книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

пример,

время

операции,

соответствующей

дуге

от

v2

к о 3

(см.

рис.

6.3),

равно

одной

единице,

и

мы

опреде­

лили,

что

Г ( и 2

) = 3 , L(v2)=S,

7

" ( и 3 ) = 4 ,

L(v3)=7.

Сле­

довательно, эту

операцию можно было бы начать самое

раннее в момент 3 и самое позднее в момент

6.

При

этом

событие

о 3

наступило бы

не позднее

момента

7.

позже

момента

3, то

мы

тем самым

сократили

резервы

времени у последующих

операций,

в нашем случае у опе­

раций

(t>3, v7)

и (v7,

vs).

Вообще

говоря, каждое

собы­

тие v

буде^г происходить

в интервале

между T(v)

и L(v)

в зависимости

от распределения резерва

времени.

Д о

сих пор

мы предполагали, что на каждую опера­

цию требуется

постоянное время

и

что

эта

величина

времени заранее известна. Если это

не так (а на самом

деле это почти

всегда

не т а к ) , то разумно

предположить,

роятностей, соответствующим данной операции.

Д а л е е

нужно получить возможно лучшие оценки

параметров

этого распределения и использовать их при

последую­

щем анализе. В первоначальном варианте метода

П Е Р Т ,

ности в литературе, посвященной

П Е Р Т ) . При

этом

для

каждой операции

находятся

три

временные

оценки:

а,

т и Ь, где а и b соответственно

оптимистическая и пес­

симистическая оценка времени

выполнения

операции,

а т — наиболее

вероятная

оценка. Среднее

значение

нение оцениваются

по следующим

формулам:

а

+ 4/л +b

(Ь

—а)

( =

6

0

=

6

По вычисленным

средним

временам,

описанным

вы­

ше способом,

определяются

T(vt), L(vt)

и резерв

вреч

мени. Кроме

того, возможный

разброс

продолжительно­

П ри

работе с переменной длительностью операций

возникают

серьезные

математические

трудности,

д а ж е

если точно

известно

распределение,

соответствующее

к а ж д о й

операции, и все распределения

считаются

неза­

висимыми. В этом случае приходится использовать

раз ­

личные

приближенные

методы. Проиллюстрируем

одно

торый путь пз начального события

в

конечное,

очень

мало

отличающийся

от Р.

Пусть

Р

и

Р'

найдены

на

основе

средних

значений

вре­

мен

выполнения

опера­

ций.

М о ж е т оказаться,

что

времена

операций

пути

Р

имеют

малый

разброс, а пути Р' —

Рис. 6.7.

большой.

Например,

соответствующие

рас-

мания уделялось

и уделяется

решению различных задач

планирования при изменяющихся целевых функциях

или ограничениях

в условиях

различного взаимоотноше­

ния

задачи распределения ресурсов

по операциям

су­

щественно зависит от того, в какой

момент

принимается

решение о распределении до начала

выполнения

проек­

та или в процессе его выполнения.)

Многие из

предло­

женных методов сейчас успешно реализованы

с помо­

щью

цифровых вычислительных машин.-

Н а ш а

цель

в

дач рассмотрены

в работах [53], [54],

[61] . Интересное

обсуждение основных допущений

дается

в

работе

[60] .

Д о п о л н и т е л ь н ы е

с в е д е н и я

Метод П Е Р Т

показывает, что

теория

графов

явля ­

ется мощным инструментом решения задач

планирова­

ния реализации проектов. С графотеоретической

точки

зрения П Е Р Т оперирует с временными

характеристика­

Успех

метода

П Е Р Т содействовал

применению

тео­

рии графов для решения других задач управления

про­

ектами. Как

указывалось выше, первоначальный

метод

П Е Р Т

был основан на определении временных

парамет­

ров на графе. Не удивительно, что впоследствии

были

введены

на графе

и характеристики другого типа, напри­

мер,

такие,

как

стоимость, ресурсы.

(Под

ресурсами

предложено

множество

алгоритмов. Эти алгоритмы мож­

но использовать т а к ж е

для нахождения такого графика

выполнения

проекта,

который обеспечивает минималь­

нальна степени использования теории графов .

Д о к а з а ­

тельства

Келли,

основанные

на

методике

параметриче­

ского линейного программирования Гасса и

С а а т н

(1955), оказываются очень громоздкими. Метод

Ф а л к е р -

сона, заключающийся в сведении исходной задачи

пара ­

метрического

линейного

программирования

к задаче оп­

ределения потока в сети, проще

метода

Келли.

Нако ­

нец

полностью графотеоретпческнй

подход

Гроссмана и

Л е р х а представляется

почти

очевидным,

но вместе

с тем

он является достаточно строгим. Аналогичный

подход

использован

Берманом

(1964)

при

нелинейных

функци­

ях стоимости и Фейем (1964) для планирования

много­

темных

разработок .

Делается довольно много попыток решения задач на

графах

при

заданных

функциях

ресурсов

(Ламбурн,

1963, Фей, 1964). В этом

случае

типичная

задача

состо­

ит

в том, чтобы

найти

такое

распределение

ресурсов,

при

котором

выдерживаются

все

требуемые

графики

выполнения

проектов

и

количество

ресурсов,

необходи-

i

мое для

их

выполнения,

никогда

не

превышает

имею-

I

щегося

на

данном

интервале

времени.

Решение

такого

•

рода задач

пока

еще

вызывает

серьезные

затруднения,

i

Основные

допущения, л е ж а щ и е

в

основе

метода

П Е Р Т ,

были

исследованы

Мак - Крпммом

(1964),

кото­

рый показал,

что одна

из

проблем

обусловлена

задани ­

ем

длительности

операций

не

в

виде

д е й а в и т е л ь н ы х

чисел, а в виде распределений

вероятности. Дл я

преодо­

ления

осложнений,

вызванных

стохастическими

перемен­

ными, Фей (1963) и Ван

Слеп к

(1963)

предложили ме­

тод

статистического

моделирования сетей.

Л И Т Е Р А Т У Р А К

Р А З Д Е Л У

6.4

B e r m a n

Е. В.,

Resource

Allocation in

a

P E R T

Network

under

Continuous Time — Cost

Functions.

Management

Sci.,

10:

734—745

(1964).

B i g e l o w

C. G.,

Bibliography

on

Project

Planning

and Control

by Network Analysis: 1959—1961. Operations Res., 10: 728—731

(1962).

E l m a g h r a b y

S. E . ,

An

Algebra

for

the

Analysis

of

Generali­

zed

Activity

Networks.

Management

Sci., 10: 494—514

(1964).

F e y

C. F . ,

Methods

of

Resource

Allocation,

I

and

II. IBM . 1963,

1964.

F u l k e r s o n

D.

R.,

A

Network

Flow

Computation

for

Project

Cost Curves. Management

Sci., 7: 167—178

(1961).

0.5]

ПРИМЕРЫ

КОМБИНАТОРНЫХ

ЗАДАЧ

183

G a s s

S„

S a a t y

Т.,

The Computational

Algorithm

for

the

Pa­

rametric Objective Function. Naval Res., Logistics Quart.,

10: 39—46

(1955).

G o l d b e r g

C. R.,

An Algorithm for the Sequential

Solution

of

Schedule

Networks. Operations Res., 12: 499—503 (1964).

G r o s s m a n I. F . ,

L e r c h s H . , An Algorithm for

Directed

K e l l e y

J . E . , Jr., Critical Path Planning

and Scheduling: Mathe­

matical Basis. Operations Res., 9: 296—320

(1961).

M a c C r i m m o n

K. R., R y a v e c C. A., An Analytical Study

оГ the P E R T Assumptions. Operations

Res., 12: 16—37

(1964).

V a n

S 1 у к e R. M., Monte

Carlo

Methods

and the

P E R T Problem.

Operations Res., 11: 839—860 (1963).

W i e s t

J . D., Some

Properties

of Schedules

for Large

Projects with

Limited Resources. Operations Res., 12: 395—418 (1964).

К О М Б И Н А Т О Р Н Ы Е З А Д А Ч И

6.5. Примеры

комбинаторных задач в теории

графов

Н и ж е

будут

кратко рассмотрены

комбинаторные за^

дачи, возникающие в теории графов. Так

как некото­

рые методы, применяемые в комбинаторике,

являются

сложными

и их рассмотрение

выходит за рамки данной

книги,

мы

удовлетворимся

одной

или двумя

интересны­

ми задачами .

При решении задач перечисления следует различать

помеченный

и непомеченный

или

свободный

(топологи­

ческий)

граф .

Д в а

графа,

вершины

которых

помечены,

считаются

тождественными

(неразличимыми)

в том и только в том

определения числа

графов,

обладающих определенным

свойством,

например, содержащих циклы длины 3.

Число

помеченных графов

(не

обязательно

связных)

с п

помеченными вершинами

и k

непомеченными

р е б р а ­

ми,

в которых к а ж д а я пара

вершин

связана

не

более

чем

одним

ребром,

(п

(п —

1)/2\

п

чтоюы

равно

I

1. Д л я того

ного графа. Если взять

4 вершины и 4 ребра, то су­

ществует 15 возможных

пометок

па

двух топологиче­

ски различных графах .

На рис.

6.8

показано число

Р и с 6.8.

Рис. 6.9.

пометок для двух топологически

неэквивалентных гра­

ляются

абстракциями физических

задач (например, за ­

дач статистической механики) . Графическая

формули ­

ровка таких задач облегчает вычислительный

процесс.

Некоторые из используемых

при

этом

понятий

связаны

с деревьями специального типа.

Г р а ф

без точек сочле­

нения

называется звездой,

и следовательно,

связный

ственного ребра. Если составляющие звезды

являются

многоугольниками, то граф называется деревом

Хусими.

граф

называется

звездчатым

деревом

(деревом

звезд).

Если

все

звезды

изоморфны,

то имеем

чистое

звездча­

тое дерево, в противном случае граф называется

сме­

шанным

звездчатым деревом.

Когда типы звезд

не

ого­

вариваются, мы

имеем просто связный

граф .

Дерево,

меченными вершинами равно

/г" - 2 .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Д л я

того чтобы избежать лиш ­

2

( /

{ п

~~

= Ъ г ' 1 " 2 { п

~ ~ 1 } -

Теорема,

очевидно,

справедлива для

одновершинного

графа, так

как

l 1 - 2

= i .

Предположим, что теорема

шим п,

и

д о к а ж е м , что она справедлива

для

«-вершин­

ного полного графа . Обозначим через Т„ число

деревьев

полного графа с п вершинами. Разделим п вершин

на

два множества, одно из i элементов

и

второе

из

п—i

элементов,

где

i может быть

любым

из

чисел

1, 2, . . .

. . . . п—I.

По индуктивному

предположению,

число

де­

ревьев

первого

подграфа

равно

г*- 2 ,

а второго •—

графа, то общее число возможных

связей

i(n—I).

Та­

ким образом, число деревьев в

полном графе, получае­

мое при данном выборе I,

равно

I (л — 1) i'-2(n—i)

"-•"-2 =

t*-1

(n—i)

Однако i вершин можно выбрать

среди

л вершин

рые

деревья

исходного графа

могут входить в послед­

нюю

сумму

более одного раза .

Действительно, так как

нами,

то по мере

увеличения

/ и приближения

I к (л—1)

величина

(л—i)

уменьшается

до

1. Таким

образом,

ро­

ли подграфов

с i

и

(n—i)

вершинами взаимно

меняют­

ся.

В

результате

оказывается,

что

существует

(л—-1)

пар

подграфов

с

(1, л — 1 ) ,

(2, л — 2 ) ,

(i,

n—i),

...

( л — 1 , 1)

вершинами.

К а ж д а я

из этих

пар

порож­

дает

два

дерева

в исходном графе, так как, например,

пару

(1,

л—1)

можно

образовать

двумя

способами:

( I , л—1) и (п—1,

1). Таким образом, чтобы

получить

общее число различных деревьев первоначального

гра­

фа,

последнюю

сумму

следует

разделить

на

2 ( л — 1).

ПРИМЕРЫ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ

187

4)

с)

Р а с с м о т р и м

д о к а з а т е л ь с т в о

этой т е о р е м ы ,

п р е д л о ­

ж е н н о е Т р е н т о м

[89]. П у с т ь А—

м а т р и ц а

и н ц и д е н ц и й

( б е з о д н о й строки)

полного п

вершинного г р а ф а

с п— 1

н е з а в и с и м ы м и строками . И з в е с т н о ,

что число

различных

матрицы

АА',

который

мы

о б о з н а ч и м

|/1^4'|.

В н а ш е м

с л у ч а е АА'

имеет ви д

-1

— 1

— 1

1

( , 2 - 1 )

— 1

— I

. . . (л — 1У

П у с т ь

Т — вторая

м а т р и ц а п о р я д к а

( я — 1 ) , э л е м е н т ы

которой д а ю т с я

в ы р а ж е н и я м и

f „ = 2

(i<n—l),

4 - 1 , л —1 =

1 •

Л е г к о

показать,

что

|7"| =

1.

Р а с с м о т р и м

детерми-t

наит

п р о и з в е д е н и я

0 . . .

0

0

\Т(АА')\

= \Т\\АА'\

=

Ы

0

п . .

0

0

0

0 .

п

0

=

п"

1

. . ,

1

1

Так

как

| Г | =

1, то

\АА'\=пп-2.

Т е о р е м а д о к а з а н а .

В

качестве

е щ е о д н о й

и л л ю с т р а ц и и

в о з м о ж н ы х за ­

д а ч о п р е д е л и м

м а к с и м а л ь н о е

число

контуров

длины 3

(т. е. с о с т о я щ и х из трех

д у г ) , которое

м о ж е т

иметь пол ­

ный

антисимметрический

граф

с п

в е р ш и н а м и

[5, гл. 1].

Р а с с м о т р и м

м а т р и ц у

вершин

этого

г р а ф а ,

i-я строка

тельно инцидентных этой

вершине

(входящих

в

нее) .

Если г,- означает сумму элементов i-й строки, а

с{ — со­

ответствующую сумму i-ro столбца, то г(-\-с{=п—

1, так

как i-я вершина связана

(я—1)

ребрами

с остальными

(я—1) вершинами.

Общее

число циклов

длины

3

равно

( з | -

Однако

это число

не является числом

контуров.

В контуре

все

если

две дуги

положительно инцидентны одной верши­

не,

то

они

не

могут обе входить в контур, потому что

их ориентация

противоположна.

Т а к

как

сумма

г,

элементов

г'-й

строки

дает число

дуг,

исходящих

из

i'-й

вершины,

мы

должны

исключить

п

из

общего числа циклов

2

( 9

' ) ' т ' е ' С У Ш 1 У п о

в с е м

строкам числа сочетаний суммы

элементов каждой

стро­

ки

по два. Это дает для

числа

контуров

и

должно выполняться равенство V

л,- = ( ^ ),

потому

что общая сумма всех строк должна

учитывать

все реб­

ра

графа.

Теперь для числа контуров имеем