Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Басакер Р. Конечные графы и сети

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3810 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Л П Т Е Р Л Т У Р Л

являются минимальными, следует, что расстояния, опре деленные на любом (к-\-\)-м шаге, т а к ж е являются ми нимальными. Утолщенные дуги (снова изображенные без

стрелок)

и числа на рис. 3.35 показывают А(х)

D{x)

для первых трех шагов процедуры.

Упражнение

3.31. Найти

А(х)

и D(x)

для

вершин, соответству

ющих

шагам 4-f-6

рис. 3.35.

частности,

найти

кратчайший

путь

ОТ

B K i l l ,

Л И Т Е Р А Т У Р А

.'1. B e l l m a n

R. Е.,

D r e y f u s

S. Е., Applied Dynamic

Program

ming. Princeton University Press, Princeton, N. J . , 1962.

[Русск.

перев.:

Б е л л м а й

Р.,

Д р е й ф у с

С ,

Прикладные

задачи

динамического

программирования, «Наука»,

1965.]

С a m i о п

P.,

Chemins et

circuits hamilloniens des graphes com-

plets. Compt.

Rend.,

249

2151—2152

(1959).

D a n z i g

G.,

F u 1 к e г s о n

D.,

J o n s o n

S.,

Solution

of a

Large-scale Traveling Salesman

Problem,

Operations

Res.,

393—410

(1954).

Eureka,

October, 1961.

5. F o r d

L . R., Jr., NetworK Flow Theory. The

R A N D Corp.,

P-923,

August,

1956.

F o r d

L. R.,

Jr., F u l k e r s o n

R.,

Simple

Algorithm

for

Finding Maximal Network Flows and an Application to the Hit

chcock

Problem. The

RAND

Corp., RM-I604,

December,

1955.

G o n z a l e z

R., Solution

of the Traveling Salesman Problem

Dynamic

Programming on the

Hypercube

MI T

Operations Res.

Cir. Interim Tech. Rept 18,

1962.

11 e r z

.1. C ,

G a u d

i n

Т.,

R o s s i

P.,

Solution

Probleme

No.

29.

Rev. Francaise Rech. Operationelle, 8 (2); 214—218

(1964).

L i t t l e

J . , M u r t у

К., S w е п п е у D., К а г e 1 C ,

Algorithm

for

the

Traveling Salesman Problem. Operations Res.,

11:972—

989

(1963).

10. P o l l a c k

and

W i e b e n s o n

\V.,

Solutions

of the

Shor

test-route

Problem.

Review

Operations

Res., 8: 224—230

(i960).

11.R o b b i n s H . E . , Theorem on Graphs, with an Application to a Problem of Traffic Control. Am. Math. Monthly, 46, (5): 281—283. (1929).

12.	R e d e i	L . ,	Uber die Kantenbasen fur endliche volstandige		ge-
	riehtete	Graphen. Acta Math. Acad. Sci. Hung., 5: 17—25 (1954).
13.	R o s e n t h a l		A., Solution to Problem E 711. Am. Math. Monthly,
	53: 593	(1946).
14.	T u t t e	W. Т., On Hamiltonian		Circuits. J . London Math.	Soc ,
	21: 98—101		(1946).
.15. L ' n g a r		P.,	Am. Math. Monthly,	57: 261 (1950),

Г л а в а 4

П Л О С К И Е И Н Е П Л О С К И Е Г Р А Ф Ы . Т Е О Р Е М А О Р А С К Р А С К Е

4.1. Введение

Н а с т о я щ а я глава преследует две основные цели. Первая заключается в том, чтобы найти и описать усло

вия,	при которых граф является	плоским,	т. е. может
быть	отображен на плоскость. Широко известное усло
вие	существования плоского графа задается теоремой
Понтрягина — Куратовского, в		которой	утверждается,

что плоский граф не должен содержать в качестве под

графов два графа специального типа. Другое

интерес

ное

необходимое

условие

существования

плоского

гра

фа заключается в том, чтобы он был

изоморфен

графу,

ребра

которого

являются

прямыми

линиями.

Вторая

цель главы состоит в том, чтобы изучить

хроматические

графы и сформулировать некоторые теоремы

рас

краске.

При этом будут рассматриваться задачи следующих

типов.

З а д а н а некоторая карта, т. е.

плоский

граф

вме

сте

областями,

на которые

циклы

графа

разбивают

плоскость. Определить, можно ли

раскрасить

этот

граф

цветами

таким

образом,

чтобы ни одна па

ра

смежных

областей

не

была

окрашена

одним

цветом.

п красок. Найти условия, которым

Имеются

должна

удовлетворять

карта, чтобы п

было

минимальным

хро

матическим числом. В процессе изложения

основное

внимание

будет

уделяться

вопросам

существования,

4.21	ПЛОСКИЕ ГРАФЫ	§1
а не фактическому	построению схем раскраски.	Поня

тие двойственного графа позволяет дать другое опреде ление плоского графа . Оно оказывается т а к ж е полез ным при изучении задачи раскраски . •

4.2. Плоские графы

Напомним, что плоским графом называется граф, изоморфный геометрическому графу на плоскости, т. е. граф, который может быть изображен на плоскости та ким образом, что его ребра пересекаются только в их граничных точках.

Граф можно отобразить с плоскости на сферу, по мещая сферу в некоторой точке плоскости и рассматри вая точку касания как южный полюс. Северный полюс используется при этом как центр проекций прямых ли ний, соединяющих северный полюс с к а ж д о й точкой графа на плоскости. Пересечение этих линий со сферой


дает	требуемую			проекцию,		называемую		стереографиче
ской.	Эта проекция находится во взаимно							однозначном
соответствии с исходным графом .
Возможен и обратный процесс, т. е. граф со сферы
можно отобразить					на плоскость		при условии,		что	вы
бранный северный полюс не совпадает ни с одной										точ
кой	графа. (Интересные осложнения возникают,									если
северный		полюс		совпадает		с вершиной графа.			Послед
ний	в этом		случае		отображается		в бесконечность,			что
приводит		к	дополнительным			трудностям.)		Заметим,		что

л ю б а я область графа, изображенного на плоскости, мо жет быть сделана внешней с помощью двух отображе


ний.	Сначала граф		отображается
на	сферу таким,		чтобы	южный
полюс		соприкасался с		точкой
внутри		рассматриваемой		грани.
З а т е м		производится		обратное

отображение на плоскость. При этом бывший северный

полюс используется	как точка контакта сферы с	пло
скостью, а бывший	южный .полюс — как центр	про
екций.

Упражнение 4.1. Показать, как с помощью двойной проекции треугольная грань графа на рпс. 4.1 может быть помещена в прямо угольную.


92		ПЛОСКИЕ I I НЕПЛОСКПЕ ГРАФЫ							[ГЛ. '1
Ч а с то		возникают		задачи		раскраски на		сфере.	Как
видно	из	принципа построения стереографической про
екции,	эти	задачи	можно		свести		к з а д а ч а м	раскраски
на плоскости, если множество граней, подлежащих									рас
краске,	включает		в себя бесконечную грань.
Вернемся теперь				к	вопросу		определения плоских
графов	и	приведем		основные			сведения, необходимые
для доказательства				теоремы		Понтрягппа —		Куратовско-

го. Обыкновенный граф, который имеет наименьшее чи

сло	вершин п не	является плоским, есть	полный	граф
из	пяти вершин,	показанный на рис. 4.2.	Такой	граф


			Рис. 4.2.			Рис.	4.3.
будем		называть		графом		Понтрягина	—	Куратовского
1-го	типа		(см. лемму		4.4).	Очевидно,	что	если	любой
граф		содержит		такой	пятпвершпнный		граф	(пли,	вооб
ще,	любой		неплоскпй		граф)	в качестве	подграфа,		то он
обязательно неплоскпй. Примером неплоского									графа,

который не содержит упомянутого полного графа, явля


ется	граф в	задаче	«о трех пунктах	обслуживания и
трех	домах»*) . приведенный па рис. 4.3.			Будем называть
такой	граф	графом	Понтрягина — Куратовского		2-го

типа. Название «граф обслуживания» возникает из за дачи соединения п домов с к а ж д ы м из п пунктов обслу живания посредством коммуникаций, которые не пере

секаются друг		с	другом	(т. е. образуют	плоский	г р а ф ) .
Как показано		в лемме 4.4, это невозможно сделать для
п ^ З .	Графы	Понтрягина — Куратовского 1-го				и 2-го
типов	позволяют		определить наиболее		общее	условие
существования		плоского		графа.

*) В литературе ома часто	фигурирует как «задача о трех до
мах и трех колодцах». (Прим.	ред.)

4.2]	П Л О С К И Е Г Р А Ф Ы			93
Определение. Вершина v является точкой				сочленения
связного графа С, если граф H=G—о,			получаемый
удалением	v и всех ребер, инцидентных		с v,	несвязен.
Граф называется сепарабельным,		если	он	содержит,
по крайней мере, одну точку сочленения.
Лемма	4.1. Необходимое и достаточное		условие, при

котором вершина v связного графа является точкой со


членения,	состоит в том,	что	v должна	принадлежать
всем цепям, соединяющим		некоторую пару		вершин.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Если	v является		точкой со
членения,	то удаление ее	из связного графа			разбивает

последний, по крайней мере, на две компоненты и, сле

довательно,

все цепи,

связывающие любую пару вер

шин, взятых из различных компонент,

должны

прохо

дить через v. С другой

стороны,

если

все

цепи,

связы

вающие некоторую пару вершин, проходят

через

то

удаление

делает

граф

несвязным,

и,

следовательно,

есть

точка

сочленения.

Лемма

4.2

(теорема

Менгера

Д и р а к а

[ 1 4 ] ) .

Если

v„ и vb

— две

вершины

графа

без точек

сочленения

чи

слом

вершим

/ г > 2

если

U={va,

v\,..

t'„,

vb}

—

цепь, соединяющая эти вершины, то

существуют

две

цепп U\ п Uo, связывающие

иа и

vb, которые

не

имеют

других

общих

вершин

при

движении

вдоль

каждой,

из

которых

вершины

цепи

U встречаются

порядке

возрастания

их индексов.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Теорема

доказывается по

ин

дукции. Теорема справедлива, если цепь состоит

из

па

ры

вершин,

связанных

единственным

ребром.

Предпо

ложим теперь, что теорема верна для любой пары вер шим, если длина цепп, связывающей их, равна самое большее т, и покажем, что она верна для простой цепи

длины

т-\-\. Обозначим,

v0 — va,

vm+i

предполо

жим,

что

U — цепь, соединяющая

с vm.hi.

Пусть

вер

шины

расположены

порядке

~и0, v\,...,

v,„,

vm+\.

По

предположению

индукции, i>0

связаны

двумя

цепями U\ и С/г, удовлетворяющими условиям

теоремы.

Заметим, что часть U, которая соединяет v0

с_ vm,

может

быть

одной из

двух простых цепей U\ или

U2-

Так

как

v,„

не

является

точкой

сочленения, то она

не

разделяет

г-'ш+ь и следовательно, существует

цепь,

соединяю

щ а я

И u m + i

не

проходящая

через

vm.

Эта

цепь

94 ПЛОСКИЕ И НЕПЛОСКПЕ ГРАФЫ [ГЛ. 4

содержит часть W, которая соединяет последнюю верши

ну

последовательности

VQ, v l t . . . ,

yn ,_i

вершиной

Пусть

и* будет

первая

вершина

(отличная

от

u m + i ) ,

которая

входит, по

крайней

мере,

одну

из

цепей

U\, U2 или U и которая

встречается

при

движении

по

цепи

от t> m + 1

к v0.

Пусть

\V=U*(v*,

vm+l),

т. е. под

цепь

U*,

соединяющая

и*

t i m + 1 .

Если

v* входит в

U и

то

U.2 =

U.iUU

(и„„ 1',,,-н)

удовлетворяют

условиям

теоремы.

_Аналогичная

ситуация

возникает,

если

о*

входит

в U2- Наконец,

если

и* содержится

только

U, то

v* = vk

для некоторого & такого,

что О ^ / г ^ / м — 1 .

Пусть

vp-—вершина

наибольшим

индексом,

не

превышаю

щим k—1 и входящая в

6r i

или {72 . Если

v„

входит

Uи

то

= U, (о 0 , vp)

U U (vp,

v„) U W

иг

и2

\J U (v,n, v,„

— требуемые

цепи.

Если

v0=vp,

то

первая

подцепь,

соответствующая U\, отбрасывается. Аналогичная

пара

цепей существует, если vp

содержится

в £72. Л е м м а

до

казана .

Лемма

4.3.

Связный

плоский

граф

с п

вершинами,

ребрами и

гранями

(включая

внешнюю

или

беско

нечную грань)

удовлетворяет формуле Эйлера

п—т-\-г—2.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим,

что

величина

(п—т-\-г)

не

изменится,

если вершину графа соеди

нить ребром с другой вершиной

(не пересекая

при этом

другие

р е б р а ) ,

так

как

результате этой

операции

по

лучается дополнительная грань. (Добавление ребра по

рождает цикл, так как граф связный.)	Аналогично,	эта
величина останется той ж е самой, если	вводится новая
вершина, которая соединяется с двумя	вершинами	гра
фа с помощью двух ребер, так как при	этом снова	до-

4.2] ПЛОСКИЕ ГРАФЫ 95


бавляется		грань.	Л е в а я часть формулы					Эйлера		т а к ж е
остается		неизменной,		если	вместо добавления					вершин
и	ребер,	как описывалось			выше,		они удаляются			соглас
но	той ж е процедуре. Операции						добавления		и удаления
вершин и		ребер	позволяют		в	конце концов			свести		граф
к	треугольнику,		т. е. к	графу		с / г = 3 , /п =		3	и г = 2 ,		так

как внешняя грань треугольника тоже учитывается. Та ким образом, лемма доказана .

Лемма 4.4. П о д г р а ф ы Понтрягина — Куратовского являются неплоскимп.

П е р в о е д о к а з а т е л ь с т в о . Если бы граф 2-го типа был плоским, то по формуле Эйлера мы бы нашли,

что r—Ъ.

К а ж д а я

грань

должна

иметь,

по

крайней ме

ре, четыре ограничивающих ребра; так как

если

грань

ограничивается

тремя

ребрами, то две

из трех

вершин

д о л ж н ы быть либо домами, либо пунктами

обслужива

ния и оказались бы смежными, что противоречит

опре

делению графа. Так . как

к а ж д о е

ребро

является

грани

цей двух граней и таким

образом

учитывается

д в а ж д ы ,

то мы д о л ж н ы получить 4>=s;2m или

т~^2г,

т. е

9 ^ 1 0 .

Полученные

противоречия

показывают,

что

граф

2-го

типа

неплоский.

В случае графа 1-го

типа

к а ж д а я

грань

ограничива

ется,

по

крайней

мере,

тремя

ребрами,

откуда

3 r ^ 2 m ,

а так как г=7

и т = 1 0 , то мы снова

получили

противо

речие:

2 1 < 2 0 .

В т о р о е д о к а з а т е л ь с т в о .

Другое

доказатель

ство леммы

4.4

основано

на

теореме

Ж о р д а н а

кривой,

в которой утверждается, что простая замкнутая

кривая

(гемеоморфная

окружности)

делит

плоскость

на две

области,

общей

границей

которых является

сама

кри

вая. Следствием этой теоремы является тот очевидный


факт,	что простая		кривая,	соединяющая две			точки, к а ж
д а я	из	которых	лежит	в разной		области,	пересекает
границу.		Д л я доказательства			того,	что граф 2-го типа
является		плоским, соединим			два пункта обслуживания

с двумя домами, как показано на рис. 4.4, образовав жорданову кривую. Третий пункт расположен либо внутри, либо снаружи грани, ограниченной этой кривой. Предположим, он расположен внутри грани. (Если он расположен снаружи и связан с домом, то другой пункт должен быть внутри грани.) Соединим этот пункт с дву-

96	ПЛОСКИЕ	II НЕПЛОСКИЕ	ГРАФЫ	[ГЛ. 4
мя	домами. Тогда вне	зависимости	от того, какой	грани

принадлежит третий дом (потребитель), он в любом случае будет отделен жордановой кривой от одного из

пунктов	обслуживания	и не	сможет быть	связан	с этим
пунктом. Следовательно, граф неплоскнй.
Д л я	доказательства	того,	что граф 1-го	типа	являет

ся неплоскпм, рассмотрим четыре точки, попарно соеди ненные друг с другом (рпс. 4.5). Как видно пз рисунка.

Рис. 4.4.	Рис.	4.5.
для того чтобы см соединялась с ол,	a vo	с щ без пере
сечений, необходимо, чтобы одно	ребро	было внутри,

а другое снаружи прямоугольника. Вне зависимости от

расположения пятой вершины, она в любом							случае бу
дет отделена	жордановой		кривой от		одной		из	вершин,
и мы снова приходим к выводу, что граф						неплоскнй.
Очевидно, что свойства плоскости графа не изменя
ются, если некоторое ребро разделить					на	два	введением
повой вершины		степени 2	или	если	два	ребра,			инци
дентные вершине		степени	2, заменить		на	одно, удалив
при этом данную вершину. Такие рассуждения								приводят
к следующему определению: графы G					и G'		называются
изоморфными	с	точностью	до	вершин	степени			2,	если
они изоморфны		или если	они	могут	быть		превращены

в изоморфные графы с помощью указанных выше пре образований.

Теорема 4.5.	(теорема	Понтрягпна — Куратовского) .
Г р а ф является	плоским тогда и только		тогда, когда	он
не содержит подграфа, изоморфного с точностью				до
вершин степени	2 одному	из подграфов	Понтрялина —
Куратовского.

Упражнение 4.2. Показать, что существование подграфа, изо морфного с точностью д о вершин степени 2 графу Понтряпша — Ку ратовского, эквивалентно существованию пяти или шести вершин,

ПЛОСКИЕ ГРАФЫ

а также множеству цепей, не имеющих общих вершин (кроме их гра ничных точек), совокупность которых, если цени рассматриваются как единичные ребра, образует подграф Понтрягина — Куратовского.

П р и в е д ем доказательство

теоремы

4.5,

данное

Бер-

ж е м

[ 3 ] . Оно

существенно

переработано

по

сравнению

с вариантом

первоначального

доказательства

Куратов

ского

[30] .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Мы

уже показали,

что

пло

ский

граф

не содержит

подграф

Понтрягина —

Кура

товского пли

подграфов,

которые

изоморфны

им

точ

ностью до вершин степени 2. Доказательство

обратного,

т. е. того, что неплоский

граф

содержит

один

или

оба

подграфа

Понтрягина

—

Куратовского,

выполняется

индукцией по числу ребер.

Воспользуемся эквивалент

ным

утверждением, что

если

граф

не

содержит

подгра

фов

Понтрягина — Куратовского,

то

он

должен

быть

плоским. Очевидно, что это верно для графов с одним,

двумя

и тремя

ребрами. Пусть обратное

утверждение

верно

для

графа с числом ребер, меньшим чем

т.

По

к а ж е м

помощью

доказательства

от

противного,

что

оно верно

в случае т

ребер.

Предположим, что G состоит из т ребер,

является

неплоским

не

содержит

подграфов

Куратовского,

но

Каждый подграф его с т—1

ребрами

является

плоским.

Противоречие

будет

состоять

в том,

что

содержит

подграф

Куратовского.

1. Г р а ф

G должен быть

связен;

противном

случае,

так как все

его

компоненты имеют

меньше

ребер н

являются

плоскими, то и G был бы

плоским.

G является графом

без

сочленений*) .

самом

деле, точка сочленения может быть отображена на гра ницу бесконечной грани с помощью помещения сферы на грань, содержащую эту точку на своей границе и ин версии исходного графа относительно этой сферы. При удалении точки сочленения все компоненты графа оста

ются		плоскими, так как к а ж д а я	из них	будет	содержать
менее чем по т ребер. Таким			образом,	введение		такой
точки дает плоский граф.
	*) Граф называется графом без		сочленений,	если	он не	связен,
п	не	имеет точек сочленения. (Прим.	ред.)
7	р,	Басакер, Т, Саатц

ПЛОСКИЕ

II НЕПЛОСКПЕ

ГРАФЫ

[ГЛ. 4

3. П о к а ж е м , что

G существует

некоторый

простой

цикл S, проходящий через произвольные вершины а и Ь,

который сохраняется

в графе при

удалении

ребра

[а,Ь].

Рассмотрим

подграф

G'=G—[a,

b],

который

должен

быть либо (1) подграфом с точкой сочленения,

либо

(2)

подграфом без точки сочленения.

с,

В случае (1) существует точка сочленения

через

которую проходит

к а ж д а я цепь между

п b

G'.

Одна

ко

это

приводит к противоречию, так как при

удалении

граф

распадается

на

две

компоненты

С„ и Сь.

Пусть

из

Са н

Сь

получены

Са

Сь соответственно

присоеди

нением

ребер [а,

с] и

[Ь, с].

Из

первоначального

(прямого)

утверждения

следу

ет, что

ни

С 0 ни

Сь

не содержат

подграф

Понтрягн-

на — Куратовского,

так

как такого

подграфа

нет

в G.

С помощью стереографической проекции [а, с] и [Ь, с\

могут	быть переведены в ребра бесконечной грани.			Если
а и b	соединяются в этой грани,	то	в результате	полу
чается	все еще плоский граф, так	как	связывающее	реб

ро полностью лежит внутри внешней грани. Таким об

разом получен граф, являющийся плоским

содержа

щим G, что противоречит предположению о том, что G

неплоский. Следовательно, G' является графом без со

членений.

В силу этого по лемме 4.2 существуют две цепи,

соединяющие

а и b

и образующие

простой

цикл

(т. е.

они не имеют других общих точек). Следовательно,

содержит простой цикл. Используем наличие

этого цик

ла для опровержения предположения о том, что граф G

неплоский.

и b

Пусть

S — простой цикл,

проходящий

через

в G'

и заключающий

в себе максимальное число

гранен.

Придадим

циклу

произвольную

ориентацию.

Часть

графа G' внутри S назовем внутренним графом, а часть

снаружи — внешним

графом.

Вершины

y l c V

образуют

множество

сочленения,

если

при

их

удалении

граф G оказывается

несвязным.

Часть графа G, связанная с А, представляет собой связ

ную

компоненту

С подграфа V—А

плюс

ребра

из

С к /1 .

Внешний граф не может содержать более одной вер

шины,

принадлежащей

полуциклу

S[a,

Ь]. В

противном

случае

можно построить цикл,

проходящий

через

и b

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3810 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202318.51 Mб41Барташев Л.В. Технико-экономические расчеты при проектировании и производстве машин.pdf
#
24.10.20239.52 Mб53Бартенев Г.М. Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла.pdf
#
29.10.20234.6 Mб15Бартль С. Атом в Арктике.pdf
#
19.10.20232.01 Mб17Бархатный, В. Д. Выбор участков и способов организации работы локомотивных бригад.pdf
#
19.10.20236.31 Mб21Барыкин, К. К. h = 533. (О московской телебашне).pdf
#
25.10.202312.41 Mб76Басакер Р. Конечные графы и сети.pdf
#
29.10.20234.3 Mб22Басалов Ф.А. Некоторые вопросы техники сверхвысоких частот [конспект лекций].pdf
#
19.10.20237 Mб28Басевич, В. В. Корабли не умирают.pdf
#
19.10.20233.4 Mб23Басистов, М. А. Взрывные работы при сооружении земляного полотна железных дорог.pdf
#
22.10.202313 Mб19Баскаков, А. П. Нагрев и охлаждение металлов в кипящем слое.pdf
#
19.10.20232.92 Mб39Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf