книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

150

МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРАФОВ

1ГЛ. 5

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если

а1к — число дуг,

соеди­

няющих

v( с vh, а ак}

— число дуг, соединяющих

vk с vh

то aihakJ

есть число

различных

ориентированных

марш ­

длины 3

между вершинами v( п vm,

проходящих через

t'j,

и так

далее . Таким образом, если мы предположим,

что

теорема верпа

для

V " - 1 , то

элементы

матрицы

- >

—>

->-

Vn—V"~]V

дадут

число

ориентированных

маршрутов

З а м е ч а н и е .

Очевидно,

если при

некотором Л',

1'"=0 для н ^ Л ; ,

то в графе

нет циклов.

Если в графе

З а м е ч а н и е . Матрицу

смежности можно исполь­

зовать для

исследования свойств бинарного отношения

R на конечном множестве

S={au

а,,}.

- у

Пусть

V=(Vjj)—матрица

смежности вершин, свя-

чае

будет существовать еще один путь

длины два

из а}

в

flj

и

матрица

V2=[v\f)

будет

иметь

элементы

у'?'==

=

и н

+

1 и vf=

v4+

1.)

I рапзитивиость

т а к ж е

легко

определяется

на

языке

теории

графов. Это

свойство формулируется

следующим

существует

дуга

из а( в а,. Таким образом, необходимо

только проверить

положительность v(j при положитель-

ном vfj .

Если

это так, то R транзитивно.

И н д е к с п р и м и т и в н о с т и

Заметим, что матрица вершин как в случае ориен­

тированных,

так

и в случае неориентированных графов

ответствующей столбцу. Однако эти вершины

могут

быть

связаны путем (пли

цепью) определенной

длины.

М о ж е т оказаться,

что l / m > 0

для

некоторого

целого

in^\,

т. е. после

возведения

V в степень т все

ее

эле­

менты

становятся

положительными.

В

этом случае

к а ж д а я

вершина

достижима

из

лю­

стоящим из т дуг, и граф, соответствующий

Vm,

явля­

ется

полным (действительно,

он имеет дугу, направлен­

ную

от любой другой)

и имеет

петли у каждой

вершины.

Рассмотрим теперь

ориентированный граф

D.

Если

D сильно связен, то

его матрицу смежности

V

будем

она неразложима, т. е. граф сильно связен, и

с / " ' > 0 д л я

некоторого целого

т>\,

то U называется

примитивной

(соответствующий

ей

граф

т а к ж е называется

примитив­

ным),

а наименьшее

целое

/п, для

которого

это

верно

(т. е. к а ж д а я вершина

достижима из

любой другой

вер­

шины

е помощью

последовательности дуг

длины

т ) ,

называется индексом примитивности

U и

обозначается

ч(Щ *)•

П о к а ж е м , что н е р а з л о ж и м а я

матрица

примитивна

длины

всех его

простых

циклов равен

единице

( с м . [ 7 3 ] ,

гл.

6).

Определение. Если Н — подграф графа G,

то поряд­

ком

Н

назовем число вершин подграфа

И.

Определение.

Если

Р — ориентированный

маршрут

ванном графе D, то длиной

Р называется число дуг

в Р

(считая

и

повторения).

Лемма

5.6.

Если

D=(V,

А)—примитивный

граф,

с индексом примитивности

in,

и v,

w е

V,

то

для

всех

целых

q^m

существует

ориентированный маршрут

дли­

ны

q

из

о

в и

п ориентированный

маршрут

длины

q из

W В

V.

U — прими­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим,

что

если

тивная матрица, то

к а ж д а я

строка

и каждый

столбец U

д о л ж н ы

содержать,

по

крайней

мере,

одни

ненулевой

элемент.

Из этого следует,

что

произведение

U'"-U

со­

Теорема 5.7. Необходимым п достаточным

условием

примитивности сильно связного графа D=(V,

А)

с

чис­

лом вершин п^2

является

равенство

единице

наиболь­

шего общего делителя длины всех

простых

циклов

гра­

фа

D.

Достаточность.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим,

что

D—(V,

А) — сильно связный

граф

с

я ^ 2 .

Пусть

D

имеет

г простых циклов

с порядками

ри

р2, . . . , р„,

*) Понятие примитивной матрицы можно ввести

другим

путем.

Если неразложимая

матрица

U^O

имеет

h

характеристических

чисел

Ль А2 , . . . , Я h с максимальным

модулем

г

( \kx | =

|л.2 | =

. . . =

j A.f t | =

— г),

то

матрица U называется

примитивной

при

Л = 1

и

имприми-

тивной

при

Л > 1 .

Число Л

называется

индексом

импримитивности

матрицы

U.

М о ж н о

показать, что в этом смысле матрица

U^O

является

при­

митивной в том и только в том случае, когда

некоторая

степень

матрицы

U положительна, т. е. U'" > 0

(m^

I ) . См., например,

Г а н т-

м а х е р

Ф.

Р., Теория матриц, «Наука»,

1967.

(Прим.

ред.)

5.5J

МАТРИЦА СМЕЖНОСТИ

ВЕРШИН

153

и

предположим, что наибольший

общий делитель

этих

вательность дуг

(ориентированный

маршрут) Р

такую,

что Р проходит

через все вершины

D. Начальная

и ко­

нечная

вершины

не обязательно должны фиксироваться.

Символ

Р будет

обозначать любую

последовательность,

что все дуги

расположены

в одной и той ж е последова­

тельности, хотя начальная и конечная вершины

могут

быть различными. Пусть Р имеет длину /'.

Так

как

D

сильно связен,

то

для

каждой

пары

s . i e e l /

существует путь

из о в

ш.

Сопоставим с

к а ж ­

дой такой упорядоченной

парой

(v,

w)

положительное

целое число

i^n,

определяющее

длину

некоторого

пути

из

и

в w. Теперь при желании можно пройти

из и в

w

следующим образом: (1) начать движение с

обхода

Р

(из

v

в v) и, начиная с различных заранее

определен­

принадлежат, и (2)

затем

пройти путь

с / дугами.

Д л и ­

на

всего «путешествия» может

быть выражена формулой

г

где

eih

— неотрицательное

целое число

для каждого

к.

,

П о к а ж е м теперь,

что для

каждого

/ можно так вы-'

брать

е„„ что s окажется

константой,

т. е. не будет за­

висеть

от I . (Зависимость

от i

исключается

выбором

вл.)

Напомним, что если к — множество

целых чисел, для

которых наибольший

общий делитель

равен

1, то 1 мож­

но

представить как

линейную

комбинацию

этих чисел.

лые числа « 1 ,

а-2,

. . . ,

аг, которые

можно разбить

на два

.взаимно дополнительных

множества

.Y п

Y так, что

2

akPk — 2

°kPk =

1.

Теперь для каждого целого /

( 1 ^ / ^ п )

н каждого

це­

лого к

(\^к^.г)

определяем

(при достаточно больших

целых

т)

замкнутой последовательности дут

длины

г + 1

и

после­

довательность 5, длина которой

/ + / + 1 = 2 4 - 1

может быть

записана

в качестве

желаемо й

линейной

комбинации. Но два последовательных числа

можно

представить

как линейную

комбинацию

одного

и

того

ж е множества целых

чисел

/л только в этом случае,

ес­

Примером

неориентированного непримитивного гра­

фа является

двудольный граф . Специальным случаем

графов.) При этом все простые циклы

имеют

четное

число

ребер, поэтому

граф

не

удовлетворяет

условию

примитивности, так

как

общий

делитель равен

2.

- >•

Взяв /-ую степень матрицы V ориентированного

гра­

фа D, получим матрицу ориентированного графа,

кото­

рый имеет

те ж е вершины, что

и D,

и для

которого

упо­

рядоченная пара (У,-, и,)

является

ребром

тогда

и

толь­

ко

тогда,

когда

существует

последовательность

дуг

длины

t, соединяющая

~о{ с у,-

BV.

Упражнения

->

->(

5.11. Показать, что если V примитивна, то матрица

V

также

примитивна

для г > 0 .

5.12.

Показать, что в примитивном графе для каждой вершины v-L

существует

целое число Л такое, что

существует путь длины Л из

t1/

в любую другую вершину vj.

Наименьшее значение /( называется

ра­

диусом охвата и/ и обозначается через Л,-.

5.13.

Показать, что

в примитивном

графе, если

p ^ / i j ,

существу­

ет

ориентированный маршрут длины р

из и г в любую Vj.

(Заметим,

что

так

как

граф сильно

связей,

то

существует

дуга

из

некоторой

Vfi

в vj

и,

следовательно,

имеется

путь из vi через o/j

в vj

длины

сти v(D)

определяется

выражением v (D) = max [hlt

. . . , Л ; ( ] .

5.15. Показать, что если в вершине и ; сильно связного графа

имеется

петля, то hi^n—

1.

ванного числа шагов. В математической экономике,

если

U — примитивная

матрица, то

показатель

степени

т

со­

ответствует

т - м у

такту

функционирования

системы.

При

этом

если

^(D)=m,

то

все секторы

экономической

мо­

дели

затраты — выпуск,

начиная с m-го такта

и

па

всех

последующих,

связаны.

Возникает

вопрос,

когда

неотрицательная

неразло­

ж и м а я

матрица

примитивна,

и чему

равен

ее

показа­

тель примитивности, или какова его оценка?

Остановим­

ся на

второй

части вопроса.

Одна

из наиболее

ранних

оценок

показателя

прими­

дает, что он не может превосходить

(п—1)2+1,

где п —

число

вершин (и, конечно, т а к ж е

порядок

матрицы) .

Эта

оценка является следствием

следующей

теоремы.

V удовлетворяет неравенству 7(V)

sg/7-f-s(/7—2).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

утверждению

уп-

ражнення

5.11 Ds

(граф,

соответствующий

матрице

Vs)

является примитивным. Учитывая, что D имеет простой

контур длины s, получим, что граф

D* имеет, по край­

ней мере, s вершин с петлями. Следовательно,

сущест­

вует

последовательность

дуг длины

pi^n—s

из

любой

вершины vt к некоторой вершине vh,

которая имеет

пет­

лю в

Ds.

Д а л е е

согласно

упраженению

5.15, в

D"

сущест­

вует

последовательность

дуг длины

/г—1 из vh в

любую

Vj. Таким образом, в графе D последовательность

дуг из

v„

в

Vj имеет длину

( л — 1 ) 5 , а

последовательность

из

vt

в

Vj имеет длину

р( -)-(/г— l)s .

G.G]

МАТРИЦА ПУТЕП

157

' Следовательно,

hi^.pi-T-(n—l)s

и

• y ( D ) = m a x [ / i i ,

hn]<n—s+(n—

])s =

n-t-s(n—2).

Следствие 5.9. В примитивном графе наибольший об­

щий делитель длин

всех

простых

циклов равен единице

н, следовательно, s ^ n —

1. Отсюда

следует,

что

у (V) < п +

(п -

1) (п -

2)

=

(« -

1 ) 2

+

1.

Хнп н Лппн [11] показали, что

если

граф,

соответст­

вующий матрице U, имеет, по

крайней

мере,

к~^2 про­

(я -

I ) 2

+ 1 -

( / г - 2 )

(2/г — /г — 3)

2.

5.6. Матрица

путей

Д л я

связного

графа,

вершины

которого

перенумеро­

ваны,

можно

построить

матрицу

путей (пли цепей) Р

дующую матрицу

путей между

вершинами

vx

и v5:

с,

с.

е„

с,

с,

ел

Я,

/1

0

0

0

1

Оч

р

_ р 2

/ 1 0 0

1 0

11

вА 0

1

1

0

1

О Г

Р ,

\0

1

1

1

0

1/

Теорема

5.10.

Произведение

АР'

матрицы

пнцидеи-

цпй

на транспонированную

матрицу

путей дает в резуль­

тате

матрицу, все

строки

"

<?.

иг

е5

которой,

исключая

пер-

вую

и последнюю,

содер­

ж а т

нули,

а

первая

и

по­

следняя — единицы.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Элемент

матрицы

АР'

принимает

значение

1 тог­

Рис.

5.8.

да и только

тогда,

когда

15S

МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

ГРАФОВ

[ГЛ. 5

дой цепи

между двумя вершинами

существует

только

конечными, имеют степени 0 или 2, и следовательно,

все

остальные

элементы матрицы

равны

нулю

по

моду­

лю 2 [21] .

п

З а м е ч а н и е .

Ранг матрицы путей

графа

с

вер­

шинами и т ребрами равен т—л+2—с,

где

с — число

независимых циклов в таких разделимых

подграфах

между конечными вершинами, удаление которых

из

графа не удаляет ни одной из конечных

вершин. И з

те­

оремы 5.10

следует,

что ранг Р

не превосходит

/п—п-\-2.

ничных элемента в к а ж д о м столбце

и нули

во

всех ос«

тальпых местах.

Граф всегда можно построить, если заданная

матри­

ца является матрицей инциденций.

З а д а ч а

построения

графа по матрице циклов ие является столь

же

простой

лении дан в статье Аша и Кима

[ 1 ] . Строгая и глубокая

теория, д а ю щ а я необходимые

и достаточные условия