Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3814 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

ГРАФЫ II ПОВЕРХНОСТИ

12Э

лекса К и, следовательно, множество точек,			принадле
ж а щ и х некоторому	симплексу	в /(.
Поверхность 5	является	неориентируемой,	если су

ществует некоторая точка, вокруг которой устанавлива ется направление вращения, и можно двигать точку по поверхности, соблюдая одну п ту же ориентацию отно сительно точки задания вращения, а затем вернуться в начальное положение с обратным ощущением направ ления вращения . Если не существует такой точки, то


поверхность называется							ориентируемой.
	Если	правый		конец		прямоугольника, изображенного
па	рис. 4.13,		повернуть на				полоборота и затем соединить
с	левым	концом,		то	мы	полу		А
чим ленту,			отличающуюся				от
обычного			кольца,		выполнен-			I	t
пым полуоборотом. Это так на-								'
зываемый лист Мёбиуса.						З а м е -		^
тим, что он является односто-								Рпс. 4.13.
ронней поверхностью, т. е. начав
свое движение с некоторой точки поверхности,									мы мо
жем вернуться в				нее, не пересекая при этом края					поверх

ности. Нетрудно видеть, что лист Мёбиуса является не ориентируемой поверхностью. С другой стороны, сфера и плоскость являются примерами двусторонних ориен

тируемых		поверхностей.
	Картой	называется граф вместе с поверхностью, со
д е р ж а щ е й		этот граф, ребра которого пересекаются толь
ко в их граничных			точках.
	Фактически формула Эйлера применима к много
гранникам		в трехмерном пространстве. В этом случае
мы	имеем	V—E-\-F	= 2, где V — число вершин, Е — чис
ло	ребер и F — число граней. Доказательство получается

путем отбрасывания одной из' граней и растягивания многогранника на плоскости без пересечения его ребер. Доказательство проводится точно так же, как в слу чае плоского графа, за исключением того, что внешняя грань не учитывается. Вместо нее вводится недостаю щ а я грань, которая была отброшена.

Следующая теорема, к а с а ю щ а я с я многогранников, приводится здесь из-за сходства рассуждений, применя емых при ее доказательстве н доказательстве теорем теории графов.

9 Р. Басакер, Т. Сааш

ПЛОСКИЕ И НЕПЛОСКНЕ ГРАФЫ

1ГЛ. 4

Теорема

4.28. К а ж д ы й

замкнутый

многогранник име

ет,

по

крайней

мере, две грани

одинаковым

числом

ребер.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

с; — число

ребер

i-й гра

ни,

причем

грани

упорядочены

так,

что

e f ^ e , ' + l

( t = l ,

г—1)

[31]', где л — число

граней.

Если

ни одна пара граней не содержит одинакового

числа

.ребер, то

— е , - ^ 1 для

всех

Таким образом,

er — ej =

v ,

(е.-ы — <?/) >

г — 1.

1=1

Так

как

е , - ^ 3 ,

то мы имеем

ег^г-\-2,

т. е. r-я

грань'

смежна,

по

крайней

мере, с

г-\-2

гранями,

что

невоз

можно.

З а м е ч а н и е

М о ж н о доказать

более

сильное ут

верждение,

что если

k — наименьшее

число ребер

грани,

то существует, по крайней мере,

/г индексов

i, для

кото

рых

et=el+l.

З а м е ч а н и е

Формула

Эйлера

может

быть

обоб

щена на многогранник в «-мерном пространстве, если обозначить через /•",•(( = 0, 1 п—1) число граней i-й размерности. Например, F0— число вершин. В этом случае формула Эйлера будет иметь вид

™У ( - 1 ) < Л = 1 - ( - ! ) » ,

1=0

где правая часть равна 0 или 2 в зависимости от чет ности п.

	Возвращаясь		в трехмерное пространство, заметим,
что	формула	Эйлера для поверхностей с дырками			име
ет вид			V—E+F=2—2p,
			V—E+F=2—2p,
где	р — число	независимых дырок,		называемое	родом
поверхности.		Род	поверхности — это	наибольшее	число

простых замкнутых кривых на поверхности, которые не


разъединяют поверхность. Сфера является			поверхностью
нулевого рода, так как л ю б а я замкнутая кривая				на этой
поверхности	разъединяет ее. Тор является		поверхностью
1-го рода.	Л ю б а я	поверхность р-го рода	эквивалентна
сфере с р ручками		(подобно ручке на чайной		ч а ш к е ) .

4.6] ГРАФЫ II ПОВЕРХНОСТИ 131

Д л я н е о р и е и т и р у е м о й

п о в е р х н о с т и

п р а в а я

часть

ф о р м у

лы Э й л е р а

з а м е н я е т с я

на 2—q,

где q — ро д

п о в е р х н о с т и .

Ч т о б ы

вывести

эту

ф о р м у л у ,

м о ж н о

п р е д с т а в и т ь

с е б е с ф е р у

виде м н о г о г р а н н и к а

ручками .

Р у ч к а

мо

ж е т

быть

о т р е з а н а

в о д н о м

месте

п р и к р е п л е н и я

(при

этом

по д

ней

останется

м н о г о г р а н н о е

отверстие)

вставлена

в д р у г о е

место

прикрепления

(при э т о м

об

р а з у е т с я т а к о е ж е м н о г о г р а н н о е о т в е р с т и е ) .

М о ж н о

показать, что в ы р а ж е н и е

V—E-\-F=2,

с п р а в е д л и в о е д л я

л ю б о г о р а з д е л е н и я

ц е л о й

сферы,

д о л ж н о

быть

с о к р а

щ е н о на 2р

(число з а п л а т

на

п о в е р х н о с т и ) .

Теперь

мы

п о л у ч а е м

ф о р м у л у

Х и в у д а ,

которая

дл я

о п р е д е л я е т д о с т а т о ч н о е

число

цветов

дл я р а с к р а

ски

карты

на п о в е р х н о с т и

р-ro

р о д а в

в и д е

' 7 + Т/1 +

48р "

К в а д р а т н ы е

скобки

о з н а ч а ю т ,

что

б е р е т с я

н а и б о л ь ш е е

ц е л о е

число,

не п р е в о с х о д я щ е е

числа

внутри

скобок .

З а м е т и м ,

что

при

н е о р и е и т и р у е м о й

п о в е р х н о с т и

дл я

д о с т а т о ч н о г о

числа цветов

мы и м е е м

[(74 - |/ 1

-\-24q)/2\.

О б е п р е д ы д у щ и е ф о р м у л ы д а ю т н и ж н ю ю г р а н и ц у

н е о б х о д и м о г о

числа

цветов,

когда

к а ж д а я

у м е н ь ш а е т с я

на 2

[39] . Та ж е с а м а я

п р о ц е д у р а

получения

о д н о р о д н о й

карты

степени

3 из

плоской

карты

п р и м е н и м а

т а к ж е

д л я

карты

на поверхности р-го рода .

Д а л е е

мы

б у д е м

р а с с м а т р и в а т ь

только

связные

карты,

так как

н е т р у д н о

видеть,

что р а с к р а с к а

несвязной

карты

является

част

ным

с л у ч а е м

р а с к р а с к и связной .

Теперь

дл я о д н о р о д н о й

карты

степени

3 мы и м е е м

2>V=2E=aF,

где а — с р е д н е е

число

ребер

дл я д а н н о й

грани. П о д с т а н о в к о й

в ф о р м у л у Э й л е р а дл я

поверхности

р-то р о д а мы получим

П р и б а в и м

по

1 к к а ж д о й

части

в ы р а ж е н и я ,

о б о з н а ч и м

a-\-\=F

р е ш и м п о л у ч е н н о е

к в а д р а т н о е

у р а в н е н и е ,

беря

дл я

получения

ф о р м у л ы

Х и в у д а

только

п о л о ж и

тельный

корень

а. Чтобы

д о к а з а т ь ,

что н а и б о л ь ш е е

це

лое,

не

п р е в о с х о д я щ е е

сс, о п р е д е л я е т

д о с т а т о ч н о е

число

цветов

дл я поверхности

р-го

р о д а ,

з а м е т и м ,

что если

F ^ a ,

то число

а д о с т а т о ч н о ,

так

как F цветов

д о с т а -

132 ПЛОСКИЕ I I НЕПЛОСКИЕ ГРАФЫ [ГЛ. 4

точно для раскрашивания F граней. Если

Г~>а,

то из

рис.

4.14

следует,

что

всегда

я + К а .

Учитывая, что а есть среднее число сторон

грани,

можно

утверждать,

что

существует

грань

нмею-

щая

самое

большее

или

[ а ] —1

сторон,

так

как

а + 1 ^ [ а ] .

Если

устра

нить

некоторое

ребро

этой

грани,

объединив ее

с одной

из смежных

гра

ней R', то можно показать,

что

если

[а]

цветов

до

статочно

для

сокращенно

го графа, то их достаточ

но и для

исходного.

Пред

положим,

что

сокращен

Рис.

4.14.

ный

граф

раскрашен

[ а ]

цветами. Тогда,

учитывая,

что

и другие

грани сокращенного

графа,

которые

ог

раничивали

совокупности

дают

число

не

более

[ а ] — 1 , грань

можно окрасить

оставшимся,

ие

заня

тым цветом. Если сокращенный граф

имеет

более

чем

[а]

граней,

то

повторим

приведенное

рассуждение,

так

как покажем, что если мы объединим

какую-то

грань,

имеющую

самое

большее

[а]

— 1

сторон,

одной

из

соседних

граней

и полученный новый сокращенный граф

м о ж н о

раскрасить в

[ а ]

цветов,

то

тогда

исходный

граф

можно

раскрасить в

[а]

цветов.

(Такая

грань

сно

ва

д о л ж н а существовать,

так

как

среднее

число

сторон

а по-прежнему

удовлетворяет

о - | - 1 - < [ с б ]

силу

того,

что число

граней

F > [ a ] . )

Таким образом,

возможность

раскраски

исходного

графа

[а]

цветов

конечном

счете основана на возможности раскраски сокращенного

графа с [а]	гранями	в	[ а ]	цветов,	что, очевидно,		всег
да возможно.
Заметим,	что к а ж д а я		из	объединенных		граней,	име
ющих самое	большее	[ос] —1		сторон,	может	быть разде

лена па	исходные составные части, которые можно рас
красить	без противоречий	с соседями.	Доказательство
закончено.		д л я различных значений р
Необходимость доказана
н требует построения специальных карт			(см. [ 2 ] ) .

ЛИТЕРАТУРА

133

Необходимость семи				цветов	дл я	тора		показана	па
карте	рис. 4.15. Из'		формулы		Хнвуда		следует т а к ж е
их достаточность.
				г		!
		3			5
		6		7		1
		/		7		1
			Рис. 4.15.
4.17. Показать, что для раскраски					карты	на	листе Мёбиуса		не
обходимо шесть цветоп.
Существует интересная теорема, предложенная Эд-
моидсом,		в которой	рассматривается			связь		между	гра
фом G и порождаемыми				им картами		(S, G) на поверх
ности	S.	З а д а ч а состоит		в том, чтобы		охарактеризовать
карты	па	ориентируемой		поверхности,			представляющие

собой изображения данного графа па этом поверхности.

Интуитивно ясно, что если мы имеем карту (S, G), соответствующую графу G, то эта карта определяет в каждой вершине единственное циклическое упорядоче


ние. Оказывается, что такие циклические		упорядочения
ребер в каждой вершине точно определяют связь между
графами и картами, отраженную в следующей			теореме.
Теорема 4.29	(Эдмондс). Д л я любого	связного графа
G с произвольно	определенным циклическим		упорядо

чением ребер в каждой вершине существует топологи чески единственная карта (5, G) па ориентированной поверхности такая, что упорядочение ребер по часовой

стрелке в каждой вершине точно совпадает		с выбран
ным (исходным)	упорядочением.
	Л И Т Е Р А Т У Р А
1. А л е к с а н д р о в	П. С , Комбинаторная топология,	Гостехпздат,
1947.

2.В а 11 W. W. R., Mathematical Recreations and Essays. The Macmillan Company, New York, 1960,

134

ПЛОСКИЕ I I НЕПЛОСКПЕ ГРАФИ

1ГЛ. '1

B e r g e

С ,

Theory of Graphs and Its Applications. John Wiley &

Sons,

Inc.,

New

York, 1962.

[Русск.

nqieB.:

Б е р ж

К.,

Теория

графов и ее применение, И Л , 1962.]

В i г k h о f f

G. D., A Determinant Formula

for

the

Number

Ways

Colouring

a Map., Ann. Math.,

(2)

: 42—46

(1912).

B i r k h o f f

G. D., On the Number of Ways of Coloring a Map.

Proc. Edinburgh Math. Soc , 2

(2),

83—91

(1930).

B i r k h o f f

G. D.,

The

Coloring

Graphs. Ann. Math.,

(2);

688—718

(1932).

B i r k h o f f

G. D.,

The

RedLicibility

Maps. Am. J . Math.,

35:

115—128

(1913).

B i r k h o f f

G . D., On the Polynomial Expressions for

the

Number

of Ways of Coloring a Map. Ann. Scuola Normali Superiore, Pisa,

Ser. 2, 3: 85—104

(1934)

B i r k h o f f

G. D.,

L e w i s

D. C ,

Chromatic

Polynomials.

Trans.

Am. Math. Soc, 60: 355—451

(1946).

10.

B r o o k s

R. L . ,

On Colouring

the Nodes

of a

Network.

Proc.

Cambridge

Phil. Soc, 37: 194—197

(1941).

11.

D у n к i ii

E . B.

and W.

U s

p e n

s k i ,

Multicolor

Problems.

D. C. H e a t h

and

Company,

Boston,

1952

(Original

German).

12.

D i r a c

G. A.,

Note on

the

Colouring

Graphs. Math.

Z.,

54:

347—353

(1951).

13.

D i r a c

G. A.,

A Properly

4-Chromalic Graphs and Some Re

marks on Critical Graphs.',!. London

Math. Soc,

27: 85—92

(1952).

14.

D i r a c

G. A.,

Some Theorems on

Abstract

Graphs. Proc

London

Math. Soc ,

Ser. 3, 2 : 69—81

(1952).

15.

D i r a c

G. A.,

The Structure

^-Chromatic Graphs. Fund. Math.,

40: 42—45

(1953).

16.

D i г а с

G. A.,

Map

Colour

Theorems

the Heawood

lour Formula. J . London Math. Soc, 31: 460

(1956).

17.

D i r a c

G. A.

and

M. D.

S t o j a k o v i c ,

The

Four-colour

Prob

lem. Matematica Biblioteka, 16 : 1960,

MR 22—1946.

18.

E r d o s

and

B r u i j n

N. G., A Color

Problem

for

Infinite

Graphs and a Problem in the Theory of Relations. Indagationes

Mathfc., 13: 369-373

(1951).

19.

E r r e r a

J . ,

Du Coloriage

des

Cartes,

These,

Bruxelles,

1921,

Malhesis,

30;

(1922).

20.

A problem

Eureka, October, 1960.

21.

F a r у

I.. On

Straight Line

Representation

Planar

Graphs.

Acta Sci. Math. 11 (4): 229—233

(1948).

22.

F r a n к 1 i n

P.,

The Four Color Problem.

Scripta

Mathematica,

No. 5,

1941.

23.

G o o d m a n

A. W.,

Sets

of Acquaintances and Strangers at

Any Party. Am. Math. Monthly, 66: 778—783

(1959).

24.

G r e e n w o o d

R. E . , G l e a s o n

A . M . , Combinatorial

Relations

and Chromalic Graphs. Can. J . Math., 7: 1—7

(1955).

25.

G г ii n b a u m

В.,

M о t z к i n

T. S.,

Polyhedral

Graphs.

Proc. Symp. Pure Math., vol. 7, Convexity,

1963.

26.

H a r a r y

F . ,

Complementary

Problem

Nonplanar

Graphs.

Math. Mag.,

35 : 301-303

(1962).

27.H e a w o o d P. J . , Map Color Theorem. Quart. J . Pure Appl. Math., No. 24, p. 332, 1890.

ЛИТЕРАТУРА

133

28.К п е е b о п е G. Т., The Three Houses Problem. Math. Gaz., 25: 78—81 (1941).

29.	K r a u s z	J . , Demonstration			Nouvelle d'une Theoreme		de	Whitnev
	sur les Resoaux. Mat. Fiz. Lapok, 50: 75—85 (1943). (In Hunga
	rian.)
30.	К и г a t о w s к i			G., Sur probleme des Courbes Gaudies				en To-
	pologic. Fund. Math. 15—16				(1930).
31.	L i n i s V.,		Math. Mag., 36		(4)	(1963).
32.	L o r d e n	G.,		Blue — Empty		Chromatic Graphs.	Am.	Math.
	Monthly, 69 (2) : 114—119 (1962).
33.	M a c L a n e		S.,	A Combinatorial Condition for Planar				Graphs.
	Fund. Math., 28—22—32 (1937),					Zbl. Math. 15, 375.

31.M a r a t h e C. R., On the Dual of a Trivalent Map. Am. Math Monthly, 68 (5): 448—455 (1961).

35.	M i n t y	G. J . , A Theorem on				^-Coloring the Points of a Linear
	Graph. Am. Math. Monthly, 69 (7) : 623—624						(1962).
36.	N о г d h a u s,		E . A.,	G a d d u m		J . W., On Complementary			Graphs,
	Am. Math. Monthly,			63 : 175—177 (1956).
36a. P i с a r d C ,			Graphes Complementaires et Graphes Planaires. Rev.
	Franc. Recherche Operationelle,					8:329—343	(1964).
37.	R a p a p о r t		E . S.,	Cayley Color Groups			and	Hamilton	Lines.
	Scripta	Math. 24: 51—58			(1959).
38.	R a t i b	L . ,	W i n n	С.	E . ,	Generalisation		d'une Reduction
	d'Errera clans le Probleme des					Quatre Couleurs. Intern. Congr.
	Math. Oslo, 1936.

39.R i n g e I G., Farbungsprobleme auf Flachen und Graphen, V E B Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1959.

40.	S a u v ё	L . , On Chromatic		Graphs. Am. Math. Monthly,	68:
	107-111 (1961).
41.	S e s h u	S., R e e d	M. В., Linear Graphs and Electrical Networks.
	Addison — Wesley		Publishing	Company, Inc., Reading, Mass.	1961.

42.T i e t z e H., Einige Bernerkungen Liber das Problem der Karten farbens auf einseitigen Flachen. Jabresber., Deulsh. Math. Vereinigung, 19: 155—159 (1910).

43. Z e i d 1	В., Ober 4-und 5-chrome Graphen. Monatsh. Math., 62 j
212—218	(1958),

Г л а в а 5

М А Т Р И Ч Н О Е П Р Е Д С Т А В Л Е Н И Е Г Р А Ф О В

5.1.Введение

Вглаве 5 вводится ряд матриц, с помощью которых можно описывать, используя алгебраический аппарат, ориентированные и неориентированные графы. Эти мат

рицы задают	отношения	ипцпдепцпй	между	вершинами
и ребрами и	в более	общем случае	между	циклами,

разрезами, цепями и соответствующими ребрами. Они являются удобной формой представления структурных свойств графа .

Между матрицами ннцпденций, циклов и разрезов существует тесная взаимосвязь, которая позволяет вы разить базис векторного пространства, связанного с од

ним	типом	матриц,	через	базис	пространства,		связан
ного с другим типом. Это				облегчает,		например,	задачу
нахождения		всех разрезов		графа		при известных его
циклах.
В	главе	7 будет	показано,		что	свойства	разрезов

тесно связаны с максимальным потоком в соответствую щей сети. Определение основных матриц для циклов и

разрезов

существенной мере основывается на поняти

ях дерева,

ветвей дерева

хорд.

При описании неориентированных графов мы будем

иметь

дело

матрицами

цнциденций,' элементами

кото

рых могут

быть только нули и единицы. Сложение

чисел

всегда

будет

производиться

по

модулю

В этом

случае

1 + 1 = 0

(по

модулю 2),

1 + 0 =

0 + 1 =

и 0 + 0 = 0 .

Та

ким

образом,

для выполнения

операции

сложения

по

модулю

необходимо просто сложить

соответствующие

элементы,

затем

разделить

результат

на

2 и остаток

C.I]	ВВЕДЕНИЕ	137
записать как результат	сложения	по модулю 2. Такой

выбор элементов матриц позволяет определить наличие

некоторого свойства между двумя элементами

(тогда

соответствующий

элемент

равен

или его

отсутствие

(тогда элемент равен 0).

Матрицы

перемножаются

и складываются

как обыч

но, однако

р е з у л ь т а т . всегда

записывается

по

моду

лю 2.

При

описании

ориентированных

графов

элементов 0

и 1 оказывается

недостаточно, так как дуга

может

быть

инцидентна данной вершине и направлена

к ней, инци

дентна

и направлена

от нее, или не инцидентна

вершине.

Поэтому для обозначения

ориентированной

инцидентно

сти или ее отсутствия воспользуемся

символами 1,—1,0.

Здесь

мы

уже не

можем

пользоваться

приведением

по модулю

2 и должны рассматривать матрицы с цело-

ч и сл е и и ы м и эле м е н т а м и.

Конечно, с такими матрицами

работать гораздо

труд

нее. Однако

принципиально

к матрицам ориентирован

ных графов применима теория, аналогичная теории для

неориентированных

графов.

Отметим, что с

понятием

матриц

тесно связано по

нятие векторного

линейного

пространства,

базиса

и ли

нейной

комбинации

векторов.

Определение. Векторным

пространством

называется

множество

элементов

(называемых

векторами),

кото

ром для каждых

двух

векторов х и у

однозначно

опре

делена

операция

сложения,

д а ю щ а я

единственный

век

тор х-\-у,

называемый

суммой,

и задана операция умно

жения

вектора

на

действительное

число

(или на

эле

мент любого другого поля, например,

поля

комплексных

чисел или целых

чисел по модулю 2), которая

любому

вектору

х ставит

в соответствие единственный вектор ах

для каждого числа а.

Д л я

существования векторного

пространства,

для

любых

векторов

х,

у и z из этого

пространства

и при

любых

числах a,

b должны выполняться следующие ак

сиомы.

Векторы должны образовывать коммутативную груп

пу относительно

сложения, т. е.

1.х+у=у+х.

2. x+(y+z)

(x+y)+z.

138	МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРАФОВ				\|ГЛ. S
3.	0 + А ' = х	для всех х,	где 0	обозначает нулевой	вектор.
4.	К а ж д ы й	вектор х	имеет	противоположный	вектор
у такой, что
		х+у=0.
Д о л ж н ы выполняться			следующие аксиомы умноже
ния на число.
5.	a (bx) =	(ab)x.

6.(a-\-b)x=ax-\-bx.

7. а(х-\-у)		=ах-\-ау.
8. Существует множество векторов, называемое					ба
зисом. Векторы, принадлежащи е базису, линейно					неза
висимы	и стягивают пространство в		том	смысле,	что
к а ж д ы й	вектор	пространства может	быть	представлен

линейной комбинацией базисных векторов. К а ж д ы й ба зис пространства содержит одно и тоже число векторов,

называемое	рангом	базиса.
Д в а векторных		пространства V и U	называются изо
морфными,	если	между их элементами	можно устано

вить взаимно однозначное соответствие, которое сохра


няет	операцию сложения и умножения на				число, т. е.
если	i»i и t>2		— элементы	V, а их и и2— соответствующие
элементы		U,	то ^ 1 + ^ 2 соответствует их-\-и2,		аналогично,
ко соответствует ки, если v соответствует и,					a	k—про
извольное		число.		#

В случае неориентированного графа элементами век торного пространства при матричном представлении яв ляются векторы, каждый из которых представляет под

множество	ребер. Элементами	этих векторов	являются
О или 1 в	зависимости от того,	принадлежит	ли данное

ребро рассматриваемому подмножеству или нет. В слу чае, когда ориентированный граф имеет т ребер, соот


ветствующее векторное пространство						состоит из			всех
векторов	(хи	хт),	где xt=0		или	1. i-я		компонента
соответствует		г-му ребру, и		к а ж д ы й вектор				однозначно
характеризует		подмножество		ребер, д л я которых					. v,= l .
В частности,		к а ж д ы й	цикл	и	разрез	имеют		векторное
представление.		Сумма	двух	таких векторов			т а к ж е		явля
ется вектором		того ж е	вида. Их		скалярное		произведение
(сумма	произведений		соответствующих			компонент)			рав-

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3814 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202318.51 Mб41Барташев Л.В. Технико-экономические расчеты при проектировании и производстве машин.pdf
#
24.10.20239.52 Mб53Бартенев Г.М. Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла.pdf
#
29.10.20234.6 Mб15Бартль С. Атом в Арктике.pdf
#
19.10.20232.01 Mб17Бархатный, В. Д. Выбор участков и способов организации работы локомотивных бригад.pdf
#
19.10.20236.31 Mб21Барыкин, К. К. h = 533. (О московской телебашне).pdf
#
25.10.202312.41 Mб76Басакер Р. Конечные графы и сети.pdf
#
29.10.20234.3 Mб22Басалов Ф.А. Некоторые вопросы техники сверхвысоких частот [конспект лекций].pdf
#
19.10.20237 Mб28Басевич, В. В. Корабли не умирают.pdf
#
19.10.20233.4 Mб23Басистов, М. А. Взрывные работы при сооружении земляного полотна железных дорог.pdf
#
22.10.202313 Mб19Баскаков, А. П. Нагрев и охлаждение металлов в кипящем слое.pdf
#
19.10.20232.92 Mб39Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf