Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3820 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

6.5] ПРИМЕРЫ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ 1S9

точно определить rt так, чтобы У] г \ была м и н и м а л ы

i = i

ной, потому что эта сумма вычитается из постоянного числа в написанном выше выражении, которое должно быть максимизировано. Предыдущие рассуждения будут т а к ж е справедливыми, если мы возьмем сумму с, эле-< ментов столбцов и воспользуемся тем, что дуги, входя

щие в одну и ту	ж е	вершину, не		могут	быть	сторонами
одного контура.	В	этом	случае	наша	задача	сведется
к определению с,-, которые			максимизируют

Таким образом, найдя си минимизирующие		2	CJ,	мы
определим максимальное число контуров в		графе. З а м е
тим, что выражения для максимального числа			контуров
симметричны относительно	с{ и г,-. Отсюда	следует,		что
с, должно быть равно г,. Так как г,+с{—п—\,			то в	слу
чае нечетных п получаем г,=	(п—1)/2.
Упражнение 6.7. Подставить полученное значение п "н получить
точное выражение для максимального числа контуров.			Определить

также /•[ для случая четного п и найти максимальное число контуров

для этого случая.

З а м е ч а н и е . Д р у г а я интересная задача состоит в получении формулы для среднего числа висячих вершин дерева, задаваемого случайным образом. При решении этой задачи часто не удается получить удобную форму лу для результата. Однако предполагая п достаточно большим, мы можем получить асимптотическую форму лу, которая удобна для вычислений. Например, среднее


число висячих вершин дерева, выбранного									случайно
среди	всех деревьев,			число	которых			было	подсчитано
выше,	равно п/е,		где	е — основание				натурального		лога
рифма,	т. е. е = 2 , 7 1 8 . . .
Были		получены	формулы		для	числа корневых графов,
т. е. д л я		графов,	в которых		выделена одна				вершина,
названная корнем,			а т а к ж е		формулы			для подсчета		кор
невых	звездчатых		деревьев.		Р я д		результатов связан с
ориентированными			графами		и	с	графами,		имеющими

190

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ

(ГЛ. 6

к р а т н ые ребра, т. е. графами, в которых между каждой парой вершин может быть до k ребер.

В полном графе с п помеченными вершинами имеете

ся ^ j ребер. Число графов с N ребрами равно

( ( • ) }

т. е. числу возможных сочетаний из				ребер по N.
Предположим, что	пз	( " ]	ребер	случайным	образом
выбраны N ребер.	Какова вероятность того, что полу
ченный граф связен?		Граф	может состоять из		несколь

ких компонент; чему равен размер самого большого де рева, т. е. сколько ребер оно имеет? Заметим, что в этих

задачах две вершины	могут быть связаны			только	одним
ребром. Однако такие же задачи			можно	поставить и
для мультнграфов с кратными		ребрами.
Можн о показать, что для		больших Л'		общее	число
связных графов равно	2^' в	случае	помеченных		вершин

и2^1'1^ в случае непомеченных вершин.

Процесс	роокдения	или стационарный	ветвящийся
процесс,	(называемый	т а к ж е процессом	размноокения)

можно представить деревом, растущим из некоторого корня (корневым деревом), и рассмотреть ряд задач для этого прадерева. Пусть имеется частица «о (соот ветствующая корню д е р е в а ) , которая порождает w ча


стиц Ui, ii2-:,	где	w—j	с вероятностью р}.			К а ж д а я		пз
появившихся	новых частиц в			свою очередь		рождает		и}\,
U j 2 , . . . и так	далее .	Рождение		частиц	происходит		взаим
но независимо, и		все частицы		имеют	одно	и то ж е		рас
пределение	вероятностей		для	числа	рождаемых		частиц.

Вероятность Р„ того, что дерево состоит из п вершин,

можно представить	для	больших п	асимптотическим вы-
	_ _з
ражением Р„ ~ Л	п 2	(n = 1 mod	<7), где А — постоян

ная величина, a q является наибольшим общим делите

лем для	всех / таких, что Р]фО.	Д л я других значений
и Р , = 0 .	Можн о получить т а к ж е	асимптотические вы-

ПРИМЕРЫ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ

191

р а ж е н ия для вероятности того, что да=/, и для распре деления числа вершин с k исходящими дугами в де ревьях, имеющих п вершин.

П р и м е н е н и е т е о р е м ы П о й я к з а д а ч а м п е р е ч и с л е н и я

Некоторые пз основных задач перечисления в теории графов могут быть решены при помощи фундаменталь

ной	комбинаторной	теоремы Пойя [71] . Сюда относят
ся	задачи подсчета	числа	неизоморфных	обыкновенных
графов, имеющих р		вершин	и q ребер, или	числа неизо

морфных обыкновенных ориентированных графов, име

ющих р вершин и о дуг,	а т а к ж е обобщения этих задач
на случай, когда графы	не обязательно обыкновенные

(но когда максимальное число параллельных ребер или


строго параллельных дуг ограничено).
Решение			этих	и близких к ним задач подсчета						при
помощи		теоремы		Пойя было предложено Харарн [44] .
Д л я	иллюстрации			идей		метода	рассмотрим		несколько
простых		примеров		в	виде следующих			частных	задач.
1. Д л я			любых	<7	определить		число неизоморфных
обыкновенных графов,						имеющих	5 вершин и		с/ ребер.
2.	Д л я любых			q определить число				неизоморфных		ре

гулярных обыкновенных ориентированных графов, име ющих 4 вершины и q дуг.

3. Д	л я любых	q	определить	число	неизоморфных
графов,	имеющих	4	вершины и q	ребер,	в которых лю

бая пара вершин соединяется не более чем двумя реб рами и нет петель.

Прежде чем сформулировать теорему Пойя и пока зать ее применение к этим задачам, необходимо дать некоторые предварительные пояснения. Первое из них касается группы перестановок. Перестановка степени k есть оператор, применение которого к любой упорядо-.


ченной системе из k элементов дает								переупорядочение
этой	системы.			(Если		к а ж д ы й элемент		остается на преж-.
ней	позиции,			то	перестановка называется				тождествен
ной.)	Так		как	физическая			природа переставляемых эле
ментов		в	данном		случае		несущественна,		перестановку
степени		k	можно		характеризовать при помощи чисел от
1 до	k,	которые			указывают позиции			(места) элементов
в их упорядоченной						последовательности,

192 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ [ГЛ. в

Н а п р и м е р, схема

Старая	позиция		2	3	4	5	6
Новая	позиция	3	2	5	6		4
характеризует перестановку степени б, в							которой	пер
вый элемент становится третьим, второй							остается	вто
рым, третий становится пятым			и т. д.

Предыдуща я перестановка очевидным образом пред ставляется в виде ориентированного графа, который по

казан

иа

рпс. 6.10.

Вообще,

любую

перестановку

степе-

ни

можно

представить

ориентированным

гра

фом,

вершины

которого

соответствуют

числам

от

до

к,

причем

положи

тельные

отрицательные

степени каждой

вершины

равны 1. Был о показано,

что

такой

ориентирован

ный

граф

обязательно

распадается

на один

или

Рис.

6.10.

несколько

простых

кон-

туров

без

общих

вершин

(некоторые

из

них

могут

быть

петлями) . Действительно, другое используемое

обозна

чение предыдущей перестановки есть так

называемое

циклическое

представление:

(1,

(2)

(4, 6).

об

щем

случае, циклическое

представление

интерпретиру

ется

так: позиция,

представленная

любым

числом,

ото

б р а ж а е т с я в позицию, соответствующую

следующему

числу справа, за исключением самой правой

позиции

внутри данной группы, которая отображается

пози

цию, соответствующую самому левому числу в

группе.

Тип данной перестановки степени k определяется в

зависимости от числа контуров длины I, которое она со

держит,

для

t = l ,

Если

обозначает

число

контуров длины I, то тип

перестановки

удобно

описы

вать

вектором

(«ь

п2

пк). Очевидно,

тип

должен

удовлетворять

условию

1 - / Z i + 2 - « 2 +

... -\-k-nh=k

(поче

му?) . Тип предыдущей перестановки есть

(1, 1,

0), а перестановка степени 12, циклическое

представле

ние которой

(3)

(5,

(10)

(11,

12),

6.5] ПРИМЕРЫ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ 193

имеет тип

(2, 1, 0, 2, О, О, О, О, О, О, О, О).

Другой удобный способ представления типа этой пе

рестановки у1,	уI, у1,	где нижние	индексы означают
длины контуров, а верхние соответствуют				числу конту
ров заданной	длины.	(Символ у не	имеет	специального

значения и применяется как основа для расстановки ин

дексов.) Заметим, что если			в	перестановке отсутствуют
контуры длины г,.то символ у°				опускается.
Рассмотрим множество Р, состоящее из k переста
новок степени	1г. Пусть	Лл,я		« обозначает число	пе
рестановок типа (/ь /г,			/»). Тогда формальный		ряд
Z(P)	= 4 2 / г /	, - / 2		0 2 •••Ж>

где суммирование ведется по всем типам, называется циклическим индексом Р. Будем рассматривать множе ства Р перестановок (одной и той ж е степени), которые образуют группу относительно бинарной операции по следовательного применения двух перестановок. Таким образом, Р должно содержать тождественную переста новку, обратную перестановку для каждой из переста новок и произведение любых двух перестановок группы.

/&2

Рис. 6.11.

В данном случае нас интересуют перестановки мно-> жества всех неупорядоченных пар (или в случае на правленного графа упорядоченных пар) вершин графа, которые получаются в результате перестановки вершин графа . Например, если вершины четырехвершипного графа переставлены, как показано на рис. 6 . 1 1 , а, то

13 р. Басакер, Тр Саатн

194 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ [ГЛ. 6

получается перестановка неупорядоченных пар вершин, показанная на рис. 6.11, Ь. Д л я данного частного при мера заметим, что перестановка четырех вершин, имею

щая	тип	у\ Уз ,		индуцирует	перестановку			шести	неупо
рядоченных пар вершин, тип которой							yi.	Подобным		ж е
образом,		к а ж д а я		из п\ возможных		перестановок			п	вер
шин	индуцирует			вполне	определенную			перестановку
п(п—1)/2		неупорядоченных			пар вершин			(или	п(п—\)
упорядоченных			пар, если мы изучаем				ориентированные
г р а ф ы ) .
Д а л е е		нам	потребуется		знать	число		перестановок
как	для упорядоченных, так				и д л я	неупорядоченных				пар

каждого типа, индуцированных всеми возможными пе рестановками четырех вершин, а т а к ж е число перестано вок неупорядоченных пар, индуцированных всеми воз можными перестановками пяти вершин. Метод получе ния такой информации в общем случае рассмотрен в работе [44] . Д л я интересующих нас случаев информа ция о числе перестановок каждого типа содержится в

следующих		циклических		индексах:
четыре вершины, неупорядоченные пары;
		ъ Ы	+ ЭиЫ + ву! -!- 6</2</]);
четыре		вершины, упорядоченные						пары:
		4+ [У?	- I - Ъу\у\		+	Зу1	+	8yi + 6yl);
пять	вершин, неупорядоченные						пары:
-jL \у\°	-г	Юу\ у1+	20у\у1	+	ЗОуЫ			+
					+	\5yiyl		+ 20y\ylyl	+ 24yl).
Введем		еще	несколько			вспомогательных			понятий.

Рассмотрим множество абстрактных объемов, называе


мых	фигурами,		и предположим,		что с каждой фигурой
связано одно		из	нескольких неотрицательных					чисел	(мы
будем использовать только				числа	0,	1 и 2),		которое бу
дем	называть	ее	объемом	(в более		общей	форме, теоре
ма	Пойя позволяет связывать с				каждой		фигурой		иеко-

6.51

ПРИМЕРЫ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ

195

торый целочисленный вектор) . Если ак обозначает число различных фигур, имеющих объем k, то формальный ряд


		А (х) =		f j	at;xk
называется рядом,		перечисляющим			фигуры	(здесь		х яв
ляется	фиктивной	переменной).
Конфигурация		длины	s есть		последовательность			или
упорядоченное множество			s фигур. Под объемом				конфи
гурации	понимается простая			сумма объемов		фигур. Не
которые конфигурации длины 5 считаются						эквивалент
ными. В частности, пусть			Р — группа перестановок					сте
пени s,	и пусть h — число		перестановок в группе. Тогда

говорят, что две

конфигурации

эквивалентны

относи

тельно

Р в том и только

в том случае, когда

одна

полу

чается из другой подходящей перестановкой пз Р.

Если bh обозначает число

неэквивалентных

конфигу

раций

(длины s), имеющих

объем k,

то формальный ряд

В (х) =

bkxk

fc=0

называется

рядом

подсчета,

перечисляющим

конфигу

рации

(относительно

Р).

Теорема Пойя позволяет определить В(х),

зная ряд,

перечисляющий

фигуры

А(х),

и циклический

индекс

ZIP)

подгруппы

перестановок

Р . В частности, мы имеем

(без доказательства)

следующую

теорему.

Теорема

6.5. ( П о й я ) .

Если

А (х)

и Z(P)

обозначают

ряд, перечисляющий

фигуры,

циклический

индекс Р

соответственно,

то

ряд,

перечисляющий

конфигурации,

можно получить

подстановкой

А (хк)

вместо

каждого у й

в циклический индекс группы Р.

Рассмотрим

снова

задачу

подсчета

всех

неизоморф

ных обыкновенных графов, имеющих пять вершин. Возьмем в качестве фигур 10 неупорядоченных пар раз

личных вершин. Будем считать, что фигуры имеют				объ
ем 1 или 0	в зависимости от	того,	соединены соответ
ствующие	вершины ребрами	или	нет. Тогда	ряд,
перечисляющий фигуры, принимает			простую форму

А(х) = \+х.

Рассмотрим затем конфигурации длины 10, соответству-

18»

19b	П Р И К Л А Д Н Ы Е З А Д А Ч И Т Е О Р И И Г Р А Ф О В	[гл. а
гощие	последовательностям, образованным пз 10	фигур.

В данном случае группа перестановок Р состоит пз мно

жества

перестановок

10 фигур

(т. е.

пеупорядоченпыч

пар

различных

вершин) .

Она

индуцирована

группой

Р* всех возможных перестановок пяти

вершин

(заме

тим, что имеется

5! таких перестановок) .

Подставляя \-\-хк

вместо

каждого

ук

циклический

индекс

Z(P),

определенный

ранее,

упрощая

получен

ное выражение,

получим

В (х)

= 1 + A ' + 2 . V 2 + 4 . v 3 + 6 . v 4 + 6 A - 5 + 6 . Y e + 4 . v 7 - f 2 . v 8 4 - A - 9 + A - 1 0 .

На

основе

этого можно,

например,

сделать вывод, что

существуют G различных

графов

с четырьмя

ребрами,

так как в выражении

присутствует

член

6л"1. Эти

графы

показаны на рис. 6.12.

Д л я

того

чтобы найти

число

различных

обыкновен

ных

ориентированных

графов,

имеющих

вершины,

		Г
		±	Рис. С.12.± <><
представим фигуры		как	упорядоченные пары		вершин.
В' этом	случае ряд, перечисляющий фигуры,			останется
прежним А(х) = 1-\-х, так как упорядоченная				пара вер
шин либо соединена, либо не соединена дугой.					Цикли
ческий	индекс Z(P)	для группы Р перестановок			12 упо

рядоченных пар вершин, индуцированных всеми воз

можными перестановками		вершин,	был выписан выше.
Подставляя /1 (л-'')	вместо ук	в Z(P)	и делая упрощения,
получим
В (А-) = 1+л-+5л-2 -\|-	1 3 . v 3 + 2 6 x 4 + 3 8 x 5 + 4 S x 6 +
	+38А-7 +26.v-8 +1 3 A - 9 + 5 A - I 0 + . V - ' 1 +л - 1 2 .

Наличие члена 5л:2, например, позволяет сделать вывод,

что имеется 5 различных графов			с двумя дугами. Эти
графы показаны на рис. 6.13.
Вернемся снова к задаче подсчета числа				различных
графов,	имеющих 4	вершины, в	которых	нет петель,
а любая	пара вершин	соединяется	самое большее двумя

6.G]	МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО АВАРИИ ПА ЗАВОДЕ	197
ребрами.	В этом случае в качестве фигуры	снова бе

рется неупорядоченная пара вершин. Однако при этом

объем может	принимать	три значения 0, 1 пли 2 в
t —	J—'	—

Рис С. 13.

зависимости от числа ребер, соединяющих вершины. Поэтому ряд, перечисляющий фигуры, имеет вид -.

А(х) =	1+х+х*.
Подставляя A (xh) = 1 - f xh-\-x2h	вместо каждого yh в со

ответствующий циклический индекс (определенный ра

нее),	получим
В (х)	= 1 + A - + 3 A - 2 + 5 . V 3 + 8 . V 4 + 9 A : 5 + i 2 A - 6 + 9 A 7 + 8 A s + 5 A - 9 +
	Н-ЗЛ-'О+А-'Ч-А-1 2 .

Так, имеется, например, 8 различных графов рас сматриваемого типа с четырьмя ребрами. Они показаны на рис. 6.14.

Изменяя определения фигур, объемов и Р, мы можем

решить другие	графотеоретпчеекне	задачи перечисления
(см., например,	[ 4 4 ] ) . Дальнейшее	развитие проблемы

Рис. П. 14.

н доказательство теоремы Пойя в более общей форме имеется, например, в [24] (библ. к гл. 1). Интересный обзор решенных и нерешенных задач перечисления мож но найти в [43] .

6.6. Минимальное число аварий на кирпичном заводе

На кирпичном заводе имеется т печей, в которых

обжигаются кирпичи. После обжига	кирпичи грузятся
на небольшую специальную вагонетку	и направляются

к одной из п платформ, где их перегружают на грузо вик. Так как к а ж д а я печь должна быть связана рельсо-

198 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ [ГЛ. 6

вым путем с каждой погрузочной платформой, то пути имеют большое число пересечений. Когда вагонетки проходят пересечения, они часто сходят с рельсов. В ре

зультате возникают потери	кирпичей		вследствие	их боя
и транспортные пробки. З а д а ч а		заключается в		проведе
нии железнодорожных путей	от	печей	к местам	назначе

ния с минимальным числом пересечений, чтобы умень шить опасность схода вагонеток с рельсов.


Эту задачу можно решить в рамках теории									графов,
приняв железнодорожные	пути		за	ребра			графов,		связы-
р	вающие			вершины				(соответст-
7	вующие			погрузочным					плат
	ф о р м а м ) .				При этом			наклады
	вается		условие,				з а п р е щ а ю щ е е
	трем	(или более)					ребрам пере
	секаться			в одной точке, кото-
	рая		ие	является				вершиной.
	Д в а	ребра, однако, могут пере
	секаться			в промежуточной точ
	ке.	Например, в случае							четырех
	печей		О\,	0 2 ,		0 3 ,	0 4	и четырех
р	платформ				РИ	• • • , РА			имеется
4	четыре таких					пересечения, от-
Рнс. 6.15.	меченных				знаком х на рис. 6.15.
Теорема 6.6. Минимальное		число			внутренних				пересе

чений ребер, соединяющих к а ж д у ю нз т точек с каждой из п точек на плоскости (предполагается, что два реб ра пресекаются не более чем в одной точке), не меньше чем

(r2-r)	( * 2 - s ) ,		если		т =	2г,	/г =	25,
(r2-r)s\			если		m =	2r,	« =	2s-f-l,
r2(s2—s),			если		m =	2r-\-\,	n=2s,
	r2s2,		если		m =	2 r + l , n = 2 s + l .
П р е ж д е	чем	доказать		теорему,		определим			понятие
веера и д о к а ж е м		одну	лемму .
Определение. Веер			в вершине v			состоит		нз	всех	ре
бер, инцидентных и, без граничных						точек. Таким обра
зом, v т а к ж е	исключается нз веера.
З а м е ч а н и е .		З а м е т и м ,		что	если взять на				плоскости
два множества из трех			вершин		к а ж д о е и образовать					три

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3820 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202318.51 Mб40Барташев Л.В. Технико-экономические расчеты при проектировании и производстве машин.pdf
#
24.10.20239.52 Mб52Бартенев Г.М. Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла.pdf
#
29.10.20234.6 Mб15Бартль С. Атом в Арктике.pdf
#
19.10.20232.01 Mб17Бархатный, В. Д. Выбор участков и способов организации работы локомотивных бригад.pdf
#
19.10.20236.31 Mб21Барыкин, К. К. h = 533. (О московской телебашне).pdf
#
25.10.202312.41 Mб75Басакер Р. Конечные графы и сети.pdf
#
29.10.20234.3 Mб21Басалов Ф.А. Некоторые вопросы техники сверхвысоких частот [конспект лекций].pdf
#
19.10.20237 Mб28Басевич, В. В. Корабли не умирают.pdf
#
19.10.20233.4 Mб23Басистов, М. А. Взрывные работы при сооружении земляного полотна железных дорог.pdf
#
22.10.202313 Mб17Баскаков, А. П. Нагрев и охлаждение металлов в кипящем слое.pdf
#
19.10.20232.92 Mб38Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf