книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

Из выражений (1.91)—(1.93) получаем а0 (М ) = 0, т. е. однородное уравнение (1.87) имеет только нулевое решение, а это и доказывает, что = 1 не является характеристи­ ческим значением для уравнения (1.87).

Пусть теперь Х0 и а0 (Q) соответственно характеристи­ ческое значение и собственная функция для уравнения

(1.87), т. е.

Интегрируя (1.94) по точке Q вдоль поверхности 5 и используя соотношение (1.36), определяем

(j) а0 (Q) dSQ— к0(j) а0 (М) dSM =

т. е. Я.0 и а0 (М ) являютая характеристическим значением и собственной функцией уравнения (1.33).

Пусть теперь Х0 Ф I и о0 (М) являются характеристи­ ческим значением и собственной функцией уравнения (1.33), т. е. удовлетворяют уравнению (1.95). Интегрируя это урав­ нение по Q вдоль поверхности S и учитывая соотношение

40

(1.36), определяем

(1 — Я,0) (f)<j0(yW) <£«.=. 0.

Откуда

(j) а0 (М) dSM = 0. s

Поэтому если Х0 Ф 1 и а0 (М) удовлетворяют уравнению (1.95), то эти же %0 и а0 (М) удовлетворяют и уравнению (1.94), т. е. являются характеристическим значением и собственной функцией уравнения (1.86). Лемма доказана.

Из леммы сравнения вытекает 2-я спектральная теорема:

Если

то все характеристические значения уравнения (1.86) ве­ щественны и первое характеристическое значение по модулю больше единицы:

В самом деле, из доказанной леммы следует, что спектр уравнения (1.86) состоит из всех, кроме Х0 — 1, характерис­ тических значений уравнения (1.33) и быть может значения

Х0 = — i— *. Поэтому из 1-й спектральной теоремы и

1— —

2л

неравенства (1.96) находим, что все характеристические значения уравнения (1.86) вещественны и первое из них по модулю больше единицы, т. е. выполняется условие (1.97).

41

тическое значение уравнений (1.72) и (1.78) совпадает со вторым характеристическим значением уравнения (1.33) и, следовательно, по модулю больше единицы.

Отсюда, сравнивая интегральные уравнения (1.72) и (1.78) с уравнением (1.21), можно сделать следующие выводы:

1. Интегральные уравнения (1.72) и (1.78) в отличие о уравнения (1.21) однозначно разрешимы при любых, в том числе и бесконечных значениях е,- и ге. Это преимущество уравнений (1.72) и (1.78) особенно отчетливо проявляется при расчете распределения заряда по поверхности уединенного заряженного проводника (задача Робэна). В этом случае уравнение (1.21) приводит к однородному уравнению (1.38), имеющему множество нетривиальных, ненулевых решений, в то время как уравнение (1.72) приводит к неоднородному уравнению (1.81), имеющему строго одно решение.

s 2. Решение интегральных уравнений (1.72) и (1.78) может быть найдено методом последовательных приближе­ ний. Последовательные приближения для этих уравнений сходятся не медленнее, чем геометрическая прогрессия со

теристическое значение уравнения (1.33). Таким образом, последовательные приближения для уравнений (1.72) и (1.78) сходятся быстрее, чем для уравнения (1.21). Напом­ ним, что последовательные приближения для уравнения (1.21) сходятся со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем а = \Х\. Последовательные приближения для уравнений (1.72) и (1.78) сходятся и при А, = 1, (е, = оо), в то время как для уравнения (1.21) это значение параметра является характеристическим и потому при X = 1 после­ довательные приближения для этого уравнения, вообще говоря, не сходятся.

г 3. При любых фиксированных ег и ее расстояние пара­ метра X до ближайшего характеристического значения для уравнений (1.72) и (1.78) больше, чем для уравнения (1.21). Поэтому устойчивость решения к малым возмущениям пра­ вой части для уравнений (1.72) и (1.78) лучше, чем для урав­ нения (1.21). Это приводит к тому, что реализация метода последовательных приближений на ЭЦВМ для уравнений (1.72) и (1.78) сопряжена со значительно меньшим накопле­ нием погрешности, чем для уравнения (1.21).

4. При решении интегрального уравнения сведением его к системе линейных алгебраических уравнений обуслов­

42

ленность получаемой системы уравнений будет тем лучше, чем сильнее отличается от нуля определитель системы, т. е. чем дальше расположен параметр X от ближайшего характе­ ристического значения. Поэтому при решении интегральных уравнений (1.72) и (1.78) сведением их к системе линейных алгебраических уравнений обусловленность получаемых систем линейных уравнений будетлучше, чем для уравне­ ния (1.21).

Таким образом, видоизмененные интегральные уравне­ ния (1.72) и (1.78) обладают значительными преимущества­

ми перед исходным уравнением (1.21) как в отношении од­ нозначной разрешимости интегральных уравнений при X = = 1, так и с точки зрения скорости сходимости последова­ тельных приближений и точности численного решения этих уравнений на ЭЦВМ.

До сих пор рассматривался простейший случай кусочно­ однородной среды, состоящей из двух областей однороднос­ ти с диэлектрическими проницаемостями et и ее. При решении многих важных технических задач возникает ситуа­ ция, когда имеется несколько (более двух) областей одно­ родности с различными диэлектрическими проницаемостя­ ми. Целесообразно различать два основных случая: случай

(рис. 5), когда имеется п областей однородности, не охватывающих друг друга и имеющих проницаемости eh, проницаемость окружающего внешнего пространства рав­ на е0; случай У2 (рис. 6), когда п — 1 областей однород­ ности с проницаемостями ек охватываются областью Vn с

43

проницаемостью гп, проницаемость окружающего простран­ ства е0. Все другие возможные случаи представляют ком­ бинацию этих двух.

Расчет электростатического поля в кусочно-однородной среде, состоящей из нескольких областей однородности, хотя и имеет некоторые специфические особенности, однако во многом аналогичен предыдущему (см. приложение 2).

6. СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛА ДВОЙНОГО СЛОЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К РАСЧЕТУ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Применение потенциала двойного слоя основано на том, что кусочно-однородную среду можно заменить однородной, распределив при этом по поверхностям S h раздела сред двойные слои зарядов, плотности xh (М) которых можно подобрать та­

Qким образом, чтобы поле вектора

электрического смещения D оста­ лось неизменным, т. е. таким же, как и в исходной кусочно-однород­ ной среде. Чтобы выяснить, каким уравнениям должны удовлетворять плотности T h (Q), необходимо пред­ варительно исследовать свойства потенциала двойного слоя.

Поскольку нас будет интересо­

вать не поле напряженности Е, а

поле электрического смещения D, то введем скалярный по­ тенциал ф равенством:

При этом потенциал поля объемных и поверхностных зарядов вычисляется по формулам:

Рассмотрим две весьма близкие и эквидистантные поверх­ ности Se и 5,- (рис. 7), заряженные так, что плотности о.

44

и ai на противолежащих элементах обеих поверхностей рав­ ны по величине и противоположны по знаку, т. е. ае (Л4) = = —о{ (М) = а (М). Положим для определенности, что ае > 0. Если расстояние между Se и S( мало по сравнению с расстоянием этих поверхностей до рассматриваемой точки Q поля, то потенциал в этой точке согласно выражению (1.100) определяется выражением

где 5 — срединная для Se и S£ поверхность; rQMg и rQMi —

Если расстояние I между Se и S{ неограниченно умень­ шается, так что в итоге поверхности Se и S{ сливаются со срединной поверхностью S, а величина т (М) = а (М ) I остается конечной, то в пределе две противоположно за­ ряженные поверхности образуют двойной слой и соотноше­ ние (1.102) для потенциала этого слоя переходит из прибли­ женного в точное. Величину т (М) называют при этом плот­ ностью двойного слоя.

Формула (1.102) справедлива для любой точки Q про­ странства, не лежащей на поверхности S, так как расстоя­ ние от такой точки Q до поверхности S, начиная с некоторо­ го момента сближения поверхностей Se и S it значительно

45

превосходит расстояние / между этими поверхностями. Од­ нако формула (1.102) не справедлива для предельных зна­ чений потенциала ф2(Q) и <ре (Q), возникающих при стрем­ лении точки Q к поверхности S соответственно с внутренней и внешней сторон. Более того, эти значения сре (Q) и ф2(Q) не совпадают между собой. Их можно рассматривать как значения на противолежащих элементах поверхностей Se и S2, которые при безграничном сближении этих поверхностей сливаются в один элемент. Так как при уменьшении рас­

стояния I между поверхностями вели­

чина т (М ) = а (М) I остается конечной,

то внутреннее поле смещения D между этими поверхностями является очень интенсивным, что в пределе приводит к конечной разности потенциалов между противолежащими элементами поверх­ ностей Se и S (. Именно интенсивное внутреннее поле смещения является с физической точки зрения причиной скач­ ка потенциала двойного слоя при пере­ ходе через поверхность 5.

Выведем формулы для предельных значений потенциала <ре (Q) и ф2(Q). Вокруг точек Qe и Qt вырежем одина­ ковые элементы поверхностей ASe и AS2 (рис. 8), размеры которых очень велики по сравнению с расстоянием / между

этих элементов можно было считать постоянными, а сами элементы плоскими. При этих условиях поле между элемен­ тами ASe и ASt будет идентично полю плоского конденсато­

Потенциал ф (Q) в точке Q создается как зарядами на элементах ASe и ASt, так и всеми остальными зарядами на поверхностях Se и S t. Потенциал ф (Q) от зарядов на ASe и ASt равен нулю, так как в силу симметрии картины поля,

46

созданного элементами, через точку Q проходит нулевая эквипотенциаль этого поля (симметрия — следствие пре­ небрежения кривизной элементов AS t и ASe). Потенциал поля от остальных зарядов можно определить по формуле (1.102), так как по построению размеры элементов ASe и AS,- значительно превосходят I. Таким образом, из выраже­ ний (1.103) и (1.104) определяем:

(1.105) и (1.106), причем так, чтобы в процессе стремления I было всегда много меньше размеров AS, и учитывая, что-

так как равен нулю суммарный заряд, заключенный внутри поверхности S'. Используя выражение (1.109), докажем,, что нормальная составляющая вектора смещения изменяет­ ся непрерывно при переходе через поверхность двойного-

47

слоя, т. е. что

Рассуждаем от противного. Пусть равенство (1.110) не

выполняется, т. е. Djj — Dln — f (Q), где f (Q) — некоторая функция скачка. Пусть для определенности в некоторой точке Q функция скачка положительна, т. е. / (Q) > 0. Тогда, считая / (Q) непрерывной, найдем на поверхности -S такую конечную окрестность AS точки Q (рис. 10), что для

всех точек этой окрестности f (Q) > 0. По­ строим теперь замкнутую поверхность 5', бесконечно близко прилегающую с обеих сторон к поверхности S и содержащую в себе часть AS этой поверхности. Тогда

j DendS — j D‘ndS

s,

= j f(Q)dSQ> 0.

Это противоречит соотношению (1.109), что и доказывает справедливость соотношения (1.110). Учи­ тывая (1.98), соотношение (1.110) представим в виде

Равенства (1.110) и (1.111) справедливы для всех точек по­

верхности S, в которых вектор смещения D конечен. В мес­ тах нарушения гладкости поверхности S (угловые точки и ребра) напряженность, а следовательно, и смещение могут быть неограниченно большими и равенство (1.110) теряет смысл.

Приведенный вывод соотношений (1.107), (1.108) и (1.110) является наглядным, но не удовлетворяет требованиям ма­ тематической строгости. Строгий вывод этих соотношений можно найти в математической теории потенциала [16], при этом соотношения (1.107) и (1.108) выражают теорему о скачке значений потенциала двойного слоя, а соотношение (1.111)— теорему Ляпунова — Таубера о непрерывности нормальных производных потенциала двойного слоя.

Применим потенциал двойного слоя к расчету электро-

,статического поля в кусочно-однородной среде [48, 90].

48

В отличие от поля электрической напряженности Е по­ ле смещения D не является безвихревым во всем безгранич­

ном пространстве, так как циркуляция вектора/) по конту­ рам L, пересекающим поверхности S k границ раздела сред (рис. 11), вообще говоря, отлична от нуля. Однако внутри

каждого диэлектрика Vk поле смещения D является без­ вихревым-и, следовательно, внутри каждой из областей од­ нородности можно ввести однозначный скалярный потенциал Ф при помощи соотношения (1.98). Значение потенциала в областях Vk будем обозначать через фА, а во внешней облас­ ти — через фг. Этот потенциал будет удовлетворять урав­ нению Пуассона в областях Vp (р — 1,

2, ..., т), где имеется объемнораспределенный заряд, и уравнению Лапласа в остальной части пространства:

Из краевых условий для касательных и нормальных составляющих смещения на границах Sk раздела сред

De D*

Согласно выражению (1.114) скалярный потенциал пре­ терпевает скачок на границах Sk раздела сред, т. е. потен­ циал не является однозначным во всем пространстве.