книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

Следовательно,

Поэтому, для выполнения равенства (1.198), необходимо:

СV гх&уг2.

Отсюда и из выражений (1.198) и (1.200) получаем:

циала простого слоя зарядов, распределенных по некоторой поверхности S, получаем:

Объемный потенциал (1.205) удовлетворяет уравнению (1.195) в области V, занятой зарядами, и уравнению (1.196) вне V. Потенциал простого слоя (1.206) везде вне S удовле­ творяет уравнению (1.196). На поверхности5 этот потенциал непрерывен, а нормальные составляющие вектора смещения поля простого слоя зарядов претерпевают скачок. Найдем

нормальные составляющие вектора D с наружной и внутрен­ ней сторон поверхности S. Для этого вокруг некоторой точки Q б S вырежем элемент поверхности А5 (рис. 17)

80

столь малых размеров, чтобы можно было пренебречь его кривизной и считать его плоским. Все поле заряженной

поверхности S разобьем на два слагаемых: поле D(I) от за­

рядов на поверхности S — AS и поле D<2) — элементар­ ного заряда на AS. Согласно соотношениям (1.203) и (1.206)

Формулы (1.208) — (1.210) тем точнее, чем меньше кривизна элемента AS, т. е. чем меньше сам элемент. По­ этому в пределе получаем:

Пусть среда внутри поверхности S является проводящей.

Тогда Dln (Q) э 0 и из соотношения (1.212) для поверхнос­ тной плотности электрических зарядов HaS получаем следую­ щее однородное интегральное уравнение (уравнение задачи Робэна) для анизотропной среды:

Уравнение (1.213) имеет ненулевые решения, каждое из которых однозначно определяется, если задать полный (суммарный) заряд q проводника:

Теория уравнений (1.213), (1.214) и (1.215) полностью аналогична теории интегральных уравнений, описывающих распределение зарядов по поверхности проводников, окру­ женных однородным изотропным диэлектриком. Эти урав­ нения могут быть преобразованы в интегральные уравнения задачи Робэна для изотропной среды при помощи деформа­ ции пространства по формулам (1.197). Поэтому интеграль­ ные уравнения (1.215) и (2.216) однозначно разрешимы и их решение может быть найдено методом последователь­ ных приближений.

82

В случае плоского поля соотношения (1.205), (1.206), (1.211) и (1.212) имеют вид:

Перейдем к решению основной задачи, сформулирован­ ной в начале параграфа. Обычный подход к составлению интегральных уравнений, основанный на замене реальной среды однородной изотропной средой с проницаемостью е, приводит в данном случае к системе двух интегральных уравнений, одно из которых необходимо решать на поверх­

ности 5 раздела сред, а другое—в области V+, занятой ани­ зотропной средой. Это связано с тем, что потенциал ф

удовлетворяет различным уравнениям в областях У- и V+. В области V~ потенциал ф удовлетворяет обычному уравне­

нию Лапласа или Пуассона, а в области —уравнению (1.195) или (1.196). Поэтому при использовании для ф еди­ ного во всем пространстве интегрального представления

приходится в области V+ вводить в качестве вторичных источников объемные заряды. В самом деле уравнение (1.196) можно преобразовать к виду

из которого видно, что в качестве вторичных источников необходимо в области V+ ввести объемные заряды с

а это приводит к интегральному уравнению по области Предложим другой подход к составлению интегральных

уравнений, приводящий к системе двух интегральных урав­ нений, которые необходимо решать только на поверхности S раздела сред. Сущность этого подхода состоит в том, что мы отказываемся от единого во всем пространстве интеграль­ ного представления для потенциала ф, и, как в методе зер­ кальных изображений, используем различные для каждой

из областей V~ и V+ выражения для ср. Иначе говоря, откажемся от единых для всего поля вторичных источников, и напротив для поля в каждой из областей V~ и V+ вводим на поверхности S свои вторичные источники, распределение плотностей которых должно быть таковым, чтобы на поверх­ ности S выполнялись краевые условия для касательных

и нормальных составляющих векторов Е и D. Эти краевые условия и приводят к системе двух интегральных уравне­ ний на поверхности 5 относительно плотностей вторичных источников.

Для простоты изложения будем считать, что объемные заряды находятся только в области V~. Потенциал в облас­

Условия непрерывности касательных составляющих на­ пряженности и нормальных составляющих смещения будут выполнены, если на поверхности 5 будут удовлетворяться краевые условия:

где С — произвольная постоянная.

84

Потенциал ф в области V будем искать в виде

rQM

т. e. в качестве вторичных источников для поля вне S выби­ раем двойной слой электрических зарядов — слой диполей.

Потенциал в области V+ представим в виде

т. е. в качестве вторичных источников для поля в анизотроп­ ной среде выбираем простой слой электрических зарядов, распределенных по поверхности S.

При таком выборе выражений для потенциалов ф+

и ф_ уравнения (1.222) и (1.223) будут удовлетворяться. В качестве вторичных источников для поля в изотроп­ ной среде можно было бы выбрать простой слой электри­ ческих зарядов. При этом получили бы систему двух ин­ тегральных уравнений, одно из которых было бы уравне­ нием 1-го рода. Сделанный нами выбор вторичных источни­ ков продиктован стремлением получить систему двух ин­ тегральных уравнений 2-го рода. Для вывода системы воспользуемся краевыми условиями (1.224) и (1.225). Из выражения (1.224) и теоремы о предельных значениях

потенциала двойного слоя находим

К

85

Из выражений (1.225), (1.212) и формулы для нормаль­ ной производной потенциала двойного слоя [6] выводим

Уравнения (1.228) и (1.229) образуют систему интеграль­ ных уравнений 2-го рода, решение которой необходимо для определения плотностей вторичных источников т (М) и о (М). Когда эти источники найдены, то потенциал,

а вместе с ним Е и D могут быть найдены в изотропной и анизотропной части пространства при помощи соотноше­

будут решением системы (1.228) и (1.229). Последнее объяс­ няется тем, что как потенциал двойного слоя постоянной плотности, распределенной по замкнутой поверхности S, не создает поля в окружающем пространстве, так и потен­ циал (1.227) с плотностью а0 (М ) не создает поля напряжен­ ности внутри поверхности 5. Учитывая это, преобразуем уравнения (1.228) и (1.229) методом, изложенным в гл. I, 4, 6 так, чтобы

86

интегральных уравнений (1.232) и (1.233) существует, то это решение единственно.

Для того, чтобы решение этой системы было единствен­ ным, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая однородная система:

(1.234)

87

имела только нулевое решение. Пусть т0 (М ) и ст0 (Щ— какое-либо решение системы (1.234) — (1.235). Рассмотрим функции:

где

— постоянная.

Функция Ф0 (Q) удовлетворяет во всем пространстве, за исключением поверхности S , уравнению Лапласа:

где

— постоянная.

Воспользуемся теоремой Гаусса—Остроградского:

где знак «—» поставлен потому, что нормаль направлена внутрь V~.

39