Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

4.5] РАСКРАСКА ГРАНЕЙ И ВЕРШИН 119

Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем доказательство по индукции. Плоскость делится прямой линией на две гра

ни, и следовательно, в этом случае достаточно	двух
цветов. Когда проводится вторая линия, то д л я	рас

краски новой карты нужно изменить цвета с одной сто роны новой линии. Предположим, что теорема верна для п—1 линии. Тогда если после проведения п-тл линии

поменять	цвета	всех граней с	одной стороны	от нее,
то мы получим граф, раскрашенный двумя цветами.
Теорема 4.23.		Необходимое	и достаточное	условие
того, что	карта	может быть	правильно раскрашена

(т. е.- грани с общим ребром будут окрашены в разные

цвета)	двумя цветами,		состоит в следующем:			к а	ж д а я
вершина имеет		четную	степень,	которая	больше		или
равна	2.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Грани	плоского	графа	могут
быть	раскрашены	двумя	цветами	тогда и	только	тогда,

когда вершины двойственного ему графа могут быть рас крашены двумя цветами, т. е. когда двойственный граф является двудольным. Используя тот факт, что дерево

является двудольным		графом, и рассматривая его хор
ды,	можно показать,	что	граф	является	двудольным
тогда	и только тогда,	когда	к а ж д ы й цикл		содержит	чет
ное число ребер. В свою очередь				в плоских графах		к а ж

дый цикл будет содержать четное число ребер тогда и только тогда, когда каждый цикл, ограничивающий некоторую грань, обладает этим свойством. Читателю рекомендуется провести детальное доказательство этого

шага. Н о это эквивалентно утверждению, что				к а ж д а я
вершина исходного		графа имеет	четную степень.
I	Упражнения
	4.9. Доказать, что	карта, полученная	изображением	некоторого

конечного числа окружностей на плоскости, может быть раскрашена двумя цветами.

4.10. Дайте краткое индуктивное доказательство того, что шесть цветов достаточно для раскраски (правильной) любой плоской карты.

Используйте

тот

факт,

что если

каждая вершина

имеет

степень, по

меньшей

мере 3,

то, по

крайней

мере,

одна грань

имеет

самое

боль

шое пять

сторон.

4.11. Показать, что

если

каждая

вершина

карты

имеет

степень,

по крайней

мере,

равную 3,

то

число

ребер и

граней

удовлетворяет

неравенству

З г ^ г б + я .

4.12. Используя результат упражнения 4.11,

показать,

что

если

каждая вершина

имеет

степень,

по Крайней мере,

равную

3, н

если


120	ПЛОСКИЕ	II НЕПЛОСКИЕ			ГРАФЫ			(ГЛ. -1
число.граней меньше 12, то		найдется хотя			бы одна	грань, ограничен
ная 4 или меньшим числом сторон.
4.13.	Доказать, что четырех цветов достаточно					для	раскраски лю
бой карты, которая содержит менее чем 12 граней						и каждая		вершина
которой	имеет степень, но крайней		мере,	равную 3.
Потоковым отношением			(отношением			потоков)		цик
ла *)	в ориентированном графе			называется			отношение

числа дуг, ориентированных в одном направлении, к чис лу дуг, ориентированных в другом направлении, где знаменатель не должен быть больше числителя [35] . Заметим, что это отношение может быть равно беско нечности.

Теорема 4.24. Необходимое и достаточное условие возможности раскраски вершин графа k цветами, состо ит в том, что существует ориентация ребер графа, при которой потоковое отношение каждого цикла не превы шает k— 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Д л я доказательства необходи
мости предположим, что граф раскрашивается k				цвета
ми, пронумерованными	числами	0, I ,	k—1.	Пусть
к а ж д а я дуга направляется из вершины			с меньшим номе
ром цвета к вершине с большим		номером. Тогда		к а ж д ы й

цикл имеет потоковое отношение, которое меньше пли равно k—1. Это следует из того, что наибольшее пото ковое отношение получается при ориентации наиболь шего возможного числа дуг в одном направлении и наи

меньшего	числа дуг — в обратном. Такое	отношение
получится,	например, при последовательном	раскрашива

нии вершин в возрастающем порядке и повторении про цесса после того, как все цвета использованы. Таким

образом,		каждое множество (k—])		дуг	ориентируется
в	одном	направлении	и только одна	дуга	ориентирует
ся	в противоположном		направлении.

Д л я доказательства достаточности предположим, что граф связен, и пусть потоковое отношение для каждого цикла меньше или равно k—1. Выберем начальную вер шину и0 , окрасим ее в цвет 0 и перейдем к рассмотре нию некоторой другой вершины ~ор.

Определим вспомогательную целочисленную функцию g(vp), значения которой по mod k дают требуемую рас-

*) В оригинале «flow ralio». (Прим. ред.)

4.5]

РАСКРАСКА ГРАНЕЙ И ВЕРШИН

121

краску. В качестве предварительного шага, для опреде ления g{vp), введем понятие дохода цепи из дуг, при движении вдоль нее от v0 к vp. Пусть он равен числу дуг, проходимых в направлении их ориентации, минус число дуг, проходимых в обратном направлении, умно женное на (к—1).

Чтобы убедиться в том, что цепь с		максимальным
доходом существует, заметим, что если		цепь	не	явля
ется простой и,	следовательно, содержит	цикл,	то	этот
цикл не может	увеличивать доход из-за	условия,		нало

женного на потоковое отношение, и следовательно, его


можно удалить из цепи. При этом					доход останется						преж
ним или увеличится. Если вновь					полученная				цепь		опять
не является	простой,		то удалим		очередной			ц и к л и т , д.
до тех пор, пока не		получим		простую цепь.				Так		как чис
ло простых	цепей	конечно,		то	среди		них		существует
цепь с максимальным доходом.					Если		каждой			вершине
цепи, выходящей из		v0,	поставить		в	соответствие					макси
мальный доход g{vp),			то для	двух		вершин		vPl	и		^ . с в я

занных дугой, мы получим

0<\g(vP,)-g(vP2)\<k,

так как если абсолютная величина этой разности пре вышает к—1, то максимальный доход па одной из этих вершин мог бы быть найден как больший доход минус

потери,	равные	к— 1		вдоль	соединяющей		д у ш . Таким
образом,	значения g(vp)			по	mod к определяют			раскраску
вершин	в к цветов, так как значения g						для	смежных
вершин	отличаются		менее		чем на	k и,	следовательно,
не могут	дать	одно	и	то же целое		число	по	mod к. Ги

потеза о четырех красках может быть теперь сформули рована следующим образом: ребра плоского графа мож но ориентировать таким образом, что потоковое отноше

ние каждого цикла будет меньше	или равно 3.
Т р и в а л е н т и ы е к а р т ы .	О д н о р о д н ы е
к а р т ы с т е п е н и	т р и

Прежде чем показать возможность сведения задачи раскраски граней любой карты к задаче раскраски гра ней однородной карты степени 3, покажем, что вершины исходной карты, степень которых отличается от 3, могут

122 ПЛОСКИЕ И НЕПЛОСКИЕ ГРАФЫ [ГЛ. 4

быть сведены к вершинам степени 3. Это сведение вы

полняется заменой любой вершины	степени, не	равной
3, замкнутой многоугольной гранью	с числом	вершин,

равным числу ребер, инцидентных заменяемой вершиной. К а ж д а я новая вершина инцидентна одному из этих ре бер и, следовательно, имеет степень, равную 3. В ре зультате получаем однородную карту степени 3 (рис. 4.12).

Преобразование

ПредОризибание

f/реобризобаг/ие

берши-

вершены сгепени /

вершины степени2

стелет4

Рис. 4.12.

Р а с к р а с к а

исходной

карты

получается

после

раскраски

повои

стягиванием

каждой

повой

грани

н а з а д

ее

пер

воначальной вершине. Таким образом,

если четыре

цве

та

достаточны

для

раскраски

однородной карты

степени

то

они

т а к ж е

достаточны

для

раскраски

исходной

карты.

Будем говорить, что грани или ребра плоского

графа

раскрашены

правильно,

если

им

поставлены в

соответст

вие цвета таким образом, что нет двух смежных

граней

(или

ребер), имеющих один и тот

ж е цвет.

теорема, которая

основном

принадле

жит Тейту

и рассмотрена

в работах

[3] и [34],

связы

вает задачу о раскраске четырьмя цветами граней пло

ского однородного	графа степени 3 с задачей о раскра
ске его ребер тремя	цветами.

Теорема 4.25. Если G плоский однородный граф сте пени 3, являющийся 2-связным (т. е. графом без соч

ленений), то грани могут быть правильно					раскрашены
четырьмя цветами тогда и только тогда, когда ребра								G
могут быть правильно окрашены тремя цветами.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что					грани		гра
фа	правильно	раскрашены	четырьмя	цветами		а,	Ь,	с
и d.	Поставим	в соответствие	каждому	ребру	G	цвета		1,

2 пли 3 в зависимости от цветов граней, которые его ограничивают.

4.51

РАСКРАСКА ГРАНЕЙ II ВЕРШИН

123

Воспользуемся следующей таблицей:

	a	b	e	d
а	—	1	2	3
b	1 — 3			2
с	2		3	— 1
d	3	2		1 —

(Заметим, что предположение о том, что G не имеет сочленений, гарантирует нам, что каждое ребро на са мом деле граничит с двумя различными гранями.) Дв а смежных ребра никогда не могут оказаться окрашенны ми одним и тем ж е цветом, так как в этом случае име лись бы две смежные, одинаково окрашенные грани, что противоречит условию теоремы.


Предположим обратное,						что	ребра графа			правильно
раскрашены		цветами 1, 2 и 3.					Подграф,		определяемый
ребрами,	окрашенными				в цвета		1 и 2, является			однород
ным степени 2, следовательно, его грани могут											быть
раскрашены		двумя		цветами		а и Ь (почему?). Подобным
образом однородный граф степени 2, определенный											реб
рами, раскрашенными					цветами		1 и 3, может			быть	рас
крашен	двумя		цветами		cad.		После того как два по
следних	графа		совмещены, к а ж д а я					грань	исходного		гра
фа получила		в соответствие				одну из четырех пар цветов
ас, ad, be, bd. Если				к а ж д о й		паре		поставить		в соответ
ствие одни		определенный				цвет, то G окажется					пра
вильно	раскрашенным				четырьмя			цветами.		Теорема
доказана .
Теорема 4.25 вместе с теоремой								4.26	устанавливает
еще одно свойство				задачи		о раскрашивании				четырьмя

красками регулярного графа степени 3. Это свойство вы ражается в терминах чисел, поставленных в соответствие


вершинам		графа,	и	впервые		было подмечено Хивудом
[27] . (См. т а к ж е			[ 4	] , гл.	1 и	[ 3 ] , гл. 4.)
Теорема		4.26.	Пусть		G — плоский однородный		2-связ-
ный	граф степени		3. Тогда ребра G могут быть правиль
но	раскрашены		тремя		цветами тогда и только		тогда,

когда каждой вершине v может быть поставлен в со

ответствие коэффициент	k(v),	равный + 1 или — 1 , та
ким образом, что
2 / ф )	= 0	(mod3),

12-J П Л О С К И Е I I Н Е П Л О С К П Е Г Р А Ф Ы [ГЛ. 4

где суммирование осуществляется но вершинам, распо


ложенным на границе любой				грани G.
	С х е м а д о к а з а т е л ь с т в а .				Предположим,				что
ребра G правильно раскрашены цветами						1,	2	и 3.	При
пишем каждой		вершине	v	коэффициент		+ 1		или	— I ,
в	зависимости от того,		в каком		порядке	1,	2,	3 или 1,
3,	2 встречаются	цвета	ребер, инцидентных				V\	при	дви

жении вокруг v по часовой стрелке. Начнем теперь с любого ребра е п будем двигаться по ребрам, ограни

чивающим	некоторую	грань,	до тех пор, пока		снопа не
встретится	ребро с.	Будем	определять	цвет	каждого
последующего ребра с помощью цвета				предшествующе
го ребра и	коэффициента их		общей вершины. Д л я того

чтобы в конечном счете цвет, определенный для е, сов падал с ее исходным цветом, должно выполняться ус ловие сравнения по mod 3.

Предположим обратное, что каждой вершине постав лен в соответствие коэффициент таким образом, что ус ловие сравнения по mod 3 выполняется для любой грани. Назначим цвет 1 произвольному ребру, а оставшиеся ребра окрасим следующим образом: Пели неокрашенное

ребро е смежно с окрашенным	ребром /',	то назначим
ему цвет е, который соответствует	цвету / и	коэффициенту
их общей вершины, используя при	этом предложенное ра

нее условие движения по часовой стрелке. Условие срав нимости по mod 3 гарантирует правильность получаемой

при	этом раскраски,	так как оно позволяет раскраши
вать	ребра в любом	порядке без возникновения про

тиворечий в процессе раскраски. На этом набросок до

казательства	заканчивается .
Теоремы	4.25 и 4.26 могут быть т а к ж е рассмотрены

вдвойственных понятиях для плоских триангуляции

(триангуляционных г р а ф о в ) , т.	е. плоских графов, в	ко
торых к а ж д а я грань (включая	бесконечную грань)	ог

раничена точно тремя ребрами. Граф, двойственный три

ангуляционному графу	(плоской	триангуляции),		явля
ется 2-связным, плоским	и однородным степени		3;	верно
и обратное. Правильная	З-цветная	раскраска	ребер со

ответствует в терминах двойственного графа такой 3-цветной раскраске ребер плоской триангуляции, при которой три ребра, ограничивающие любую грань, будут иметь разные цвета.

•1.5]

РЛСКРЛСКЛ ГР.ЛНЕП И

ВЕРШИН

125

Упражнения

4.14.

Переформулируйте

условие

сравнения

по

mod

3 теореме

4.26

применительно

к плоским

триангуляниям

(триан

гуляционным

графам).

Теорема 4.27. (теорема

трех к р а с к а х ) . Грани

одно

родной карты степени 3 могут быть раскрашены

тремя

цветами тогда и только тогда, когда

к а ж д а я

грань

ог

раничена четным числом ребер.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Необходимость

доказывается

индукцией по числу

граней

с использованием

доказанно

го

в теореме 4.21 факта о

том, что

существует, по

край

ней мере, одна вершина степени не более чем 5. В двой ственном графе это означает, что существует, по крайней мере, одна грань, ограниченная самое большее пятью ребрами, так что существует грань, ограниченная точно двумя иличетырьмя ребрами. Пусть в случае двухреберной границы R\ и R2 будут грани, смежные с рас сматриваемой. Если мы удалим одно из двух ограни чивающих ребер, удалив тем самым рассматриваемую грань, и устраним вершины степени 2, заменяя их реб ра одним ребром, которое инцидентно смежным верши нам, то согласно индуктивному предположению (индук ция по числу граней) полученную карту можно окрасить тремя цветами. Введение отброшенной грани требует

третьего цвета, который не совпадает

ни с одним

цветом

граней

# i

пли

R2.

Случаи,

когда

некоторая

грань

ограничена четырьмя ребрами и смежна с гранями

R\,

R<>, /?3

и /?4,

требует удаления двух

противоположных

ребер,

а т а к ж е исключения четырех

вершин

степени

Предположим,

что удалены

ребра,

ограничивающие гра

ни R\

и /?з- Нетрудно показать, что

все

получившиеся

грани имеют четное число ребер и что полученная

карта

все еще является однородной степени

3 с числом

граней,

уменьшенным на два. Первоначально грань Ri

имела

четное число соседних граней, учитывая R. При рас

краске усеченного графа две грани,

соседние

R{,

ко

торые

являются

т а к ж е соседними

как

R*,

обязательно получат один цвет, так

как

граням,

сосед

ним с Ri, должно быть попеременно

назначено

два цве

та. R\

и R3

также

получают

один

цвет, так как

они

яв

ляются частью одной грани в приведенном графе. После возвращения двух удаленных ребер грань R может быть окрашена третьим, оставшимся цветом.

126

ПЛОСКИЕ II НЕПЛОСКНЕ ГРАФЫ

[ГЛ. 4

Чтобы доказать достаточность, предположим, что R ограничена нечетным числом ребер и, следовательно, она имеет нечетное число соседних граней. Соседние грани должн ы быть поочередно раскрашены двумя цветами, отличными от цвета, назначенного . /?, что невозможно.

Упражнение 4.15. Сформулировать предыдущую теорему для двойственного графа и доказать ее.

Х р о м а т и ч е с к и е п о л и н о м ы

Пусть Р„(К) — число способов, которыми карта с п гранями, покрывающая сферу, может быть раскрашена

при

числе

цветов, меньшим

или

равным

А. В

гипотезе

о четырех красках утверждается, что 4

не является

кор

нем

ни

одного

из уравнений

Рп(1)=0.

Д в е

раскраски

существенно отличаются друг от друга,

если

ни

одна из

них

не может быть получена из другой

перестановкой

цветов. Если пренебречь возможной перестановкой

цве

тов

и если

ш,- (т. е. 1, . . . .

« ) — ч и с л о

способов

раскра

ски

карты

точно

( цветами,

то

существует

mtX(X—1) . . .

. . .

( А — ( + 1)

способов раскраски

карты

I цветами из

набора

% цветов. Очевидно,

общее

число

способов

рас

краски

определяется

следующим

полиномом

п-й степе

ни,

называемым

хроматическим

полиномом:

Рп(Х)

=т1\+т2,к(к-1)+..

. + т Д ( л - 1 ) + . . .

" . . . + (К-п

+ 1).

Биркгоф

[ 4 ] ,

определив

значения ш,-, предложил

вы

ражение

для Р „ ( А ) В явном

виде

Л , (Я) =

1)4/,

к),

где

(i,

— число способов,

которыми

карта

«-граня

ми разбивается на подкарты с / гранями с помощью к простых или множественных соединений граней (т. е.

слиянием двух или большего числа

граней

при

удале

нии ребер) . Таким образом,

(i, k)=0

для

/ е > я — j ,

и по

определению, («,

0) = Г,

(i,

0 ) = 0

д л я

* ' < « .

При

этом

(i, п—i)

— ч и с л о

способов

получения

п—i

последователь

ных простых соединений граней. Таким образом,

полагая

и = 3 ,

мы получим (2, 1 ) = 3 ;

(1, 1) =

( 1 , 2 ) = 3

Р3(Х)

(3, 0 ) Л 3 - ( 2 , 1 ) Я 2

+ [ - ( 1 , 1)

( 1 , 2 ) ] Л =

= Л ( Я — 1 ) (Я—2).

			ГРАФЫ		И	ПОВЕРХНОСТИ				127
Упражнения
4.16. Нарисуйте			карту из пяти граней, образованную							кольцом из
трех граней, внутренней и внешней гранью. Показать, что
(4,1)	= 9 ,		(3,1)	= 2 2 ,		(3,2)		= 5 1 ,
(2,1)	=	14,	(2,2)	=	125,	(2,3)	=	150,
(1,1)	=	1,	(1,2)	= 4 5 ,		(1,3)	=	176,	(1,4) =	150.

Р5 (Х) = Х5 — 9 Х 4 + 2 9 Х 3 — 3 9 X 2 + I 8 X = X(X —

1) (X -

2) (X —

З ) 2 .

Б и р к г оф

[5] показал

также ,

что для карты на сфере

РпЩ>ЦК—

1) (л—2) (к—З)"-3

( п > 3 ,

пф4).

Это,

очевидно,

справедливо

для

Л = 1 ,

и для

А,>4

при

/г =

3, 4.

Карта

называется максимальной,

если каж

дая

ее

грань

соприкасается

(по

ребрам)

наибольшим

возможным числом граней, т. е. ие существует

другой

карты

с той

ж е

самой

смежностью

соответствующих

граней и дополнительной местной смежностью. Необ ходимые и достаточные условия, при которых карта с


числом граней / г ^ З будет			максимальной,				состоят в том,
что все	ее грани должны представлять собой простые
связные	области (т. е. гомеоморфны кругу), вершины
должн ы	иметь степень 3 и ни одна					пара	граней		не дол
ж н а касаться друг		друга	более		одного раза .			Количество
смежностей в такой карте			равно		Зп—6.
Карта	называется неприводимой,					если	все	ее	грани—
связные	области,	любые	две	смежные грани				образуют
простую	связную	область	и	любые		три	грани,		которые

попарно смежны, образуют простую связную область


вокруг вершины степени 3				[ 8 ] . Д л я		такой	карты
			П Р « , ( Ч
	Р " ^	=	?a-rP->-v ( > 1 _ i ) P + V ( ^ _ 2 ) V			( П 1	^
где	полиномы		Pni(K) относятся к		неприводимым			картам,
и их число		a + p + Y + l , а / г = Е « , — а — 2 р — 3 ^ .
	Полная	характеристика		Рп(Х)	для	различных		значе
ний	К приводится в работах			[8] и	[ 9 ] .

4.6. Графы и поверхности

Там, где строгие определения не могут существенно улучшить понимания изучаемого материала, часто из бегают строгого определения понятия поверхности, апел-

128

ПЛОСКИЕ И НЕПЛОСКИЕ ГРАФЫ

[ГЛ. 4

л и р уя к интуиции читателя. Такой же точки зрения мы будем в общем придерживаться и здесь, но для лю бознательных читателей мы все ж е приведем некоторые определения, которые требуют знакомства с понятиями из топологии, предмета, дающего основу для понимания многих новых математических понятий.

Взаимно		однозначное преобразование, которое			вме
сте	со своим	обратным	является	непрерывным, называ
ется	гомеоморфизмом.		Примером	гомеоморфизма	я в л я :

ется непрерывная деформация пирамиды в сферу и на оборот. Заметим, что отношение гомеоморфности между сферой и тором установить невозможно, так как по

следний	имеет	отверстие, n-мерное топологическое	мно
гообразие	или	просто «-многообразие есть связное	ло

кально компактное топологическое пространство со счет

ной базой, к а ж д а я точка	которого	имеет окрестность,
гомеоморфную «-мерному	евклидову	пространству [ 1 ] L

Если многообразие компактно, то оно называется замкнутым. Например, «-мерная сфера. В противном случае оно незамкнутое. Замкнутое двухмерное много образие, гомеоморфпое многограннику, называется замк нутой поверхностью. Известно, что каждое замкнутое двумерное многообразие гомеоморфно некоторому мно гограннику. Примером замкнутой поверхности является двумерная сфера. Плоскость является незамкнутой по верхностью.

Геометрический

п-мерный

симплекс

о"(«>>0)

есть

множество

точек Х=

{.v,} ( / = 1 ,

« ) ,

определенных

помощью

/1 +

1 линейных

независимых

точек

Р0,

•••

Р„ следующим

образом: .v,- =

V а/р,-/,

где

а,

----- 1,

и рц

i-я

/=о

,=о

0 < а , < 1 ,

/ = 0 ,

. . .,

есть

координата

г = 1 , . . .

• • •. n)Pi

(/ = 0,

. . . , « ) .

«-симплекс

замкнут,

если

выпол

няется условие

О ^ а ^

I , / = 0 ,

. . . ,

«.

Геометрический

симплицпальный

комплекс

есть

конечное

множество

непересекающихся

симплексов,

« =

р, в

«-мерном

евклидовом

пространстве

та

ких, что если симплекс принадлежит комплексу, то ему принадлежат и все его грани и два различных симп лекса не могут иметь полностью совпадающих граней. Размерность комплекса есть р. Многогранник есть то чечное множество, объединяющее все симплексы коми-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202318.51 Mб39Барташев Л.В. Технико-экономические расчеты при проектировании и производстве машин.pdf
#
24.10.20239.52 Mб51Бартенев Г.М. Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла.pdf
#
29.10.20234.6 Mб15Бартль С. Атом в Арктике.pdf
#
19.10.20232.01 Mб17Бархатный, В. Д. Выбор участков и способов организации работы локомотивных бригад.pdf
#
19.10.20236.31 Mб19Барыкин, К. К. h = 533. (О московской телебашне).pdf
#
25.10.202312.41 Mб74Басакер Р. Конечные графы и сети.pdf
#
29.10.20234.3 Mб21Басалов Ф.А. Некоторые вопросы техники сверхвысоких частот [конспект лекций].pdf
#
19.10.20237 Mб24Басевич, В. В. Корабли не умирают.pdf
#
19.10.20233.4 Mб23Басистов, М. А. Взрывные работы при сооружении земляного полотна железных дорог.pdf
#
22.10.202313 Mб17Баскаков, А. П. Нагрев и охлаждение металлов в кипящем слое.pdf
#
19.10.20232.92 Mб38Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf