) матрицы (VV)2.	Проверив первую		строку	(VV')X
X V и четвертый столбец V, получаем, что			рассматривае

мый единичный элемент		есть результат наличия ненуле
вого элемента	(6, 4) в матрице V		(так как соответству
ющий элемент	матрицы	(VV')-V	т а к ж е отличен от ну-

216	ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ	[ГЛ. 6
л я ) . Таким	образом, предпоследний переход есть	i>6 ->-

-»- v4. Снова проверяем причину наличия ненулевого

элемента

(6,

матрицы

{VV')-V.

Находим,

что он об

разован

единичными

элементами

(2, 1)

в матрице

и (2, б)

в матрице V. Таким образом,

третий от

конца

переход

есть v.2-*-ve.

Аналогично

находим,

что

четвер

тый и

пятый

от

конца переходы

v3->-v2

и Vi-*-v3

соот

ветственно. Вся

результирующая

совокупность

перехо

дов есть

v,-+v3, v3-+v2, v2-+v6,

v6->~vA, vA-+v7

или

более

простом

виде: vu

v3, v2,

rj6 , u 4 и

v7. В принципе

можно

было

бы

найти

другие

допустимые

переходы.

Д а д и м словесную интерпретацию полученного

реше

ния. Так

как v3

есть

(2, 0), оба

людоеда д о л ж н ы

пере

правиться одновременно, причем один из них должен


вернуться		(из-за	v2).	Затем вернувшийся		людоед	дол
жен	высадиться,		а два		миссионера д о л ж н ы занять		ме
сто	в лодке. После причаливания к правому берегу						один
пз	миссионеров		должен		высадиться (чтобы получить
v6),	а другой вернуться обратно, чтобы получить						vA.
Наконец,		последний		миссионер и людоед		переправляют

ся вместе на правый берег. При этом достигается ко

нечное состояние		v7.
Упражнение C.I5. Состояния			системы	в задаче		о трех		миссионе
рах н трех людоедах, • когда у меют грести				все три миссионера и толь
ко один	людоед, можно представить тропкой				(т, г,	с),	где	О ^ т ^ З ,
0 ^ / - ^ ]	н 0 ^ с ^ 2 ,	причем гп соответствует			миссионерам,			г — умею
щему грести людоеду и с — двум			остальным		людоедам .		В этом слу

чае существует 16 возможных состояний системы. Запишите матрицу переходов системы.

Чтобы определить существование решения без ис пользования всех процедур, необходимых для его факти

ческого получения, воспользуемся				следующим		методом.
Заметим,		что решение д о л ж н о		иметь	вид	( V V " ) m X
X V .	Пусть	начальное	состояние	системы	соответствует
вершине vu		а конечное — вершине		vk. Тогда, если реше
ние существует, то можно найти				т такое, что		элемент
(1, k)	матрицы (VV')m-V		оказывается ненулевым. Как

было показано выше, чтобы этот элемент был равен


единице, необходимо			существование,		по крайней		мере,
одного	ненулевого	элемента		в первой	строке	матрицы
(VV')"\	соответствующего ненулевому элементу в k-м
столбце	матрицы	V.	Таким	образом,	задача	сводится
к определению ненулевых элементов первой строки							мат-

6.10]	МАТРИЧНАЯ ФОРМА ЗАДАЧИ О ПЕРЕПРАВЕ					217
рицы	(VV')m	для любой	степени т. Это уже существен
но более простая задача			д а ж е при очень больших			мат
рицах. Пусть		множество	{va, vb,	ис} состоит	из	вер
шин,	соответствующих		единичным	элементам	первой

строки матрицы (VV). В эти вершины можно попасть из вершины vi за один круговой проход. Добавим к это му множеству все вершины, которым соответствуют еди


ничные		элементы		в	а-й,	6-й,	с-й строке	матрицы
VV.	Новое		расширенное			множество содержит		вершины,
в которые			можно	попасть		нз V\ за два круговых прохо
да.	Будем		повторять такой процесс расширения для
всех	новых		вершин		множества до тех пор, пока ие пере
берем		всех	вершин		множества-		Множество,	полученное

Б результате такого процесса, состоит из всех вершин, в ко торые можно попасть из г'\ за произвольное число кру говых проходов. Если это множество содержит верши ны, которым соответствуют ненулевые элементы в k-м столбце матрицы V, то исходная задача имеет решение. В противном случае решение не существует.

Рассмотрим в качестве примера задачу с четырьмя миссионерами и четырьмя людоедами. Пусть вершины графа (число миссионеров, число людоедов)

v\ = ( 4 ,	4), и 6	= ( 3	,	3), i>,o=(0,			3),
и 2 = ( 4 ,	3), v7=(2,			2),	в „ = ( 0 ,		2),
« з = ( 4 ,	2), и 8	= ( 1	,	1),	f i 2 = ( 0	,	1),
и . , = (4.	Г), w 9 = (0,'4),				в , з = (0, 0).
w 5 = ( 4 ,	0),

Задача состоит в том, чтобы перейти из vi в vl3:

и, V, Vz и, us и„ О; V, и, и,„ о„и,„и„

и,	/ 0 1 1 0 0 - 1 0 0 0 0 0 0 0'
v,		0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
v,		0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0
v.		0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
и,		0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

и.0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

V = v,	0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 -
t .e	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

v.0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

и,„	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0
«„	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
о„	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0											0 1
и „ 0 0 0 0 0 0 0 0 0										0 0 0 0-'

218 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ (ГЛ. 6

В 13-м столбце элементы									vs,		t ) M и v[2					не		равны	нулю.-
Следовательно,				если	задача				имеет решение, то элемен
ты и8 ,	у п .	»	v\2	первой			строки				матрицы						(VV')m		т а к ж е
д о л ж ы	быть		ненулевыми:
					4.	V.	V,	l \	vs		В; I'j 11, ('„, ГцЧ.аЧ,!
					•1	1 0 0 0 0 0 0 0 0									0 0 o1
				О"	1	1 1 0			0	0	0	0	0	0	0	0 0
				fa	0	1 1 1 0				1 0		0	0	0	0	0 0
				t'i	0	0 1 1 0 0 0 0 0								0	0 0 0
				I'j	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
				L'„	0	0	1 0		0	1 0		0	0	0	0	0	0
				«7	0	0	0	0	0 0		1 0		1 1 0			0 0
				«*	0	0	0	0	0 0		0	1 0		1 1		1	0
				4U	0	0	0	0 0 0 1 0 1 1 0 0 0
					0	0	0	0	0 0		1 1 1 1 1 0						0
					0	0	0	0	0	0	0	1 0			1 1 1		0
					0	0	0	0	0 0		0	1 0		0	1 1 0
					.0	0	0	0	0 0		0	0	0	0	0	0 0;
'Множество вершин,						в		которые					можно				попасть		из	vu
С О С Т О И Т	И З	{V\V2}.		И з		V2 М О Ж Н О						ПОПаСТЬ					В	V\, v 2	И	Уз.

Поэтому добавим и3 к первоначальному множеству н

получим расширенное				множество		{uh	v2,	v3}. И з	w3	мож
но попасть в v2,		и3 ,	о 4	и и6 . В В О Д Я		новые		вершины,		полу
чим	множество	{ о ь	v2,	и3 ,	tv4, v6}.	Из	v4	можно	перейти
в v3	и о4 . Оба	эти перехода			не изменяют			множества. На

этом все возможности исчерпаны. Следовательно, из Vi

можно попасть только в vv,			v2,	v3, и4 и v6		и нельзя			по
пасть в us, v7,	с'8,	v0, У\|0 ) Уп, t)1 2 ,		t)i3 iiii	при		каком	числе
круговых проходов. Но в			13-м столбце матрицы					V	не
нулевыми являются только			элементы		и8 ,	v n	и vi2.		Так
как ни один из этих элементов не вошел						в	окончатель
ное множество, можно сделать вывод, что						исходная			за
дача не имеет	решения.
З а м е ч а н и е .		Матрица	переходов		(булева)			может
использоваться	т а к ж е для		представления			ориентирован

ного графа, соответствующего постулатам на множестве

состояний Еи	Е2, . . . ,	Е,„	которые з а д	а ю т	соотношения
типа £,-»-£,•.	Заметим,	что	постулат £	4 -*-£"(	всегда вы

полняется. Возведя исходную матрицу в квадрат, мы получим новую матрицу, к а ж д ы й единичный элемент которой указывает либо постулат, либо утверждение,

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3822 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202318.51 Mб40Барташев Л.В. Технико-экономические расчеты при проектировании и производстве машин.pdf
#
24.10.20239.52 Mб53Бартенев Г.М. Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла.pdf
#
29.10.20234.6 Mб15Бартль С. Атом в Арктике.pdf
#
19.10.20232.01 Mб17Бархатный, В. Д. Выбор участков и способов организации работы локомотивных бригад.pdf
#
19.10.20236.31 Mб21Барыкин, К. К. h = 533. (О московской телебашне).pdf
#
25.10.202312.41 Mб76Басакер Р. Конечные графы и сети.pdf
#
29.10.20234.3 Mб22Басалов Ф.А. Некоторые вопросы техники сверхвысоких частот [конспект лекций].pdf
#
19.10.20237 Mб28Басевич, В. В. Корабли не умирают.pdf
#
19.10.20233.4 Mб23Басистов, М. А. Взрывные работы при сооружении земляного полотна железных дорог.pdf
#
22.10.202313 Mб19Баскаков, А. П. Нагрев и охлаждение металлов в кипящем слое.pdf
#
19.10.20232.92 Mб39Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf