Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3818 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

ЭКОНОМИКА И СНАБЖЕНИЕ

169

тор х является конечным, неотрицательным, по нену левым. Неотрицательный вектор w для незамкну той модели строится как обусловленный «список то варов» или «список окончательной потребности», для тех отраслей промышленности, которые соответствуют стро кам н столбцам, содержащимся в В* и не содержащим ся в В. Допустимые решения х моделей типа затраты — выпуск (незамкнутых или замкнутых) строятся как век торы уровня производства (величины выпуска), опреде ляющие выпуск каждой отрасли. Если для незамкнутой

модели существует матрица,		обратная матрице		(I—B),
то можно показать, что она		представлена в виде хоро-.
шо известного	степенного ряда		[75]
	(/ -	=	I ; вн.
			(1=0
Попытаемся	теперь дать	графотеоретическую		форму

лировку необходимых и достаточных условий существо

вания матрицы, обратной матрице	{f—В)	в незамкнутой
модели типа затраты — выпуск. Д	л я этого	введем неко

торые дополнительные определения [73] . Пусть D—• ориентированный граф и Н — сильно связный подграф D.

Сильно

связный

подграф

Н будет

называться

макси~

мальным

в D тогда и.только

тогда,

когда

к а ж д ы й

силь

но связный подграф D либо

является подграфом Н, ли

бо

не

содержит

вершин,

общих с Н. Сильно

связный

подграф Н в D называется замкнутым в D тогда

толь

ко тогда, когда Н является

максимальным

к а ж д а я

вершина D, достижимая (посредством ориентированного

пути) из любой вершины

Н,

содержится в Н. Пусть А =

1|Яц||— неотрицательная

квадратная матрица

порядка

п,

т. е. а у ^ 0

для

i, j — l

п. Конечный

ориентиро

ванный

граф

D(A)

матрицы

А определяется

как

граф,

который состоит из п вершин cci

сс„

множества

дуг (ah,

at) таких,

что дуга

(ос(,

а,)

существует

D(A)

тогда и только тогда, когда

а у > > 0

в А . Можно

показать,

что ориентированные графы

£ )( £ *)

и D(B),

соответству

ющие введенным выше замкнутым и незамкнутым мо делям, играют в а ж н у ю роль при исследовании протека ния технологических процессов и движения потоков ре-> сур сов.

170

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ

[ГЛ. 6

Н е о т р и ц а т е л ь н ая квадратная матрица А называется субстохастической (по строкам), если сумма по каждой строке А не превышает единицы, т. е. а « ^ 0 , / \ =

s	V	Если		сумма по каждой			строке А		точно
/ = 1							стохастической.
равна		единице, то	матрица		называется
Из	приведенных выше рассуждений следует, что в замкну
той	модели х(1—Л*)=0			матрица		А* —	стохастическая,
а в незамкнутой модели х{1—/1)=со						матрица		А — суб
стохастическая. Приведем без доказательства								следую
щую теорему (доказательство см. в						[ 7 5 ] ) .
	Теорема 6.1. Пусть			А — субстохастнческая				матрица .
Обратная матрица			( / — Л ) - 1		существует		тогда	и	только
тогда, когда в ориентированном графе D(A)								нет	замк
нутых		сильно связных		подграфов		или когда		в к а ж д о м
сильно		связном подграфе Я ,			замкнутом		в D(A),	сущест

вует вершина, для которой сумма элементов соответст


вующей		строки А меньше чем единица.
	Эту	теорему		можно	переформулировать		следующим
образом.					А*—стохастическая
	Теорема		6.2.	Пусть			матрица
и	А — любая		главная подматрица А*.			Обратная матри
ца	( / — А ) ' 1		существует		тогда и только	тогда, когда не

существует сильно связного подграфа, который является

вамкнутым в D(A)

и в

D{A'*).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим, что

является

сильно связным подграфом D(A).

Тогда

замкнут

D(A),

а соответствующая

ему

матрица А

является сто

хастической тогда н только тогда, когда

замкнут

D(А*).

И з теоремы

6.1

следует,

что

ни один

замкнутый

сильно связный

подграф

в D(A)

не замкнут

в £>(/!*).

Следствие 6.3.

Пусть

А *—стохастическая

матрица.

Если

D(A*) — с и л ь н о

связный граф (т. е. Л *

неприводима

или

н е р а з л о ж и м а ) ,

то

( / — Л ) - 1

существует

для

любой

главной подматрицы

матрицы

А*.

Упражнения

6.1. Пусть А—

неотрицательная

квадратная матрица

порядка

л,

в которой сумма

по

каждой

строке

положительная.

Показать,

что

в ориентированном

графе

D(A),

построенном для матрицы

А:

(1)

су

ществует, по крайней мере, одни замкнутый сильно связный подграф;

(2) каждая вершина D(A) связана не менее чем с одним Замкнутым сильно связным подграфом в D(A).

6.2]	ЭКОНОМИКА И			СНАБЖЕНИЕ			171
8.2.	Показать, что любая незамкнутая модель				затраты — выпуск,
имеющая, по крайней мере, одно допустимое решение,						эквивалентна
замкнутой модели затраты — выпуск с ограничениями.
6.3.	Пусть А — неотрицательная			квадратная	матрица порядка
п, х — положительный		( « Х П	вектор-столбец и		у — положительная
( I X я )	вектор-строка. Пусть Я		обозначает ограниченную			матрицу	по-
рядка п + 1 следующего		вида:	'IА	х\\
			\У	д\| . Ориентированный граф			D{A)
				41

сильно связный. Показать, что если Л в Я отличается от нуль-матри

цы, то Я является примитивной п точная					верхняя граница — индекс
примитивности \'(-Т) равна 4.
Д р у г а я , предлагаемая			ниже	формулировка			экономи
ческой	модели	затраты — выпуск,			основывается		на	тео
реме,	которую	довольно	трудно	доказать		в рамках		ог
раниченного		объема главы.		Р а с с м о ф п м		следующую

ч2 /

Рис. 6.1.

матрицу, элементы которой дают удельные величины затрат каждой отрасли на покупку товаров у других отраслей (указаны со знаком минус) и удельные значе-.

172 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ [ГЛ О

ния выпуска		(указаны со знаком плюс) .		Значения выч
пуска расположены			на главной диагонали	[ 8 ] , [92] :
0 V	t);	U a
— 2	4	0 2 \|	Потребление (сумма	по строкам).

Определитель этой матрицы равен 38.

Рассмотрим граф, соответствующий этой межотрас

левой модели. Введем вершину	общего	потребления С
и з а д а д и м поток (потребление)	из этой	вершины в к а ж

дую отрасль. Величина этого потока равна чистому вы пуску отрасли и находится как сумма элементов соот ветствующей строки матрицы. Поток к Ui равен нулю. Следовательно, соответствующее ребро можно не рисо

вать на графе. Построим все возможные деревья		графа
(рпс. 6.1) и найдем произведение пропускных	способно
стей ребер. Сумма этих произведений, взятая	по	всем
деревьям равна определителю приведенной	выше	мат
рицы. Таким образом, 2 + 1 6 + 0 + 2 + 8 + 0 + 8 + 2		= 38.

Положительные деревья соответствуют матрицам, суммы элементов строк которых больше млн равны нулю, а эле менты, расположенные вне главной диагонали, не явля ются положительным. Таким образом, единственное по ложительное дерево гарантирует положительный опре делитель. Такие матрицы (например, матрицы Леонтьева) с доминирующей диагональю представляют большой ин терес для математической экономики.

6.3. Линейное программирование и потоки в сетях

Потоки в сетях будут подробно рассматриваться да лее в главе 7. В данном случае будет дано лишь не формальное пояснение основной идеи потока с тем, что бы продемонстрировать связь задач о потоках с задача ми линейного программирования .

Пусть вершины VQ и v„ ориентированного графа обоз начают источник и сток некоторого вещества, протека ющего по дугам . Кроме того, предположим, что дуге из вершины vt в вершину Vj поставлена в соответствие про пускная способность или верхнее ограничение иа величи ну потока Ctj. Наконец, пусть С у обозначает стоимость

6,1] ЗАДАЧИ ТИПА ПЕРТ 173

единицы потока по дуге. Теперь задачу					о	потоке	можно
представить в виде задачи линейного					программирова
ния, в которой требуется минимизировать						^СцХц	Д л я
общего потока с из v0	в и„ при		условиях
2	(Л-'о/ — Л'/о) =			с,
i
2 (Хц — Xji) =	0	для	t * = l			п — 1,
I
2 (•*-«/		Xju)	=	С,
/
O ^ A ' i j ^ c . j		для	каждой		дуги.

Потоки в сетях иногда оказываются удобным сред ством решения задачи линейного программирования такого типа, которая известна под названием транспорт ной задачи .

6.4. Задачи	типа П Е Р Т * )
Ориентированный граф	является естественным сред

ством для описания и анализа сложных проектов, тре бующих выполнения большого числа взаимосвязанных операций (работ) . Проектом может быть, например, про цесс разработки, построения и проверки некоторого узла или процесс проектирования и строительства здания,

включая этапы получения и подготовки места строитель
ства. В общем случае предположим,	что рассматривает
ся некоторый хорошо определенный	проект и множество

всех операций, связанных с		выполнением проекта, мож
но	разделить на отдельные	непересекающиеся операции
ci\,	a<i, • . . , Оц.

Конечно, существуют различные способы разбиения проекта на отдельные части. Выбор конкретного разби ения зависит от соображений, которые будут рассмот рены ниже. (Вообще говоря, отдельные операции д о л ж ны выбираться так, чтобы можно было получить всю необходимую количественную информацию, определяе-

*) В отечественной литературе принят термин СПУ	(сетевое пла
нирование и управление). (Прим. ред.)	1

174	ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ	ТЕОРИИ ГРАФОВ	[ГЛ. 5
мую ниже, и установить все		существенные	отношения
предшествования.)
Хотя	некоторые операции	проекта независимы друг

от друга, в общем случае между ними существует до


статочно		сильная		зависимость		по	времени,	например,
операция		at	д о л ж н а		быть закончена прежде, чем может
быть начата операция as. Если заданы все такие									времен
ные	зависимости,			то	их можно удобно представить в ви
де	ориентированного				графа, как показано на рис. 6.2.
К а ж д а я		дуга графа			соответствует		одной	операции,		а
к а ж д а я		вершина,		называемая		событием, соответствует
некоторому			моменту		времени.	В частности,		вершина		vx
представляет			собой		начало всего		проекта,	a	vs — его

окончание. Промежуточные вершины служат для отра жения взаимосвязи операций во времени. Вершины вы

бираются и сопоставляются с дугами так,	что для каж
дой операции (дуги) и события (вершины)	справедливо

следующее основное утверждение: если операция а име

ет начальное событие в виде			вершины о,		Т О она не мо
жет быть начата до тех пор,			пока все операции, закан
чивающиеся в v, не будут			выполнены.		Естественно а
может начаться		в любой другой		момент	после того, как
выполнены	все	предшествующие		операции.		Например,
на рис. 6.2	операция 10 (так		же	как и 12)		может быть
		8

Рис 6.2.

начата только после выполнения операций 5 и 7. Кос венно начало операции 10 зависит т а к ж е от моментов выполнения операций 1, 2 я 4, так как они непосредст венно определяют начало операций 5 и 7. В начале про

екта могут выполняться только операции /, 2	и 3. Про
ект считается законченным после выполнения	операций
11, 12 и 13 (а, следовательно, всех операций	проекта) .

ЗАДАЧИ ТИПА ПЕРТ

175

Г р а ф такого типа, представляющий процесс выпол нения операций, является основой многих методов ор ганизационного управления и, в частности, широко из вестного метода П Е Р Т и метода критического пути. Он позволяет проводить анализ различных вариантов выпол

нения	проектов.
Д л я иллюстрации		основного	типа	проводимого ана
лиза	предположим, что для выполнения каждой опера
ции а	требуется известное время		t(a).
Несколько операций можно, конечно, выполнить од
новременно, если ни		одна из операций		рассматриваемой

группы не ограничена моментами выполнения других операций, входящих в группу. (Это произойдет в случае, если ни одна из рассматриваемых операций не входит в путь, ведущий из V\ в начальное событие дру гой операции) .

Предположим, что числа на дугах графа рис. 6.3 со

ответствуют продолжительностим	операций. (В данном
J	Dg

oj	4	и?
	Рис.	6.3.
случае считается, что	продолжительность каждой one-;

рации известна и постоянна. На самом деле продолжи тельность операций часто меняется, и ее описывают не которым распределением вероятности, общий вид кототого известен, а оценки его параметров могут быть получены.)

Д л и н а		(т. е. сумма	временных		интервалов)	любого
пути из V\ в Vi соответствует нижней границе						времени,
измеряемого от начала			проекта	до	наступления	события
v{, после которого могут быть				начаты операции, имею
щие v{	в	качестве начальной		вершины. При		расчетах
каждой	вершине удобно		поставить		в соответствие число

176 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ [ГЛ. 6

[(время)		следующим	образом:
		Г ( о ! ) = 0 ,		T(v,)=max{t(P)}
где	t(P)	обозначает	длину	пути	Р и максимум берется
по	всем	путям из V\ к vt.
	Заметим, что по своей природе граф, представляющий
процесс		выполнения	операций,		является ациклическим.
(Наличие цикла создало				бы невозможную ситуацию,

вкоторой ни одна из операций, входящих в цикл, не

могла	бы	начаться	первой, так как ее		начало	зависело
бы от	выполнения		другой	операции	цикла.)		Поэтому
можно найти покрывающее дерево с					корнем	в	vu ис
пользуя метод главы 3. В результате					мы сразу		опреде
лим пути		максимальной		длины из v\	к любой		другой

Рис.

6.4.

вершине. (Предполагается,

что к а ж д а я

вершина

графа

достижима, по крайней

мере, по одному

пути.)

Соответствующее дерево показано на рис. 6.4, про

должительности

операций

для него даны

на рис. 6.3,

а значения T(v{)

приведены

вершинах.

К а к

уже упоминалось,

наиболее ранний

возможный

момент

начала

операции

[vu

Vj) удален, по крайней ме

ре,

на T(Vt)

единиц

времени

от начала

проекта. С

дру

гой

стороны,

график

выполнения

проекта,

основанный

на

T(Vi),

является практически реализуемым . Более точ

но,

если

мы

запланируем,

что к а ж д а я

операция

(vh

v})

начинается в момент Т(и,)

заканчивается

момент

T(x)t)-\-ti}

(где

Uj — длительность

соответствующей

опе

рации),

то ии одна

операция

не

может быть

начата

раньше

момента, определенного

основными

правилами,

6,4]

ЗАДАЧИ ТИПА ПЕРТ

177

н проект в целом будет выполнен за T(va) = \3 единиц времени, что соответствует наиболее раннему возможно му моменту его окончания.

Упражнение 6.4. Доказать, что при предложенном способе пла

нирования

операций

отношение предшествования

операций

не

нару

шается.

Длиннейший

по времени путь от начального

события

V\ до

конечного

v„

называется

критическим

путем. Его

длина

(в

нашем

примере 13) соответствует кратчайше

му

времени,

за

которое может

быть

выполнен

проект.

Минимальное

время

достигается только

случае,

если

к а ж д а я

операция критического

пути

начинается

сразу

же

после окончания

предшествующей.

Вообще

говоря,

критический путь не является единственным. (Читатель может заметить другой критический путь в нашем при мере.) Операция называется критической, если она при надлежит одному или нескольким критическим путям. Если проект нужно выполнить за минимальное время, некоторые операции проекта остаются некритическими и существует определенная свобода в их планировании. Измерение этой свободы приводит к определению резер

ва времени	операций. З а д а ч а нахождения		резерва	вре
мени операций будет рассмотрена ниже.
Заметим,	что к а ж д о е событие	должно произойти
(т. е. все операции, приводящие к		нему,	должны	быть

выполнены) достаточно рано, чтобы обеспечить последо вательное выполнение всех операций некоторого пути от него до конечного события. С учетом этого всем со

бытиям, кроме		значений		T(vt),	удобно сопоставить вто
рое	множество	чисел (времен).			Эти числа		аналогичны
T(vt),	но их измерение			должно	производиться			относи
тельно конечного события, а не начального.
Таким образом, пусть
	X(vn)=0,		X(v,)=max{t(P)}			для	1фп,
где	t(P) — д л и н а		пути от v{ до		vn	и максимум		берется
по всем возможным путям. Заметим, что в							этом	случае
для	определения		X(vt)	мы снова		можем воспользовать

ся методом главы 3. Необходимо только временно поме нять ориентацию каждой операции на обратную, найти длиннейшее покрывающее дерево с корнем va, а затем

12 p, Вас*кср. Т. Саатн

178	ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАФОВ	[ГЛ. 6
восстановить первоначальную ориентацию дуг.		На

рис. 6.5 показано дерево, соответствующее нашему при

меру. В вершинах графа указаны значения X{v,).	Так
8

Рис. 6.6.

как величины X(v{) измеряются от конца проекта, а вре мя выполнения всего проекта T(v„), то удобно связать эти времена следующим соотношением:

	L(Vl)=T(vn)-X(vt),
где	L(v{) определяет самое позднее	время осуществле
ния	события Vi, не увеличивающее	длительности всего

Рис. 6.6.

проекта. Н а рис. 6.6 показаны значения L(v{) для к а ж дой вершины одновременно с определенными ранее зна

чениями T(Vi).	Величины 7/(у( ) и	удовлетворяют
отношению	T(vt)^L(Vi).

Упражнение 6.5. Доказать предшествующее утверждение. Кроме того, доказать, что T(vi)=L(vi) тогда и только тогда, когда принадлежит некоторому критическому пути.

Величины		T(vt)	и L(v{) позволяют	определить	ре-
еерв	времени	при	планировании отдельных операций
.(при	постоянном		минимальном времени	проекта) .	На -

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3818 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202318.51 Mб40Барташев Л.В. Технико-экономические расчеты при проектировании и производстве машин.pdf
#
24.10.20239.52 Mб52Бартенев Г.М. Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла.pdf
#
29.10.20234.6 Mб15Бартль С. Атом в Арктике.pdf
#
19.10.20232.01 Mб17Бархатный, В. Д. Выбор участков и способов организации работы локомотивных бригад.pdf
#
19.10.20236.31 Mб21Барыкин, К. К. h = 533. (О московской телебашне).pdf
#
25.10.202312.41 Mб75Басакер Р. Конечные графы и сети.pdf
#
29.10.20234.3 Mб21Басалов Ф.А. Некоторые вопросы техники сверхвысоких частот [конспект лекций].pdf
#
19.10.20237 Mб28Басевич, В. В. Корабли не умирают.pdf
#
19.10.20233.4 Mб23Басистов, М. А. Взрывные работы при сооружении земляного полотна железных дорог.pdf
#
22.10.202313 Mб17Баскаков, А. П. Нагрев и охлаждение металлов в кипящем слое.pdf
#
19.10.20232.92 Mб38Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf