книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

4.31

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ ГРАФ

ю э

Упражнение 4.7.

Решить следующую задачу с помощью

теории

графов. Том, Дик и

Гарри женаты на Д ж е й н , Мэри п Сьюзен

не обя­

зательно

в указанном

порядке. К а ж д а я

пара

имеет

по

одному

ребенку.

Имена

детей

Эмилия,

Алан

и Майкл. Определить состав каждой семьи, исполь­

зуя

следующую

информацию:

(1)

дети

Мэри

и Г а р р и — д в е звезды

в

школьной

футбольной

ко­

манде,

(2)

Алан

не

является

сыном

Тома,

(3)

Сьюзен не является женой Дика.

К р а т к о е у к а з и и и е. В

полученном

графе

будет девять

вершин,

сгруппированных

по

три.

Член каждой группы связан точно с одним

членом

каждой другой. Рассмотрите дополнительный граф,

не

учитывая

ребер,

соединяющих

вершимы

одной

Рис. 4.9.

и той ж е

группы.

П р е ж д е

чем

предложить

вниманию читателя

инте­

ресную

теорему

о

дополнительных

графах,

рассмотрим

формулу

Эйлера

п—т-\-г = 2

и всегда

выполняемые

соотношения

3«sC2m,

/ г > 4

здесь),

3/-г^2ш,

л ^ 4 .

пли г ^ 2 / 2 — 4 . Подставляя

в формулу

Эйлера

и про­

изводя упрощения, получим

неравенство

т^Зп—6,

ко­

вательно, граф неплоский,

если ш > 3 « — 6 .

Теорема 4.16. Если G— граф

с

п

вершинами

и G'

—

его

дополнительный

граф,

то: (1)

при / г < 8 ,

по

крайней

мере, один из них плоский, (2)

при

« > 8 ,

по

крайней

мере, один из них неплоский, и

(3)

при

/ г = 8

первый

или

второй

или

сразу оба могут

быть

как плоскими,

так

п

неплоскимн.

Д о 1С а з а т е л ь с т в о.

Заметим,

что

для

случая

л > 1 1

имеем

in-\-m = n(n—1)/2,

где

т. — число

ребер

в

G'.

Если ih^m,

то

т.^п(п—1)/4,

иначе

пг^п(п.—1)/4.

В любом случае для п—\

мы имеем //(//—1)/4 =

27,5 и

Зд — 6 =

27,

откуда

следует,

что

///. или

т больше, чем

3/1—6,

и теорема доказана . Д л я

/ г > 1 1

можно

провести

аналогичное

доказательство.

Доказательство

для случаев

9 и 10

здесь

не

приво­

один

из

двух

подграфов

Понтрягниа — Куратовского.

Отсюда

т а к ж е

следует,

что

графу

с / / = 1 0

вершинами

п

3//—6

ребрами

соответствует иеплоскпй

дополнитель­

ный

граф,

так

как

если

мы

удалим

некоторую вершину

вместе

с

инцидентными

e'i'i

ребрами,

то

получим

пло­

ский

граф

с

девятью

вершинами, дополнительный

граф

которого

в

соответствии

со

сказанным

является

ие-

плоскнм

и

содержится

в

дополнительном

графе

рас­

сматриваемого

графа

с / / = 1 0

вершинами.

П р е ж д е

чем

переходить

к

случаю

// =

8,

рассмотрим

граф

для

задачи

с

четырьмя

пунктами

обслуживания

и

четырьмя

домами .

Этот

граф

является неплоскп.м,

типа

с

двумя

изолированными

вершинами. Он

содер­

жит

9

ребер,

а его дополнение

— 19 ребер, что

превы­

шины

внешнего

квадрата числами

5,

6,

7,

8

так,

чтобы

вершина

5 являлась

ближайшей к

/,

6 — к

2,

7—к

3,

а 8 -

к 4.

Пары

вершин д о л ж н ы быть связаны

прямыми

ребрами

(/,

2),

(/,

4),

(/,

5),

(J,

6),

(2,

3),

(2,

4),

(2,

6),

(3,

4),

(3,

6),

(3,

7),

(3,

8),

(4,

5),

(4,

8),

(5,

6),

(5,

8),

(6,

7),

(7,

8)

и внешним

ребром

(6,

8).

Получен­

дополнительный

граф т а к ж е является плоским.

Случай / г < 8

представляется читателю в качестве

если

изолировать

вершину

графа, то его дополнение

будет содержать большее число ребер.

Теорема

4.17.

Если k

и

k'

— хроматические

числа

графа

Gen

вершинами

и

его

дополнительного

графа

4.3)

\

111

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ

ГРАФ

G'

соответственно, то

.

2 Уп < к + к' < п

1, п <

/г/г' С р - тг^ -

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

п, — число

вершин

гра­

фа

G, которые

будут окрашены

/-м цветом. Тогда

к

2j iii — /г и max пс —г-.

i=I

i

к

Д в е вершины

одного цвета

в G

связаны

ребром

в G'

что

она справедлива для п

вершин. Включим

вершину

v в

полный граф, получаемый

объединением

G

и

G'.

Так как v связана с п другими

вершинами,

то

пусть

т

из

них, которые включены

в

G, образуют

граф

Н

(с

хроматическим числом

h),

а

п—т,

которые

включены

в G', образуют граф Н'

(с

хроматическим числом

ft')-

Очевидно, что для раскраски

Н

и Н'

мы можем

исполь­

цветов,

использованных в G

и G'.

Таким

образом,

А ' < * ' + 1 и А + й ' < л + 3 .

Если

действительно h=k-\-l,

h'—k'+l

и

вершина и

матическое

число Н

уменьшится. В этом случае m^zk

и п—tn^k',

откуда

k-j-k'^n

и

снова

h-\-h' ^.п-\-2.

Таким

образом,

индуктивная

часть

доказательства

закончена.

Н а конец, пз

(/?+/?')2 2г4/о— 1 и

пз

г ^ я - Н ,

оче­

видно, следует,

что

Теорема доказана .

4.4. Р а с к р а с к а ребер

графа

Рассмотрим полный граф с п

вершинами

(который,,

очевидно, неплоский при » ^ 5 ) и

предположим, что

не­

которые его ребра окрашиваются

в

красный

цвет, а

ос­

предложенное Саувом [40] .

Теорема

4.18. Пусть

в полном

графе с п

вершинами

b — число

треугольников

с тремя

голубыми

сторонами,

а г — соответствующее

число треугольников

с красны­

ников ( & + ' ' )

удовлетворяет

неравенству

[s(s—

U ( s — 2 )

. если

n =

„

1 v

3

J

2s,

b + г

>

2s

(s -

1)(4s +

1)

' если

n =

4s

-r

1,

3

2s

(s +

1)(4s +

О

если

n =

4s

- I -

3,

t

3

где s —

н е о т р

и ц а т е л ь н о е

целое

число.

Граница

является

точной,

т. е.

равенство

выполняется

д л я к а ж д о г о

п п

некоторого (красно-голубого)

раскрашивания .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Припишем

каждой

паре

ре­

вершине. В общем

случае, к а ж д а я

пара

ребер

принад­

лежит

к единственному треугольнику и,

следовательно,

сумма

весов всех

треугольников

w равняется

сумме

114

П Л О С К И Е И Н Е П Л О С К И Е Г Р А Ф Ы

[гл. 4

которых четна, и в голубоГг цвет, если

эта

сумма

не­

четна.

Вершины, имеющие четные индексы,

соединяют­

ся красными ребрами, совокупность которых

называется

красной сетью. Вершины с нечетными индексами

(пре­

вышающими четные на единицу, если п

нечетно)

т а к ж е

соединятся попарно красными ребрами

и т а к ж е

обра­

зуют

красную сеть. К а ж д ы й

треугольник

должен

содер­

жать,

по крайней мере, одно

ребро, принадлежащее

од­

окрашены в голубой цвет.

При /; =

2s к а ж д а я

из

двух

красных сетей имеет s вершин и,

следовательно,

Cl

красных

треугольников,

а

всего

в

графе

оказывается

2Cj

красных

треугольников.

Покажите,

что

при

n = 2 s + l

существует

Cl-\-C3s+i

красных треугольников. Доказательство этого

равенства

при нечетном п дано в работе

[40] .

с п

Теорема

4.19.

В любом

полном

графе

вершинами

Ь -!-r = Cl - Аг 2

/ , ( л _ 1 - / , - ) ,

где

/<— число

вершин, с каждой

из

которых

i'-я

верши­

на связана

красными

ребрами

[32] .

инцидентны I ,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Вершине

и,-

красных ребер и п—1—/,•

голубых

ребер.

Следовательно,

существует /,(« — 1 — /,)

пар

разноцветных

ребер,

причем

к а ж д а я

пара

образует

две

стороны

разноцветного

тре­

угольника.

Так как

третье

ребро

треугольника

либо

красное,

либо

голубое,

то

две

оставшиеся

вершины

бу­

разноцветных

треугольников

равно

4 v /, ( П

-

1 - Л).

1=1

Общее число

треугольников

С?,

равно

сумме чис­

ла одноцветных

треугольников

b-j-r и

числа

разноцвет­

ных треугольников. Таким образом, теорема

доказана .

Аналогичные

задачи могут

возникнуть при

раскраске

4.5. Р а с к р а с к а граней

и вершин. З а д а ч а

о четырех

красках

З а д а ч а о

четырех красках

состоит в

доказательстве

возможности

раскраски любого плоского

графа в четы­

еся в

вершинах,

не считаются

смежными.) Необходи-

т

1

Т

^ \

Рис

4.10.

Рис.

4.11.

мость четырех

цветов

иллюстрируется

рис. 4.10. Гипо­

Мёбиуса

в

1840

г. и стала

хорошо

известной

бла­

годаря

Д е

Моргану,

который

получил

ее

через

Ф.

Гутри

(Franci

Gulrie)

приблизительно

в 1850 г.

В

1878

г. Келей

отмечал,

что

ему

не

удалось

получить

строгого

доказательства

гипотезы. В 1890 г. Хнвуд оп­

роверг ошибочное

доказательство,

предложенное

Кемпе

(1879),

и

доказал

достаточность пяти

цветов.

Прекрас ­

Упражнение

4.8. Раскрасить

четырьмя

цветами

карту,

приве­

денную на рис.

4.11.

k,

3 а м е ч а и и е. Если

степень

каждой вершины графа

не

более

то интуитивно

понятно,

что такой граф

может

быть

раскрашен

(&-f-I) цветом,

так как ни одна

вершина не

связана более

чем с

к

граней, смежных

с заданной,

оказывается равным

6—12/"+1 при

общем числе

смежных граней я + 1

ло граней, смежных с любой

гранью,

в произвольной

карте меньше, чем 6. Заметим,

что мы

говорим о сред­

число

ребер,

ограничивающих

грани

карты,

меньше

шести.

Используем

формулу

Эйлера,

в

которой

не

учте­

на внешняя

грань, т. е. п—//г+г=1

п отношение

3 / г ^ 2 ш .

Отсюда следует, что т^Зг—3.

Если

грани

нумеруются

индексами

/ = 1 ,

/'

и если

число

ребер

1-й

грани

обозначить

через

е„ то

V

а <

2т

^ 6г -

6,

i=i

так как не все ребра принадлежат двум

граням,

а

толь­

ко некоторые.

Следовательно,

1

г

б

т 2 е ' < е - т < 6 -

Отсюда получаем, что существует, по

крайней

мере,

одна вершина со степенью 5 или меньше.

Другое доказательство справедливости этого факта

содержится

в доказательстве

теоремы

4.21.

Т е о р е м а о д о с т а т о ч н о с т и п я т и

к р а с о к

и д р у г и е

т е о р е м ы

Рассмотрим теоремы, частично иллюстрирующие, как

далеко

удалось

продвинуться

в

доказательстве

гипоте­

зы о четырех

красках.

Теорема

4.21. Д л я

раскраски

граней

плоской

карты

достаточно

пяти

цветов.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Д о к а ж е м

теорему

по

индукции

на двойственном

графе,

т. е.

будем

раскрашивать

вер­

ли это не так, то, используя соотношение

между

числом

граней и

ребер Злг^2п и 6п^.2т

(т.

е. предполагая

обратное,

что к а ж д а я вершина имеет, по

крайней

мере,

vu . . . ,

t'5 смежны

с v (пусть

они упорядочены

в

на­

правлении движения часовой стрелки) .

Предположим, что при раскрашивании графа без v

(когда

v удалена

вместе

с

инцидентными

ребрами)

каждой из этих вершин поставлен в соответствие

своп

цвет

(в

противном случае один из оставшихся

цветов

может

быть поставлен в соответствие v

и теорема

дока­

з а н а ) . Пусть соответствующими

цветами

будут

с ь

. . . , с5 .

П о к а ж е м

теперь, что можно

перераспределить

цвета

так,

вершин, с

которыми

она

смежна,

т.

е.,

по

крайней

мере, двум

из вершин

с ь

. . . , v5

будет

приписан

один

и тот ж е цвет. Рассмотрим подграф, вершины

которого

окрашены

цветами

С\

и

с 3

(цвета

соответствуют верши­

нам с'|

и

~о3). Если

c'i

и

1'з

не

соединены

(т. е. не

суще­

ствует

пути

между

ними) в этом

подграфе,

то

вершины,

входящие

в

компоненту,

которая

содержит

vlt

окрашен­

ные в

с ь

могут быть перекрашены в с3,

а вершины

этой

ж е компоненты, окрашенные в с3 , могут быть

перекра­

шены в С\. Таким образом, V\ и v3

получают цвет с 3 и v

может

быть

окрашена

в с,. Если

же

v{

и

t'3 связаны

в

подграфе,

содержащем

цвета

С\

и с3 ,

то,

например,

v2

рашенных

в

с2

и с4 . В противном

случае связывающий

их

путь должен

пересекать путь,

связывающий v{ и

v3,

и

вершине,

в

которой эти пути пересекаются,-будет

на­

может

быть

перекрашен

описанным выше способом.

При этом v2

и и4 получат

одинаковый цвет. Освободив­

шийся

цвет ставится затем

в соответствие v.