книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

4.2]

ПЛОСКИЕ

ГРАФЫ

9Э

и

охватывающий большее число

граней.

То

ж е

самое

справедливо и дляполуцпкла S[b,

а]. Однако внешний

граф должен содержать одну или две точки, общие с S,

так как в

противном случае

граф

G был

бы

несвязен.

С

другой

стороны, существует,

по

крайней

мере,

одни

подграф Е внешнего графа, каждый

из

которых

пере­

секает

как S]a,

b[,

так и

S]b,

а[.

(Здесь

S]a,

b[

обо­

значает

граф,

получаемый

из

S[a,

b]

удалением

вер­

шин а

и Ь.) Чтобы

убедиться

в этом,

заметим,

что G'

сделать

его

неплоским.

Но чтобы G

был

неплоскпм,

[а,

Ь]

должно

пересекать

либо подграф,

состоящий

из

S]a,

b[,

S]b,

а[

и внутреннего графа,

либо

подграф,

со­

стоящий из S]a,

b[,

S]b,

а[

и внешнего

графа.

П о к а ж е м

теперь,

что

5

содержит

четыре

вершины,

ний) с /

и Е

и

расположены

на S в чередующемся по­

рядке.

Чтобы

доказать

это,

предположим

обратное,

п пусть £] и

/ i — две

последовательные точки

пересече­

ния связного

подграфа

/ ]

внутреннего

графа,

который

пересекается

S]a, b[

и

S]b,

а[.

Эти

две точки

могут

быть соединены

путем

Р,

проходящим

снаружи

S

и не-

жению

не

существует

связного

подграфа

Е

внешнего

графа,

который

пересекает

как

с

S]a,

b[

и S]b,

а[,

так и S]e,

f[

и S]f,

е[.

К а ж д ы й

связный

подграф

внут­

реннего

графа,

включая

1\,

который

пересекается

только

с S]/ s ei [,

можно перевести

во внешний

граф

на

грань,

ограниченную Р и S. Но при этом обязательно

останет­

ся, по крайней мере, один связный

подграф / 2

внутрен­

него графа,

который

пересекается

с

S]a,

i [

и

S]b,

а[

и содержит две точки пересечения

е2

и / о ,

принадлежа ­

щие S f e i f i ] ,

из

которых,

по

крайней

мере,

одна

принад­

лежит S]ejfi[ . Мы можем теперь заменить 1\

на

] 2 и

продолжить

процесс

переноса.

Так

как

граф

конечен,

то весь

внутренний

граф

может

быть перенесен

во внеш­

1 0 0

П Л О С К И Е Н Н Е П Л О С К П Е Г Р А Ф Ы

[гл. -1

Hi S]b,

а[ н, кроме того, пересекают S в чередующихся

между

coooii

точках

с, d (в Е)

п <?, / (в / ) .

Случай,

когда

внешняя

и

внутренняя компоненты

•имеют

общие точки пересечения с S или совпадают с и

•или Ь,

исключается

введением

дополнительных

точек,

можные случаи могут быть •исчерпаны при

рассмотрении

четырех

точек на

внутренней

компоненте.

Предполо­

жим, что е, /, g, h

— точки

пересечения /

с 5

такие,

что

eei'Jc,

d[; f«=S]d,

cf; « e S

] a ,

b[\ ht=S]b,

a[

(рис.

4 . 6 ) .

Рис. -1.6.

Очевидно

e

не может совпасть с /, a g с

h.

Но

может

случиться,

что

e =

g

и

e = li и т. д. Рассмотрим

все

эти

случаи.

<?<=S]u, а[; fe=S]a,

b[;

e =

h

f=g.

1.

Пусть

и

Эго

приводит

к

графу

2-го

типа,

который

противоречит

ги­

потезе.

в

S]a,

b[

h —

c (если

2.

Пусть

и

/

принадлежат

и

1гфс,

то /i<=S]b, а[,

и

мы получаем

граф

2-го типа.

3.

Если

е=а

и \фЬ,

то, предположив,

например,

что

f^S]b,

а[,

мы получим граф 2-го типа.

4 .

Если

е—а

и

\=ЬУ

то

мы

можем

положить

g=d

и h —

c; если

это

не так, то

получаем

либо случай 1 ,

J .2]

ПЛОСКИЕ ГРАФЫ

101

общей

вершины.

В

этой

ситуации

мы

получаем

граф

2-го типа.

(в)

Цепи /, соединяющие cd

и ef,

имеют

только

одну

общую

вершину.

Д а н н а я

ситуация

приводит к

графу

1-го типа.

(АЬ)

Как

показано

па

рис. 4.6,

случай

приводит

к

графу 1-го типа,

а все остальные случаи — к графу 2-го

типа. Таким образом, мы в любом случае получаем

про­

тиворечие, т. е.

приходим к иеплоскому графу, и тео­

рема доказана .

(Заметим,

что

на

рис.

4.6

кружками

и

графы

Понтрягипа — Куратовского. Вершины b u d на

рис. 4.6

(2) и (3) соответственно должны рассматривать ­

условие, при котором

граф

является

плоским, состоит

в том, что граф должен содержать базис

цикла

(см.

матричное

представление

графов) и

один

дополнитель­

ный цикл

такой,

чтобы

эта

совокупность

циклов

ровно

д в а ж д ы содержала каждое ребро графа.

Теорема 4.7.

(Унтни).

Необходимое

и

достаточное

том, чтобы

он

имел двойственный

граф (см.

ниже) .

Д в о й с т в е н н ы й г р а ф

Рассмотрим

плоский

граф G с

гранями

Rt(i

=

1,

. . . , л ) . Поставим в соответствие

каждой

грани

Rt

точ­

ку р{

(т. е. возьмем точку на

грани) . Если

две

грани

Rt

и Rj смежные, то соединим р, и ps

ребром

/?,•#,-,

которое

пересекает

одни

раз общую

границу граней Rt

и Rj

и

не

имеет общих точек ни с какой другой границей

графа.

Ребро

графа

G,

которое

не

является его

границей,

на­

ходится внутри грани и образует петлю. Такой

процесс

построения дает новый граф G с вершинами р\,

. . ,,

рп,

который называется двойственным

графом

для

G.

102

ПЛОСКИЕ I I НЕПЛОСКИЕ ГРАФЫ

[ГЛ. 4

Определение.

Граф

называется

тривалентным или ку­

бическим, если

он является

однородным графом

степе­

ни 3.

Теорема 4.8.

Все

грани

графа,

двойственного

пло­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Нетрудно видеть,

что каждой

вершине исходного графа соответствует

треугольная

графа

имеем

3 r = 2 m , что после подстановки в формулу

Эйлера

дает

г=2(п—2).

101

ПЛОСКИЕ I I НЕПЛОСКПЕ

ГРАФЫ

[ГЛ. 4

Лемма

4.11.

Если

граф

G

изоморфен

прямолинейно­

му

графу, то

к а ж д ы й

из

его

подграфов

т а к ж е

изомор­

фен

прямолинейному

графу.

G

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

изоморфен

прямоли­

нейному

графу

G,

а

подграф

G

получается

удалением

вершин

и дуг,

не

входящих в

этот

подграф,

то

соответ­

ствующая операция в G дает прямолинейный

подграф,

изоморфный рассматриваемому

подграфу

в

G. (Здесь

G не есть граф, двойственный

G.)

Лемма

4.12.

К а ж д ы й обыкновенный плоский

граф G

самым числом

вершин.

G

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим,

что

содер­

жит,

по

крайней

мере,

четыре

вершины.

(Случай

трех

пли

большего

числа

вершин

оставляем

д л я

упражне ­

ния.) Построим плоскую триангуляцию G', которая со­

держит

G в качестве подграфа. Если

R—

грань

G,

a v{

и v2— две вершины R,

не связанные

ребром,

то

соеди­

ним v{ и v2 ребром, целиком

л е ж а щ и м

в

R.

Получаем

новый

граф,

который

опять

является

обыкновенным.

П р о д о л ж и м

такой

процесс соединения

несвязных

пар

вершин

па

грани,

пока

к а ж д а я

пара

вершин

не

будет

связана ребром. После окончания процесса

получим

обыкновенный граф G' с тем ж е самым числом

вершин.

Очевидно, G' связей, ибо в противном

случае

сущест­

вует грань R, смежная с двумя компонентами G, для

которой

можно выбрать

их внутри

одной

из

компонент,

a v2

внутри

другой и

соединить

их

ребром

в R, что

про­

тиворечит

построению

G'. П о к а ж е м ,

что

G'

— плоская

состоит из этого ребра и двух

его вершин. Грань не

может

быть ограничена двумя

ребрами, так так

тогда

граф

содержал бы только три

вершины. Оба

случая

вершинах. Таким образом, граница каждой

грани

R'

состоит, по крайней мере, из трех

ребер еи

е2,

е3 .

Если

они не образуют цикла, то существует, по крайней

мере,

четыре вершины vu v2,

i>3, п., на

границе R'.

Теперь

G'

содержит ребра, связывающие эти вершины,

т. е.

v\V2,

U|U3 , Dii>4,

v2v3, v2vA,v3u^

(рис. 4.8),

и

делящие

плоскость

на четыре

грани, граница каждой

из

которых

включает

только

три вершины. Но это есть

дальнейшее

разбиение

R', которая сама является гранью G'. Получили проти­

воречие. Таким

образом, еи

е2,

еъ

образуют

цикл и каж ­

дая

грань

G'

ограни­

чена

циклом

из

трех

ребер.

Следующие две лем­

мы

необходимы

для

доказательства

леммы

4.15.

Лемма

4.13.

G —

v4

обыкновенный

граф,

являющийся

плоской

триангуляцией

и содержащий,

по крайней

мере,

четыре

вершины. Если

vvu

vv2,

. . . . vuh

— ребра,

выходящие

из

v и

расположенные

в

циклическом

порядке

( т . - е . по

направлению

движения

часовой

стрелки), то ребра С „ =

= (V\V2, v2v3, ...,

vhV\)

принадлежа т

G и образуют,

цикл,

отделяющий

v от других

вершин

G.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

доказать

лемму в

предположении,

что v

не лежит

на границе

бесконечной

грани,

содержащей

требуемую

точку

в

бесконечности,

так как с помощью сферической

проекции

можно

сде­

лать

так, чтобы

v л е ж а л а на границе

внутренней

грани.

Так

как граф есть

плоская

триангуляция,

то v должна

л е ж а т ь

внутри

некоторых

циклов,

и

следовательно,

су­

ществует внутренний mnuiCi с вершинами!*', vl,...

,

v]n'

который

включает

v. К а ж д а я

последовательная

пара

вершин

и,-, vi+\

лежит

на

границе

треугольной

грани,

утверждаем,

что

v'—v

в противном

случае

цикл

[v\ v2, v2v3,..

., Vi v',v'viJLi,..

., v,„ V\) содержит внутри

себя

v и лежит внутри

С„, что противоречит

сказанному вы­

ше. Следовательно,

треугольные грани,

смежные

с Cv,

венным

графом, то Си

должен

совпадать с С„ и

лемма

доказана .

Если v в лемме 4.13

(предполагается, что она

лежит

на внутренней грани R)

и связанные с ней ребра

уда­

ляются, то образуется пустая область

внутри С„, и если

затем vi

соединить с v3,

. . . ,

не

пересекающимися

106

ПЛОСКИЕ I I ИЁПЛОСКИЕ

ГРАФЫ

[ГЛ. 4

друг с другом

ребрами,

л е ж а щ и м и

внутри

С,., то

полу­

чившийся в результате

граф G может и не

быть

обык­

верждение.

_

Лемма

4.14. Если граф G не является

обыкновенным,

то G содержит цикл их трех ребер, который

разделяет

две вершины.

G может быть

Д о к а з а т е л ь с т в о .

обыкновенным

только в том случае, если v{

связана

с

некоторой

вер­

шиной Vj ( 3 ^ i ' ^ ^ — 1 ) новым ребром

и ребром,

нахо­

дящимся

снаружи Сг . Цикл

(~0\~о, vv{,

о.-и,)

в графе

G

с ребром v{Vi, находящимся

снаружи

Ст

разделяет

v2

и

vk. Л е м м а

доказана .

Лемма

4.15. К а ж д а я

плоская триангуляция

обык­

новенно плоского графа

изоморфна

прямолинейному

графу.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Очевидно,

лемма

верна

для

для графов с п вершинами,

и пусть G будет графом с

/1-Н вершинами. Построим

G,

как описывалось

выше,

при условии, что

вершина

v

графа

G

находится

ш

границе

внутренней

грани

R.

Бесконечная

грань

огра­

ничена

той же

самой

границей

в графе

G, что и з

графе G. _

Если

G — обыкновенный

граф,

то по

индуктивному

предположению существует прямолинейный граф S,

изоморфный G. Теперь нужно доказать,

что вершина

I ,

соответствующая

v,

может

быть выбрана

таким

обра­

зом, чтобы ее можно

было

связать отрезками

прямы*

с требуемыми вершинами, не пересекая

при этом

другие

отрлядад.

Рзлгтотртгм

Ц Т Г А Л

C = \ » i ,

v2,

vi^\)

граф|

S, соответствующий

С„ в лемме

4.13, где vt

в S

соответ

ствует и,- в G. Прямые линии vtvi+\

(2=£С/=^к—1)

не пре­

ходят через v\, иначе

v\vt и v\vi+\

имели

бы общий от­

полуплоскостей, образуемых прямой vtvi+\

(2^i^.k—\\

и пересечение этих полуплоскостей образует

выпуклун

грань с внутренними точками. Рассмотрим общую

част;

k этой

грани и внутренней области С„. Отрезок,

соедп

няющий

произвольную точку к с граничной

вершимо!

из S, то

внутренняя

область

С

оказалась бы

пустой.

Выбирая

точку v внутри /г и

проводя отрезки vvx,

vvi,.. .

vv,„ мы получим граф, изоморфный G. Если G не

обыкновенный, то по

лемме 4.14

в G существует

цикл А

предположению они изоморфны

прямолинейным

графам

S\ и So

соответственно. В графе S\

внутренняя

область

цикла

A i , соответствующая

А,

оказывается

пустой.

вания

Дг

можно отобразить на Д] так, чтобы

смежные

грани в G отображались иа смежные грани. В резуль­

тате

получим прямолинейный

граф, изоморфный G.

Теорема

4.10

доказана .

М н о г о г р а н н ы е г р а ф ы

Читатель,

незнакомый с терминологией следующих

двух

параграфов, может пропустить их, не теряя нити

изложения.

Граф

называется многогранным,

если его

вершины

стве.

При

этом

многогранник

называется

реализацией

графа .

Будем говорить,

что граф является

«-многогран­

ным,

если он соответствует «-мерному

многограннику.

Таким

образом,

граф

является

1-многогранным

тогда

и только

тогда,

когда

он оказывается

полным

графом

когда он

представляет собой цикл; 3-многогранным тог­

да и только тогда, когда

он представляет собой 3-связ-

ный граф

(утверждение не столь очевидно, как преды­

д у щ и е ) .

Известно также,

что каждый А-многогранный

изоморфен с

точностью до вершин степени 2 полному

графу с Л + 1

вершинами (т. е. графу,

который получа­

ется введением дополнительных вершин

на ребрах этого

крайней

мере,

с /г = 4 [25] .

Полный граф с п вершинами является

(п—^-много­

гранным,

н соответствующий многогранник

называется

симплексом.

полный граф с п

Интересно,

что

каждый

вершинами

( п ^ 5 )

может

быть представлен

4-мпогограппым.

Од­

нако

до

сих пор

не решены вопросы о том,

существует

ли для любого графа множество последовательных

це­

лых

чисел

/г,

при

которых

граф

является /г-миогограп-

ным,

или

можно

ли объединить

любые две

реализации

быть

получены

из

соответствующих

им многогранников

с помощью: (1)

двойственного многогранника, в

котором

роли

граней

изменены, т. е. /г-мерпой

грани

многогран­

ника

ставится

в соответствие

(п — 1)-мерная

грань двой­

ственного ему

многогранника,

причем

соответствующие

соотношения

инцидентности сохраняются, (2) разреза­

ния

/е-мериой

грани «-многогранника

новой,

близкой к

ней (п—1)-мерной

гранью, (3) объединения двух «.-мно­

гогранников

по

общей грани,

(4)

образования

выпук­

лой

оболочки

двух

многогранников,

имеющих

возмож­

размерность

п и //?; например, образования призм. По­

лученный

многогранник

является

(п-{-т) -мерным.