книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

ной теореме система интегральных уравнений (1.146) одно­ значно разрешима и ее решение может быть найдено мето­ дом последовательных приближений. После того, как на­ йдено решение, по формуле (1.145) могут быть определены потенциалы Uh проводников, необходимые для вычисления емкостей.

В случае плоского поля система интегральных уравне­ ний (1.146) имеет вид

60

Плотности двойных слоев тй {М) пропорциональны скач­ кам потенциала при переходе через границыSk раздела сред. Поскольку значения потенциала конечны и непрерывны

в угловых точках и ребрах поверхностей Sk. Это выгодно

уравнений (1.147) (плоская задача) численным методом воз­ никает система алгебраических уравнений, коэффициенты которой имеют простой геометрический смысл и легко на­ ходятся из чертежа (приложения 3).

Задача расчета электростатического поля в кусочно­ однородной среде сведена к решению интегральных урав­ нений Фредгольма 2-го рода относительно вторичных источ­ ников (ah (М) или r fe (М)). Для получения конкретных ре­ зультатов необходимо численно решить эти уравнения. Чис­ ленным методам решения интегральных уравнений посвя­ щена обширная математическая литература, среди которой рекомендуем читателю работу [25]. В приложении 3 также рассмотрены некоторые вопросы численного решения ин­ тегральных уравнений.

7. РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА НА ТОНКИХ НЕЗАМКНУТЫХ ПРОВОДЯЩИХ ПОВЕРХНОСТЯХ

В настоящее время в технике СВЧ и в микроэлектронике широко распространены конструкции, содержащие тонкие металлические полоски, пластины и незамкнутые оболочки.

61

При исследовании электрических полей удобно считать та­ кие пластины и оболочки бесконечно тонкими, что и приво­ дит к необходимости определять распределение заряда по незамкнутым проводящим поверхностям. Эта задачд в отли­ чие от рассматриваемых ранее формулируется в виде инте­ грального уравнения Фредгольма 1-го рода. Проиллюстри­ руем это на простейшем примере, в котором требуется рассчитать поле, созданное уединенной заряженной незамк­

нутой проводящей поверхностью S (рис. 13). Потенциал электро­ статического поля определим по формуле

s

Для определения о (М) мож­ но использовать лишь только одно краевое условие — по­ стоянство потенциала на проводящей поверхности:

из которого и следует интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода для о {М)\

При расчете распределения о (М) по поверхности объем­ ных проводников краевое условие (1.149) эквивалентно другому граничному условию:

которое также вытекает из формулы (1.14), так как для про­ водящих тел можно считать &t = оо. Использование этого краевого условия и позволило ранее получить интеграль­ ное уравнение (1.81) Фредгольма 2-го рода для о (Л4). Однако в рассматриваемой нами задаче вследствие незамкнутости поверхности S условие (1.151) не следует из (1.149) и поэтому для нахождения а (Л1) получаем лишь только интегральное уравнение (1.150) 1-го рода.

Так как решение интегрального уравнения 1-го рода является некорректной задачей (приложение 1), то для численного расчета уравнение (1.153) преобразуем в инте­ гральное уравнение 2-го рода. Такое преобразование назы­ вают часто регуляризацией.

62

Таким образом, интегральное уравнение (1.150) 1-го ро­ да мы приближенно преобразовали в интегральное уравне­ ние (1.153) Фредгольма 2-го рода. Точность такого преоб­ разования определяется точностью конечно-разностных со­ отношений (1.153), которая, в свою очередь, зависит от гладкости потенциала в окрестности точки Q, точнее на

отрезке Q+ Q- . Поскольку у края поверхности S плотность а (М) неограниченно возрастает, то для повышения точ­ ности конечно-разностных соотношений (1.153) — (1.155), необходимо уменьшать параметр регуляризации h (Q) у края S по сравнению с его значением в средней части 5.

Этим и объясняется, почему поверхности 5+ и 5“ выбраны неограниченно сближающимися с 5 у ее края.

63

В преобразованном уравнении (1.155) в отличие от ис­

ходного уравнения (1.150) ядро К (QM) = - -------- 1----------

rQ-M rQ+M

не имеет особенностей, а является непрерывным и сколь угод­ но раз дифференцируемым. Это показывает, что примененный нами процесс регуляризации аналогичен процессу саморегуляризации, развитому в работах [23, 80].

Переход от уравнения (1.150) к (1.155) является прибли­ женным, поэтому такой процесс регуляризации естественно назвать приближенной регуля­ ризацией. Оказывается возмож­ ным уравнение (1.150) точно пре­ образовать в уравнение 2-го ро­ да, т. е. осуществить точную

регуляризацию [106].

Дополним заряженную про­ водящую поверхность S поверх­ ностью 2 так, чтобы вместе они

образовали гладкую замкнутую поверхность S0 (рис. 14). Область внутри S0 обозначим через Vt, область вне S0че­ рез Ve. Для потенциала <p' (Q) и cpе (Q) внутри и внеS0 спра­ ведлива формула Грина [56]:

д 1

где пм — внешняя к S0 нормаль в точке М.

Формулы (1.156) и (1.157) выражают потенциал внутри и вне в виде суммы потенциалов простого и двойного слоев. Дифференцируя выражения (1.156) и (1.157) по nQи исполь­ зуя теорему о предельных значениях нормальных произ­ водных потенциала простого слоя (см. формулы (1.23) и (1.24)), находим:

64

Вычитая выражения (1.159) и (1.158) и учитывая, что

=(М) = и ф‘ (Л1) = фе (М) = ф (М) и что нор­

мальные производные потенциала двойного слоя непрерыв­ ны, находим

о ---]

rQM dS/а -j- dnQ

1

- 4-

X

Откуда, учитывая, что tp (М) = U на поверхности S, получаем

gM-dSM.

я дпп

(1.160)

Теперь складывая выражения (1.158) и (1.159), находим

затем

(1.162)

Подставляя выражения (1.161) и (1.162) в соотношение (1.160), получаем интегральное уравнение 2-го рода относи­ тельно a (Q):

66

Покажем, что ядро интегрального уравнения (1.163) не зависит от выбора поверхности 2. Пусть 2' еще какаялибо поверхность, дополняющая S до замкнутой поверх­ ности (рис. 14). Тогда, поскольку точки Q и Р лежат на S, по формуле Грина находим

Поскольку ядро не зависит от выбора поверхности 2, то можно эту поверхность неограниченно сближать с S. Изменив при этом направление нормали пм на противопо­ ложное так, чтобы оно в пределе совпало с направлением нормали пм на поверхности S, из формулы (1.163) найдем

Правую часть уравнения (1.164) можно интерпретиро­ вать как нормальную к 5 составляющую электрической на­ пряженности, созданную двойным слоем зарядов, распре­ деленных по S с постоянной плотностью т (М) = 4&U.

Этот двойной слой можно заменить эквивалентным магнит­ ным током величины 4е/У, протекающим по контуру L, ограничивающему 5. Отсюда

Таким образом, уравнение (1.150) 1-го рода точно преоб­ разовали в интегральное уравнение (1.166) 2-го рода. Ядро и правая часть точно регуляризованного уравнения (1.166) значительно сложнее ядра и правой части приближенно регуляризованного уравнения (1.155). Кроме того, правая часть уравнения (1.166) имеет на краю 5 особенность.

Независимость ядра уравнения (1.166) от вспомога­ тельной поверхности 2 свидетельствует о том, что само это уравнение можно вывести без использования формулы Гри­ на (1.156) — (1.157), основываясь на свойствах функции

8. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ОБЪЕМНО-НЕОДНОРОДНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СРЕДЕ

Усложним задачу, т. е. предположим, что среда вне по­ верхности 5 (в области Ve) (рис. 15) однородна и имеет ди­ электрическую проницаемость е0, а внутри 5 (в области V,) объемно-неоднородна и ее диэлектрическая проницае-

68

мость является непрерывной (и даже дифференцируемой) функцией координат х, у, г\ е = е (х, у, z). Для простоты остановимся на случае, когда возбуждающие электростати­ ческое поле свободные объемнораспределенные заряды ло­ кализованы вне поверхности 5.

Введем скалярный электростатический потенциал ф со­ гласно соотношению (1.3). Тогда в области Ve потенциал удовлетворяет уравнениям Лапласа и Пуассона:

Таким образом, если, следуя общей идее метода вторич­ ных источников, хотим реальную неоднородную среду за­ менить однородной с проницаемостью е0, то должны в об­ ласти Vt ввести вторичные объемные заряды с плотностью

[90, 96]

Однако одних этих зарядов недостаточно, чтобы создан­ ное ими совместно со свободными зарядами поле в среде с проницаемостью е0 было идентично полю, созданному толь­ ко свободными зарядами в исходной неоднородной среде. Необходимо ввести еще простой слой зарядов, плотность которых распределялась бы по 5 так, чтобы в однородной

69