книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

эффективная оценка погрешности дискретизации:

1ММ/)| = |т(М ,) — т(М/)| <

где величина Q явно оценивается через исходные данные,

Из оценки (П120) вытекает не только сходимость при т -> оо приближенного решения т (М;) к точному т (М,), но и выясняется скорость этой сходимости при возрастании т. Полагая | Х| = 1, сразу же из оценки (П120) получаем оценки погрешности дискретизации для численного решения интегральных уравнений внутренней и внешней задач Дирихле.

Для фактического численного решения интегрального уравнения (П112) может быть применен рассмотренный ранее комбинированный численный метод, т. е. вначале прямым методом решаем систему алгебраических уравне­ ний (П117) для достаточно малого числа участков разби­ ения, после чего полученное приближенное решение уточ­ няем при помощи алгоритма последовательных приближе­ ний (П118) уже для большего числа т участков разбиения контура L. Поскольку в рассмотренном случае v = 2,

т. е. т0 может быть эффективно вычислено по выбранному числу т и исходным данным задачи.

Из соотношения (П110) получаем асимптотическую формулу для общего числа арифметических операций:

320

Аналогично из формул (П101) и (П105) находим

Сравним числа арифметических операций, необходимых для решения рассматриваемых электростатических задач как методом интегральных уравнений, так и методом сеток. При применении метода сеток к решению полевой задачи необходимо искусственно ограничить безграничную область, занятую полем (см. гл. I, 1), и на внешней границе принять нулевое условие. Покроем такую искусственно ограничен­ ную область квадратной сеткой с шагом h, заменим диффе­ ренциальное уравнение системой конечно-разностных урав­ нений и будем решать эту систему наиболее экономичным по числу необходимых арифметических операций методом, т. е. итерационным методом переменных направлений [74, 82]. При этом для числа необходимых арифметических опе­ раций справедливы следующие асимптотические соот­ ношения [74]:

для прямоугольника

для непрямоугольных областей

(П124)

где 62 — погрешность, возникающая за счет конечного чис­ ла итераций, производимых при методе переменных направ­ лений.

Погрешность 62 необходимо по порядку малости согла­ совать с погрешностью дискретизации метода сеток, для которой справедливо следующее асимптотическое соотно­ шение:

Поэтому

1 1

Из соотношений (П123) и (П124) получаем: для прямоугольника

для непрямоугольных областей

(П127)

Из соотношений (П120) и (П125) находим, что для того, чтобы погрешность дискретизации б1( а с ней и погрешность 62 имели одинаковый порядок малости как в методе инте­ гральных уравнений, так и в методе сеток, необходимо вы­ полнение асимптотического равенства

гральных уравнений нужно затратить значительно меньшее число арифметических операций, чем при применении ме­ тода сеток, т. е. метод интегральных уравнений более эко­ номичный, чем метод сеток.

Приведенные формулы и сделанный из них вывод нуж­ даются в некоторых оговорках и пояснениях. Соотношения (П121), (П122), (П129) и (П130) являются асимптотиче­ скими, поэтому сделанный вывод справедлив лишь при до­ статочно большом т и достаточно малом h, что однако ни­ сколько не снижает его значения, так как усложнение ре­ шаемых задач и стремление повысить точность расчетов с необходимостью приводят к увеличению числа т участков разбиения и к уменьшению шага сетки h.

Во всех приведенных рассуждениях нигде не исполь­ зовались какие-либо допущения о размере области, поэтому сделанный вывод справедлив и в отношении возможностей сравниваемых методов для решения внутренней задачи Дирихле. Таким образом, даже при решении внутренней задачи Дирихле, когда несущественны основные недостат­ ки конечно-разностного метода, перечисленные в гл. I, 1, метод интегральных уравнений все равно оказывается более

322

экономичным по числу арифметических операций, а следо­ вательно, и более предпочтительным, чем метод сеток.

При использовании метода сеток решение находится во всех узлах сетки, в то время как при применении метода интегральных уравнений определяется вначале только плотность вторичных источников т, зная которую, можно найти потенциал в любой точке пространства. Для этого необходимо затратить дополнительную вычислительную работу, объем которой значительно меньше объема вычис­ лительной работы, необходимой для нахождения т, так как потенциал и градиенты потенциала обычно подлежат определению не во всем пространстве, а в некоторой его небольшой части.

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Примеры

оказалось возможным охватить одной программой. Эта программа осуществляет численное решение системы интегральных уравнений (1.232) и (1.233) в случае электро­ статического поля и системы (2.161) и (2.162) в случае маг­ нитостатического поля. Небольшими видоизменениями, пре­ дусмотренными в программе, можно рассчитывать стати­ ческие поля в кусочно-однородных изотропных средах как при помощи потенциала простого слоя, так и примене­ нием потенциала двойного слоя. Описываемая программа составлена С. С. Романовичем, Л. В. Федчун на языке ФОРТРАН для ЭЦВМ БЭСМ-6. Программа состоит из на­ бора подпрограмм, осуществляющих:

1) вычисление правых частей системы алгебраических уравнений, которая аппроксимирует систему интеграль­ ных уравнений;

2)вычисление коэффициентов матрицы системы алгеб­ раических уравнений;

3)решение системы уравнений;

4)расчет поля внутри, на границе и снаружи диэлектри­

ка, проводника или ферромагнетика.

В программе предусмотрен учет симметрии рассчиты­ ваемого поля относительно трех координатных осей; при этом

симметрия может быть как четной, так и нечетной. Благо­ даря учету симметрии, число элементарных участков, на которое дробится граница раздела сред, может превышать порядок решаемой системы алгебраических уравнений в 8, 4 или 2 раза (в зависимости от числа осей симметрии).

П ри м ер П 1. Этот пример использовался для отладки программы. По уравнениям (2.161) — (2.162) рассчитывалось магнитное поле в системе, показанной на рис. ПЗ, а; при этом ток в квадратной рамке принимался равным 1 А, а среда внут-

ри прямоугольного параллелепипеда — однородной и изо тройной с проницаемостью р0. Очевидно, что при этом плот­ ность двойного слоя должна равняться нулю, а распреде­ ление а должно создать внутри параллелепипеда такое же поле, как и рамка с током в однородном пространстве. Разбиение четверти поверхности параллелепипеда на уча­ стки показано на рис. ПЗ, б. Значения а и т в срединных точках участков разбиения, рассчитанные по программе, представлены в табл. П1. По найденному о рассчитывалась магнитная напряженность в точках 1—4, расположенных внутри параллелепипеда (рис. ПЗ, а). В точках 5—18, расположенных вне параллелепипеда, определялась маг­ нитная напряженность, созданная найденным распределе­

нием т и током в рамке. Значения л>й составляющей этих напряженностей, а также значения х-й составляющей

#*2> магнитной напряженности, рассчитанной только от рамки с током при условии, что все пространство однородно и имеет проницаемость р0, представлены в табл. П2. Даже при таком грубом разбиении поверхности параллелепипе-

324

да наблюдается близкое совпадение Я* ’ и Н{^ . Это свиде­

ма рассчитывалась в случае, когда магнитная проницаемость параллелепипеда бесконечно велика. При этом использо­ валось разбиение, показанное на рис. ПЗ, б, а расчет поля производился как введением простого слоя магнитных за­

Значения нормальной к границе раздела сред составляю­

щей напряженности Я°, посчитанные по найденному рас­ пределению а, показаны в табл. ПЗ, а в табл. П4 приведены

значения х-х составляющих Н° и Hi напряженности в точках 5—18, рассчитанные вне ферромагнитного бруса

пределении поверхностной плотности о электрического за­ ряда по поверхности уединенного заряженного проводяще­ го бруса, показанного на рис. П4, а. Расчет велся в

325

Т а б л и ц а П З Т а б л и ц а П 4

участков разбиения. С учетом симметрии приведены зна­

чения о только в некоторых точках, по которым просто

восстановить распределение о на всей поверхности.

Таблица П5

326

а

х

Рис. П4.

Пример П4. Рассчитывалась магнитная система, пока­ занная на рис. П5, а. Такие С-образные магнитные системы труднее всего поддаются численным расчетам. Магнитная проницаемость магнитопровода принималась бесконечно большой, намагничивающие ампер-витки IW — единичны­ ми. Размеры магнитопровода в сантиметрах и разбиение четверти его поверхности на участки показано на рис. П5, б. Решались интегральные уравнения (2.135) относительно о и (2.150) относительно т, затем рассчитывалось распреде­ ление поля. Значения нормальной составляющей напря­

женности Н„ в центральных точках участков разбиения

328