книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

т. е. если а0 (Q) — собственная вектор-функция системы

•+

интегральных уравнений (П66), то о0 (Q) одновременно является собственной вектор-функцией системы (П49) и удовлетворяет соотношениям (П93). При доказательстве

3-й спектральной теоремы было показано, что если а0 (Q) — собственная вектор-функция системы (П49), соответствую­ щая характеристическому значению Х0 = —1, то ook (Q) =з гз 0 для всех k Ф п, и п + 1, ап и an+i совпадают с распре­ делениями плотности электрического заряда по Sn и S„+i, когда среда внутри Sn и вне Sn+i является проводящей (рис. П1). Из уравнений (П93) следует, что проводники, ограниченные поверхностями Sn и S„+i, не заряжены. Поэтому а0п (Q) — Oon+i (Q) = 0 , т. е. Я0 = —1 не являет­ ся характеристическим значением для видоизмененной си­ стемы интегральных уравнений. Из доказанной леммы и 3-й спектральной теоремы вытекает 4-я спектральная теорема:

Если выполнены условия (П91), то и в случае / 2 все характе­

уравнений однозначно разрешимы при любых значениях диэлектрических проницаемостей и их решение может быть найдено методом последовательных приближений, т. е. для расчета поля в кусочно-однородной среде, состоящей из любого числа областей однородности, достигнута также полнота результатов, что и для расчета поля в кусочно­ однородной среде, состоящей из двух областей однород­ ности.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

О численном решении интегральных уравнений относительно плотностей вторичных источников

Рассмотрим два наиболее распространенных численных метода решения интегральных уравнений: метод сведения интегральных уравнений к системе линейных алгебраи­ ческих уравнений и метод последовательных приближений.

3 1 0

Начнем с численного решения интегральных уравнений методом сведения их к системам линейных алгебраических уравнений. Для простоты будем рассматривать одно ин­ тегральное уравнение, так как численное решение системы принципиально ничем не отличается от решения одного уравнения. Для общности рассмотрения вначале не будем останавливаться на конкретном виде ядра интегрального уравнения, т. е. будем исследовать интегральное уравне­ ние общего вида

где коэффициенты (Q) зависят от свойств ядра К (Q, М) и выбора формулы приближенного интегрирования.

Подставим соотношение (П95) в уравнение (П94) и по­ требуем, чтобы точка Qпробегала последовательно точки М 1г М2, ..., Мп. При этом для нахождения приближенных зна­ чений а (Mk) получаем систему линейных алгебраических уравнений

а ( М ,) - К 2 М М г)ММ*)==/(М,) (* - 1, 2,

(П96)

Решив систему уравнений (П96)* находим приближенные

значения а (Mk) в выбранной дискретной системе точек. После чего приближенные значения в остальных точках множества L определим по следующей формуле:

Решение интегрального уравнения (П94) методом после­ довательных приближений проводится согласно приложе­ нию 1 при помощи следующего соотношения:

оп(Q) = КJ а„_, (М) К (Q, М) dlM+ / (Q)

311

Поскольку интеграл в соотношении (П98) точно анали­ тически удается вычислить в исключительно редких случа­ ях, то при реализации процесса последовательных прибли­ жений на ЭЦВМ этот интеграл приближенно заменяют сум­ мой и расчет ведут по формуле

Нетрудно видеть, что алгоритм (П99) представляет собой процесс последовательных приближений для решения си­ стемы линейных алгебраических уравнений (П96). Однако алгоритм последовательных приближений (П99) рас­ сматривают как самостоятельный численный метод решения интегрального уравнения (П94), так как на сходимость этого алгоритма имеет смысл рассчитывать только в том случае, если сходятся последовательные приближения

(П98).

Как при замене интегрального уравнения (П94) системой линейных алгебраических уравнений (П96), так и при реа­ лизации метода последовательных приближений (П98) при помощи соотношений (П99) возникает одна и та же погрешность б1} обусловленная приближенной заменой интеграла конечной суммой (П97) и потому называемая погрешностью дискретизации. Погрешность дискретиза­ ции 6Хзависит от числа т, и для нее в общем случае справед­ лива следующая оценка [25]:

К (Q, М).

Если, с точки зрения погрешности дискретизации, ме­ тод последовательных приближений (П99) и метод сведения интегрального уравнения к системе линейных алгебраи­ ческих уравнений (П96) идентичны, то, с точки зрения объ­ ема вычислительной работы, т. е. с точки зрения того числа арифметических операций, которые необходимо произвес­ ти для фактического нахождения решения, эти методы су­ щественно отличаются друг от друга. Так, в руководствах по вычислительной математике [3] показывается, что для *

3 1 2

числа N1 арифметических операций, необходимых для решения системы линейных алгебраических уравнений по­ рядка т тем или иным прямым методом (например, мето­ дом Гаусса), справедлива следующая формула:

где приближенный знак равенства стоит потому, что не уч­ тены члены, содержащие т в более низкой степени, чем 3.

Формула (П101) является асимптотически точной при т-+ оо, т. е. относительная погрешность этой формулы стремится к нулю с ростом т. Величина А зависит от приме­ няемого прямого метода решения системы линейных урав­ нений [31: так, для метода Гаусса с выбором главного эле­

мента и метода ортогонализации А = -у, а для схемы Жор­

дана и схемы без обратного хода А = -у.

Оценим число Л/2 арифметических операций, произво­ димых при решении интегрального уравнения методом по­ следовательных приближений (П99). При использовании этого метода всегда возникает погрешность 62, связанная с конечностью числа N„ выполняемых итераций. Если по­ следовательные приближения (П99) сходятся как геометри­ ческая прогрессия со знаменателем а, то для погрешности 62 справедлива следующая оценка [28]:

Погрешность 62 должна быть согласована с погреш­ ностью дискретизации 6Х, иначе говоря, вряд ли стоит вы­ бирать число итераций N„ столь большим, чтобы погреш­ ность 6 2 была много меньше погрешности Погрешности 62 и 6j должны быть одного и того же порядка малости от­ носительно т. Поэтому выберем Na таким, чтобы выполня­ лась оценка

313

Так как число операций, производимых на каждом ша­ ге итерационного процесса (П99), равно 2т а с точн остью до членов более низкого порядка относительно т, то для общего числа арифметических операций N2, производимых при решении интегрального уравнения методом последо­ вательных приближений, получаем

т. е. при достаточно больших т число арифметических опе­ раций, необходимое для решения интегрального уравне­ ния методом последовательных приближений, значительно меньше числа арифметических операций, необходимого для решения интегрального уравнения сведением его к системе линейных алгебраических уравнений (подразумевается, что система алгебраических уравнений решается прямым методом). Таким образом, потенциально* возможности ме­ тода последовательных приближений лучше, чем метода сведения к системе алгебраических уравнений.

*Термин «потенциально» здесь применен потому, что неравенство jV2<

<jVj справедливо при достаточно больших т, т. е. когда требуется

высокая точность, в то время как при малых т, вообще говоря, кв исключена возможность обратного неравенства N 2> N v причем эта воз­ можность часто реализуется.

314

Покажем, что сочетая оба рассмотренных метода, можно построить способ решения интегрального уравнения, бо­ лее экономичный по объему вычислительной работы, чем каждый из этих методов в отдельности. Идея состоит в том, что вначале интегральное уравнение заменяется системой линейных алгебраических уравнений (П96) малого порядка т 0, которая решается прямым методом. После решения си­

стемы (П96) приближенное решение а0 (Q) находится по фор­ муле (П97) в остальных точках множества L и используется

как начальное приближение а0 (Mk) в методе последователь­ ных приближений (П99) уже для большого числа точек т, выбор которого диктуется требуемой точностью решения задачи.

Для реализации предлагаемого метода необходимо найти такое число т0 при уже выбранном числе т, чтобы общее число арифметических операций N 3 (т0) было как можно меньше. Для решения сформулированного вопроса выведем формулу для N 3. Согласно соотношениям (П101) и (П105) получаем

a

(П108)

Исследуем на минимум по переменной яг0 функцию, стоящую в правой части соотношения (П108). Диф­ ференцируя по т0 правую часть соотношения (П108),

315

находим

3Aml — 2m2v

a

Откуда следует, что минимум достигается при

т. e. в предлагаемом комбинированном методе при доста­ точно больших т число необходимых арифметических опе­ раций почти в 3 раза меньше, чем число необходимых ариф­ метических операций в методе последовательных прибли­ жений. Таким образом, когда требуется высокая точность (т. е. при больших т) целесообразно применять рассмотрен­ ный комбинированный метод решения интегрального урав­ нения.

Проиллюстрируем рассмотренные вопросы на примере

(П112)

316

к которому сводится расчет плоского электростатического поля в случае двух кусочно-однородных сред с границей раздела L [см. формулу (1.147)1.

При К = 1 и 1 = — 1 уравнение (П111) представляет собой интегральное уравнение соответственно для внутрен­ ней и внешней задачи Дирихле. В самом деле, разыскивая решения задач Дирихле в виде

и учитывая предельные свойства потенциала двойного слоя, соответственно для внутренней и внешней задач получим

грешности для решений как внутренней, так и внешней задач Дирихле. Численное решение внутренней задачи Ди­ рихле методом интегральных уравнений исследовалось в работе [29], в которой решение разыскивалось только в ви­ де потенциала двойного слоя, что приводило к несколько иному интегральному уравнению, чем выписанное выше. Для этого интегрального уравнения в случае выпуклого контура L в работе [29] выведена эффективная оценка по­ грешности дискретизации через исходные данные задачи.

В работе [42] получены эффективные оценки погрешнос­ ти, возникающие при численном решении интегрального

317

уравнения типа (П112). Основные результаты из [42] приво­ дятся ниже без доказательств.

Поскольку интегральное уравнение (П112) охватывает не только внутреннюю, но и внешнюю задачу Дирихле, то приводимые ниже результаты дополняют и обобщают

где Acow — угол, под которым виден k-й участок разбиения из срединной точки i-ro участка разбиения (рис. П2).

Аналогично для реализации ал­ горитма последовательных прибли­ жений получаем следующую фор­ мулу:

Лт _

Соотношения (П117) и (П118)

очень удобны для расчета на ЭЦВМ, так как коэффициен­ ты А©*, имеют простой геометрический смысл и легко на­ ходятся из чертежа или по координатам срединных и край­ них точек участков разбиения по формуле

В работе [42] доказано, что в случае выпуклого контура L с всюду конечным радиусом кривизны последовательные приближения (П118) сходятся к решению системы (П117) не медленнее, чемгеометрическая прогрессия со знаменателем

3 1 9