книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

среде на поверхности S выполнялось следующее краевое условие:

напряженности, созданная всеми первичными (свободны­ ми) и вторичными источниками, за исключением самого элементарного заряда, сосредоточенного вокруг точки Q.

Заменим исходную неоднородную среду однородной с проницаемостью е0 и введем необходимые вторичные источ­ ники. Тогда

70

Из последнего соотношения и уравнения (1.169) на­ ходим

Уравнения (1.173) и (1.174) составляют полную систему интегральных уравнений, решение которой необходимо для определения вторичных источников рг (М) и о (М). Когда эти источники найдены, то потенциал в любой точке про­ странства определяем по формуле (1.172), а напряжен­ ность — при помощи соотношения

шимости системы (1.173) — (1-174) необходимо и достаточно, чтобы соответствующая однородная система интегральных

71

уравнений:

имела только нулевое решение. Пусть а0 (Q) и pl0 (Q) — какое-либо решение однородной системы (1.175) — (1.176). Введем потенциал

Из соотношения (1.177) следует, что вне поверхности S потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа:

Подставляя соотношение (1.180) в выражение (1.179),

находим, что внутри поверхности S потенциал Фо удовлетво­ ряет уравнению:

Согласно выражению (1.177) потенциал Фо (Q) непреры­ вен на границе 5 раздела сред, т. е.

72

Из уравнения (1.175) и согласно ^теореме о предельных значениях нормальных производных потенциала простого слоя следует, что на границе S выполняется следующее краевое условие:

(1.183)

Воспользуемся теоремой Гаусса—Остроградского:

где n — направление внешней нормали. Полагая а = фо (Q) е (Q)grad<po (Q), находим

div а *= Фо (Q) div (е (Q) grad ф£ (Q)) + е (Q) | grad щ |2.

Отсюда, согласно уравнению (1.181) и формуле (1.184) получаем

Знак минус поставлен потому, что нормаль п направле­ на внутрь области Vе. Из равенств (1.185), (1.186) и крае­ вых условий (1.182) и (1.183) находим

J 8(0)1 grad ф‘0(Q) 12dVQ+ е0j | grad ф« (Q) |2dVQ= 0.

Теперь, используя соотношение (1.180) ист0 (Q) = -^-(Q )—

<¥0

= - ^ Г ’ П0ЛУчаем :

т. е. однородная система уравнений (1.175) и (1.176) имеет только нулевое решение и потому система интегральных

73

уравнений (1.173) и (1.174) однозначно разрешима. Теорема

доказана.

Интегральное уравнение (1.173) очень похоже на урав­ нение (1.121) и отличается от него лишь тем, что параметр Я (Q) в уравнении (1.173) меняется в зависимости от поло­

жения точки Q на поверхности 5. Однако, если min е (Q)

Q£S

> е0, то параметр Я (Q) будет близок к единице и решение уравнения (1.173) будет плохо устойчивым к малым возму­ щениям правой части. При численном решении уравнения (1.173) вследствие приближенного характера вычислений эта плохая устойчивость по существу будет эквивалентна неустойчивости решения уравнения (1.173) к малым возму­ щениям правой части. В связи с этим целесообразно видо­ изменить это уравнение с учетом интегральных свойств вторичных источников.

Определим эти свойства. Выберем поверхность 5 ', охва­ тывающую 5 и не охватывающую каких-либо свободных

Заменим теперь неоднородную среду однородной с про­ ницаемостью е0, вводя для этого вторичные источники в об­ ласти VLи на S. Для такой однородной среды согласно тео­ реме Гаусса

Поскольку при замене неоднородной среды однородной

введением вторичных источников поле Е остается неизмен­ ным во всем пространстве, то из выражений (1.187) и (1.188) следует

Равенство (1.189) не является единственным соотноше­ нием, связывающим интегральные свойства поверхностных и объемные вторичных зарядов. Еще одно соотношение мо­ жет быть получено непосредственно из уравнения (1.173). Для этого разделим обе части его на Я (Q), возьмем инте­ грал по S и, меняя, где это необходимо, порядок интегриро­

74

вания, а также учитывая равенство (1.36), определим

§ T § - d S Q- j ) o ( Q ) d S Q- 2 ^ p t (Q)dVQ= 0. (1.190)

поля в объемно-неоднородной среде. Эта система однознач­ но разрешима. Доказательство дословно повторяет дока­ зательство теоремы об однозначной разрешимости системы

(1.173) — (1.174).

Использовав соотношение (1.189), систему интегральных уравнений (1.173) — (1-174) преобразуем к другому, иногда более удобному для расчета виду [103]:

75

2 n rQM

Полностью аналогичная уравнениям (1.192) и (1.193) система интегральных уравнений может быть получена и в том случае, когда в пространстве имеется несколько

областей с объемной неоднородностью диэлектрической проницаемости.

Систему интегральных уравнений (1.174) и (1.191) мож­ но использовать для расчета электростатического поля

76

в случае, когда среда_внутри поверхности S является нели­ нейной, т. е. е = б (|£|). При этом расчет ведется методом последовательных приближений и на каждом шаге итера­ ций среда считается неоднородной, пространственное рас­ пределение е которой определяется из зависимости е = = е ( | £ |) по найденному на предыдущем шаге распреде­ лению Е.

9. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ

Рассмотрим задачу расчета электростатического поля, созданного заданным распределением свободных зарядов с плотностью pft (М) в областях Vh (k — 1, 2, ..., п),’если

окружающее пространство в области V~ заполнено одно­

полей в анизотропных средах применим метод интеграль­ ных уравнений [45, 46].

Предварительно исследуем свойства потенциала в одно­ родной анизотропной среде. Выберем декартову систему координат так, чтобы оси х, у, z были параллельны глав­ ным осям тензора ъц. При этом диагональные компоненты тензора ец, обозначаемые далее через ех, еу и' е2, будут постоянными величинами, не зависящими от х, у и г (это следствие однородности анизотропной среды). Векторы

77

электрической напряженности Е и смещения D удовлетво­ ряют первому и второму уравнениям (1.1) и связаны между собой соотношениями:

Вводя скалярный потенциал ср равенством (1.3) из пер­ вого и второго уравнений (1.1) и (1.194), находим

а в области, где нет свободных зарядов,

Потенциал поля, созданного в анизотропной среде то­ чечным зарядом 9, помещенным в точку Q, удовлетворяет везде, за исключением точки Q, уравнению (1.196); в точке Q он должен иметь особенность. Делая замену переменных

находим, что в новых переменных <р удовлетворяет уравне­ нию Лапласа:

Поэтому для потенциала точечного заряда q получаем выражение

Ф(М) Я __________________ !___________________

4лС K ^ m - ^ q)2+ (^m - ^ ) 2+ (z m - V

(1.198)

Постоянную С в выражении(1.198) выберем такой, чтобы для любой замкнутой поверхности S, охватывающей Q,

78

d2iM *= 4я.

Ф Rqm

79