книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

каждого

веера,

то

получим

граф

Понтрягнна — Кура­

товского,

который не является

плоским, и следовательно,

вееры

д о л ж н ы

иметь, по крайней мере, одну

точку

пере­

сечения,

которая не является

вершиной.

Лемма

6.7.

Рассмотрим

плоский

граф,

состоящий

из

трех вееров в вершинах U\, и2, «з> каждый из которых

имеет

одни и те ж е

граничные точки

v\, v2,

vm

вме­

сте с

соответствующими вершинами.

Число

внутренних

пересечений при условии, что в одной точке

пересекают­

ся, по крайней

мере,

не более

двух

ребер,

г2—г,

если

т — 2г,

г2,

если

т =

2г-\- V.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Доказательство

проведем

по

справедлива,

если г=\. Предположим, что лемма спра­

ведлива для

г, и докажем, что она справедлива д л я г + 1 .

крайней

мере,

г2-\-г,

если

/ п = 2 / - + 2 ,

(/-+1)2 ,

если

т =

2г+3.

Рассмотрим

подграфы Ск

(k—\,

2,

т),

состоя­

щие

из

вершин

vh (k=\,

2,

т),

вееров

в vk

(k =

= 1,

2

т),

определяемых

вершинами

iiit

и2, и3,

и вершин щ, и2, « 3 . Если бы

к а ж д а я

пара

таких

под­

графов

имела общую точку, отличную

от конечных

то­

случае число

пересечений равно

Но если

/?г =

2/'+2, то

a — 2r2-\-3r-\-\

> r 2

+ / - ;

а если

т = '

==2/'+3,

то а = 2 / ' 2 + 5 / ' + 3 >

( / " + I ) 2 .

В

этом

случае

лем­

ма была бы доказана .

Chi

Пусть

теперь

некоторая

пара подграфов

и С А 2 не

имеет ни

одной

общей

точки

кроме

ы ь

и2,

ы3 . Рассмот­

рим подграф С , состоящий из объединения С,п и

Ch2.

Согласно

замечанию

каждый

другой

подграф

должен

иметь, по

крайней

мере,

одну

внутреннюю

точку

пересечения

с С.

Так

как

число оставшихся подграфов

равно

т—2,

то имеется, по

крайней

мере,

пг—2

пересе­

чении

с С,

и все

т.—2

точки

пересечения

различны, по­

точке, если

она

не

является

граничной точкой.

Добавим

к этому числу

получаемое,

по

предположению

индукции,

минимально

возможное число пересечений

в

нашем

графе без vhi

и vh2

и вееров

С м

и С \ 2

Получим

2r+(r2—г)

= г2+г,

если

т—2 =

2/-,

( 2 г + 1 ) + г 2 = ( л + 1 ) 2 ,

если

ш — 2 = = 2 л + 1 .

имеется, по крайней мере, г2—г

пересечений,

которые

мы добавляем к 2г пересечениям

с С.

Л е м м а

доказана .

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы .

Снова

применим

справедлива

д л я

случая

r—\,

s = l .

Д о к а ж е м ,

что

если

теорема

справедлива

для

т

и

п,

то

она

т а к ж е справед­

лива

для

комбинаций

(т,

м + 1 ) ,

(т +

1, п)

и

(т-\-1,

и + 1 ) .

Предположим,

что

имеется

т

печей

О ь

02,

...

От

и

печей

платформа

Pi,

Р2,

Pn+i- Граф

вза­

имосвязей

и

платформ

можно получить

из

графа

G задачи

с

О ь

02,

0,„

и Р ь

Р 2 , . . . .

Р„,

добавив

вершину

Р„ +

1

и связав

ее

ребрами

с

О ь

02

От.

Граф

G

можно

рассматривать

как

множество

вееров

в вершинах Pi

Р„

с одними

и теми

ж е

граничными

точками

О ь

От.

Пусть

п — четное,

т. е.

n =

2s;

бу­

дем

рассматривать

минимальное

число

пересечений

веера

в P „ + i

с веерами

в Pi

и

Р2,

взятыми вместе,

затем

с веерами

Рз

и

Р 4 ,

взятыми

вместе и т. д. Имеем s та­

ких пар, и согласно лемме,

если

т =

2г,

то

существует,

по крайней мере,

{г2—г)

пересечении

с

каждой

парой,

крайней мере, (r2—r)s;

если ж е / ; г = 2 г + 1 ,

то

число пе­

ресечений равно, по крайней мере, r2s.

Если

п — нечет­

ное, т. е. /г = 2s + 1 ,

то можно пренебречь

единственным

веером,

оставшимся

в Р„,

и получить те

ж е

самые

числа

( г 2 — r ) s

и r2s.

Согласно

предположению индукции

сам

граф G имеет, по крайней мере, (г2—г)

(s2—s)

пересе­

чений. Д о б а в и в

это число

к полученным

выше

результа-

6.6]

МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО АВАРИИ НА ЗАВОДЕ

201

(г2—г) (s2-s)

+

(r2—r)s=(r2-r)s2,

если m—2r, n =

2s-\-},

из которого имеем

(r2-r)s2A-(r2-r)S=(r2-r)

[(s + l ) 2 - ( 5 + 1 ) ] ,

Теорема

доказана .

Построение

путей

с минимальным числом пересече­

ний можно

выполнить

следующим

образом.

Рассмотрим

прямоугольные координаты на плоскости? Если

т = 2г,

возьмем

на

оси х точки с абсциссами

- г ,

~(г-\),

- 2 ,

-

1

,

1,2, ... ,

г,

а если

m =

2 r + l ,

то

возьмем

на

осп

х точки

с

абсцис­

сами

- г , - ( г - 1 ) ,

- 2 , - 1 , 1, 2, . . . . г, г + 1 .

Если

n=2s,

возьмем на

оси у

точки с ординатами

- 5 ,

- ( s - 1 ) , . . . . - 2 ,

- 1 , 1, 2, . . . . s,

а если

« =

2 s + l ,

возьмем на

оси

у

точки с

ординатами

~s, - ( 5 - 1 ) ,

- 2 ,

-

1 ,

1,

2

s,

s + 1 . "

Затем соединим отрезками каждую точку оси х

с к а ж ­

дой точкой оси у. Все

пересечения в данном случае мо­

гут быть легко подсчитаны.

З а м е ч а н и е .

С

помощью индукции можно т а к ж е

доказать,

что

минимальное

число

областей

на

плоско-

стн получаемое

при

построении

рассмотренного

графа

путей, равно

(/•2—г) (s2 —s)

-\-4rs—2 (/--|-s) -f-2,

если m =

2r,

л

—2s,

(r°— r)s2+4rs+2s+l,

если.

m = 2r,

n =

2s+l,

r2 s2 -f-4/-s-f-l,

если

m==2r-\-\,

n =

2 s + l .

Упражнения

6.8. Построить

связи для задачи

с пятью печами и четырьмя

плат­

формами согласно описанной выше процедуре.

6.9. Повторить

упражнение

6.8

для задачи

с

пятью

печами

и шестью платформами.

6.7. Минимальное число пересечений в

полных

графах

Описанный

выше

результат

Заранкевнча

[93]

дает

только

одним ребром. Когда к а ж д о е

множество содер­

ж и т по три вершины, мы имеем один

из двух

основных

неплоских графов,

фигурирующих

в теореме Понтрягп-

на — Куратовского

о плоских графах . Построив

граф

более общего типа, Заранкевич смог

доказать

резуль­

тат о

минимальном

числе

пересечений,

а т а к ж е

указать

схему

реализации

простых

графов

с минимальным

чис­

ного графа

Понтрягина — Куратовского,

полного

графа

из пяти вершин. Приведем основные результаты

[80] .

Пусть Gn обозначает полный граф из

п вершин. Тре­

буется

определить

/ п

минимальное

число

пересечений

ребер, когда

Gn изображен на плоскости

так, что в лю ­

бой точке, отличной от вершин, пересекается не

более

двух ребер.

п^Б,

Н а м

достаточно

рассмотреть

случай

так

как

очевидно,

что

для

п . < 5

/ „ = 0 .

Д л я

того

чтобы

получить

верхнюю

границу

Мп

для

/„, рассмотрим

следующее

спе­

цифическое

изображение

Gn

на

плоскости,

которое

бу­

дем называть

чередующейся

«линейной

моделью».

Вы-

204

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ

[ГЛ. б

З а м е т и м , что для

п

четных

М„=9иМ„.

Д л я п нечетных,

М„

составляет 3 ДЛ 1„ относительно

коэффициентов

при

пА и

п3.

Предыдущий

результат

можно т а к ж е

получить, на­

пример, для случая

четного

п

путем выделения

г—п/2

пар

и

образования

всех

полных

графов G,|

между

пара­

ми.

К а ж д ы й такой

граф

G4

изображается

без пересече­

ней мере, ^ j ^ 9 1 j

пересечений. Положив

г=п/2,

по­

лучим прежний результат для ;VJ„ .

Если существует

представление графа

G„ с

мини­

представление с минимальным числом пересечений

гра­

фа

Gn _f t для каждого

четного & < п

(достаточно для

k —

=

2,

4, 6), то

можно

показать

по

индукции, что оценка

М „ ,

определенная

выше,

совпадает

с

/„.

Значения

Л / б

и

Л/7

равны

3

и

9

соответственно.

Сплошные липни

на

рис. 6.17 показывают

представление

G6 ,

которое реализует

М6

. Д о б а в и в пунктирные липни,

мы

получим представление G7 , которое реализует

М7.

Полезно

попробовать

найти

прямолинейные

конструкции

G n

для

всех / г ^ 5 .

Упражнения

6.10. Нарисуйте графы, сравнимые с графом рис.

6.17 для п — 8,

9.

6.11. Используйте два концентрических многоугольника с одина­

ковым числом вершин для

построения графа с минимальным числом

З А Д А Ч А СОЕДИНЕНИЯ РАСКРАШЕННЫХ КУБОВ

205

6.8. З а д а ч а соединения раскрашенных

кубов [7]

Во всех задачах, рассмотренных ранее,

первоначаль­

виду.

Иногда, однако, основная

трудность

заключается

в нахождении соответствующего графа, структура

кото­

рого

может

иметь

лишь незначительное внешнее сходст­

во с

первоначальной

задачей. Проиллюстрируем сказан­

ное на следующем простом примере.

Пусть С], С2 ,

С3 , С.| обозначают четыре одинаковые

куба, и пусть Y, R, В и G обозначают цвета: желтый,

красный,

синий

и

зеленый соответственно. Предполо­

жим,

что

к а ж д а я

грань каждого куба

окрашена

одним

из этих цветов таким образом, что каждый

цвет имеется

на каждом

кубе

(в

остальном

цвета

назначаются

гра­

друга

(образуя

призму

с

квадратным

основанием)

так,

чтобы

четыре

квадрата

на каждой

боковой

стороне

призмы

имели

различные

цвета.

З а м е ч а н и е .

Если

не вводить дополнительных

ус­

ловий,

задача

может в

некоторых случаях не иметь ре­

шения. Например, предположим, что

у

каждого

куба

все

три грани,

имеющие

общую

вершину, окрашены

в красный цвет. Тогда,

независимо

от

положения

ку­

бов,

боковые

стороны

призмы

будут

иметь

восемь

206

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ

[ГЛ. в

ка

кубов иллюстрируется рис. 6.18 (заметим, что

петля

стимой раскраске, если к а ж д а я вершина

инцидентна, по

крайней

мере,

одному

ребру,

помеченному

л ю ­

бым

из

чисел /,

2, 3

и 4.

Предположим

далее,

что задача имеет реше­

ние. Рассмотрим две про­

тивоположные

боковые

стороны

полученной приз­

мы. Восемь соответствую­

щих

квадратов

представ­

ляют одну пару противо­

положных граней

каждого

куба,

и

каждый

цвет

встречается д в а ж д ы .

На языке теории графов

это

оз­

начает,

что существует подграф, имеющий четыре реб­

ра, все

помеченные

различными числами, такой,

что

к а ж д а я

вершина

имеет степень 2 (иначе говоря, факто -

роид, у

которого

все

ребра помечены различно) .

Д р у г а я

пара

противоположных сторон определяет второй под­

граф, который имеет

те ж е свойства, что и первый. При

этом

второй подграф

не имеет общих ребер с первым.

а)

А)

Рис.

6.19.

ными свойствами, то решение задачи

существует. На

рис. 6.19 показаны два определенных

выше подграфа

для графа рис. 6.18.

6.9]

ЗАДАЧИ ИЗМЕНЕНИЯ СОСТОЯНИИ СИСТЕМЫ

207

возможных положения

(3 существенно различных спосо­

ба его расположения

на столе). К а ж д ы й из остальных

диться только в одном

из конечного числа

состояний.

Множество возможных

прямых

(т. е. одношаговых) пе­

реходов задано либо путем непосредственного

перечис­

ления, либо при помощи некоторого правила.

Требуется

определить, можно ли переместить систему

из

заданно ­

го начального состояния

в требуемое конечное

состояние

с помощью последовательности

одношаговых

переходов

онеров и людоедов

[83], помня

при

этом, что в реаль ­

ной

жизни читатель может столкнуться с задачами бо­

лее серьезного характера .

Три миссионера и три людоеда подошли к берегу А

реки

и д о л ж н ы

переправиться

на

противоположный

203

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ

[ГЛ. в

берег

В при помощи одной лодки, которая поднимает не

более

двух человек. Все миссионеры и один пз

людое­

дов умеют грести. Можно ли найти

такую последова­

тельность переездов, при которой число людоедов

никог­

да не

превышает число миссионеров

на любом

берегу

берегу

пет ни одного миссионера?

(Миссионеры

очень

хорошо

чувствуют

необходимость в

этом основном пра­

виле.)

Д л я

решения этой задачи рассмотрим в качестве си­

стемы

множество

миссионеров и

людоедов на

берегу

умеющего

грести людоеда

соответственно. Тогда систе­

ма имеет

24 возможности

состояния (так как числа М,

стимыми являются следующие

16:

лшмсск

ммм

к

сек

ск

мммсс

ммсс

мс

с

мммск

ммск

мк

к

мммс

МММ

сс

0

Здесь 0 означает, что на берегу А нет

ни одного

чело­

века (читатель может

проверить,

что в

остальных

вось­

одном, либо

на

другом берегу). Изменения состояний

этой системы соответствуют отъезду или

возвращению

лодки. На графе рис. 6.20 показаны все (25)

возможных

переходов. Д л я

упрощения

переходы изображены

в ви­

де ребра,

так

как возможно

любое направление. Однако

к а ж д о е

ребро

следует рассматривать как

две

проти­

езду лодки

(направление по

часовой стрелке) и возвра­

щение

лодки

(направление

против часовой

стрелки) .

Новая

формулировка задачи

выглядит так: найти

(если

возможно)

путь из МММCCK

в 0, в котором дуги, соот­

ветствующие отъезду и возвращению, чередуются.

Без последнего условия задача решается легко.

(На­

пример,

последовательность

состояний

МММССК,

ММСК,

СК,

0

дает решение.) С учетом этого

условия