ok (Q)---- i r S |
|
cos (rQM, nQ) |
|
|
’QM |
|
|
|
i=1St |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
& |
C0S (r Q P ’ ” q ) |
dSp |
dSM = |
|
Si |
S i |
.2 |
|
|
|
|
|
r 'QP |
|
|
|
J _ v |
qj |
cos (?QP’ n<?) |
dSp |
( 6 = 1 , 2 , . , . , /г). |
2я 2j |
Sf J |
|
r2 |
|
|
|
i=i |
6/ |
|
|
|
|
|
(П65)
Таким образом, для задачи Робэна получаем неоднород ные системы интегральных уравнений (П64) и (П65), которые значительно удобнее для численного решения, чем однородная система (П59). Системы интегральных уравне ний (П64) и (П65) имеют единственное решение, которое можно найти методом последовательных приближений. Чтобы доказать это, необходимо исследовать спектр видо измененных систем интегральных уравнений.
Справедлива лемма сравнения: Еслихк = (^Fkh (Q)cISq >
г |
то спектр |
системы интегральных |
> 0, j F hi (Q)dSq — 0, |
Si |
|
|
|
уравнений |
|
|
|
|
cos (7qm, nQ) |
<=1S, |
r QM |
— Fhi (Q) dSM — |
|
|
= MQ) |
|
(П66) |
совпадает со спектром |
системы |
интегральных уравнений |
(П49), за исключением значений |
= |
1 и Х0= |
|
|
|
и* |
|
|
|
2я |
Покажем, что значение К0 = 1 не является характеристи ческим для системы уравнений (П66). Рассуждая так же, как и при доказательстве леммы сравнения, из гл. I,' 5
находим, что если a0 (Q) = {go* (Q)} — собственная век
тор-функция системы уравнений (П66), соответствующая
*—у
значению Я,0 = 1, то о0 (Q) одновременно удовлетворяет
однородной системе уравнении |
|
ао* (Q)---- V |
ф cr0l (М) |
_cos (/^ м’ V |
= |
|
*=1si |
|
'«м |
|
= |
0 |
(k = |
1, 2, . , . , |
n) |
и соотношениям |
t |
|
|
|
^ o0k (Q) cISq= 0.
Введем в рассмотрение потенциал
м-
' D M
k=\ s k
Используя формулы (1.23) и (1.24), из системы (П67) находим, что нормальные производные этого потенциала на поверхностях Sk связаны следующими соотношениями:
= |
|
|
|
|
( Ь 1 |
, 2 .......... |
п). |
Так как (J, = 1, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
(П70) |
|
дфи |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0. |
|
|
|
(П71) |
|
|
|
дп |
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что <р (Q) = |
const |
|
на |
поверхности St. |
Кроме того, из соотношения |
(Q) = - |
d%t |
/гл |
дп (Q) |
|
дп |
(Q) — |
и из равенств (П68) и (П71) следует |
|
|
|
|
f |
^ |
|
(Q) dSQ= 0, |
|
|
дп |
|
|
|
|
|
|
|
а значит и |
|
d%t |
|
|
|
|
|
|
фф(<2) |
(Q) dSQ = |
0. |
|
(П72) |
|
дп |
|
st |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из соотношений (П70) |
и (П72) находим |
|
|
|
2 ф ф ( < а - ^ г м < № “ *=1 5*
- £ 4 ^ | г $ Ф -15Г-. (Q) ^ . |
(П73) |
Из соотношения |
(1.48) |
получаем |
|
|
S |
i + h |
d<Pik |
(Q) (ISq — |
|
i - P* |
дп |
|
|
|
кф>. |
|
|
|
|
|
I grad ф I3 do, |
(П74) |
|
k=£t |
vk |
|
|
где Vk — внутренняя к Sk область,
Формулу Грина (1.48) можно применить и для внешней ко всем поверхностям Sk области. Учитывая при этом, что нормаль п всегда направлена внутрь этой области, из (1.50) находим
S Ф Ф № ) |
— J I Sra d Ф I2 d v • ( ° 7 5 ) |
fc=l sk |
v° |
где V0 — внешняя ко всем поверхностям S k область. Из соотношений (П73) — (П75) получаем
п»
f | grad (pj2dv = |
Y i |
I |
J | grad q>\2dv. |
(П76) |
Ко |
i A. |
кф( |
Рк |
vk |
|
\ |
< |
0 для всех k Ф t, так как f>k < |
Коэффициенты |
j |
< 1. Поэтому соотношение (П76) может выполняться толь ко тогда, когда
\ | grad ф j2 dv = |
0; |
J | grad ф |a dv = |
0, |
vk |
|
T . e. когда ф = const во всем безграничном пространстве. Отсюда следует, что
|
d<P jk |
d f e k |
= |
n |
|
и потому |
дп |
дп |
о |
|
|
d%k |
|
|
|
|
О0/г |
|
Ik |
_ |
А |
дп |
|
дп |
= |
U: |
т. е. К0 = 1 не может быть характеристическим значением системы (П66). Остальная часть доказательства сформули рованной леммы полностью совпадает с Доказательством леммы сравнения из гл. 1,5.
Из доказанной леммы сравнения вытекает 2-я спектраль ная теорема: Если
О < x k — § Fkk (Q) dSQ< 4л и <|> Fki (Q) dSQ = О, (П77)
то все характеристические значения системы интегральных уравнений (П66) вещественные и первое характеристическое значение по модулю больше единицы.
Из леммы сравнения следует, что спектр системы ин тегральных уравнений (П66) состоит из всех, кроме Я0 = = 1, характеристических значений системы (П49) и зна
чений Kok = ---- ;— ----- г . Поэтому из 1-й спектральной
теоремы и из соотношений (П77) следует, что все характе ристические значения системы (П66) вещественные и первое характеристическое значение по модулю больше единицы.
Для систем интегральных уравнений (П62) — (П65) hok — °°, поэтому спектр этих систем совпадает со спектром системы (П49), за исключением = 1. Первое характе ристическое значение систем уравнений (П62) — (Ц65) совпадает со вторым характеристическим значением системы (П49) и, следовательно, по модулю больше единицы. Отсю
|
|
|
|
|
|
|
да вытекает, |
что |
системы уравнений (П62) — (П65) |
обла |
дают такими |
же |
преимуществами |
перед |
системой |
(П48), |
как |
и уравнения |
(1.79) — (1.81) |
перед |
уравнением |
(1.21) |
(см. |
гл. I, 5). |
|
|
|
|
Рассмотрим случай J2 (см. рис. 6). Для плотностей вто ричных источников получаем систему интегральных урав
нений |
|
M Q ) — w l i & a ^ M ) — |
^ ^ Q)-~dSM== |
П fc = l s ' |
r QM |
— 2е07^Дпр (Q).
При этом для всех k ф п и п -f 1 получаем
е0 ^
+
а
gp —в
ео + еп
^п+1
так как среда с проницаемостью е0 находится внутри S n, и
£,п Вр еЛ+ 80
До сих пор принимали, что нормаль hq направлена во внешнюю к рассматриваемой поверхности область. Однако в случае J2 целесообразно направление нормали на поверх ности Sn изменить на противоположное, т. е. считать, что нормаль для любой поверхности S h направлена внутрь об ласти с проницаемостью е0. При этом вид системы интеграль ных уравнений остается прежним, только
|
|
^п = ^л+1 = |
— е0 |
|
|
|
|
ел + ®0 |
|
|
Приведем систему уравнений к форме (П48) [или |
(П49) ]. |
Рассмотрим |
два |
возможных |
варианта: первый, |
когда |
е „ > е* (k = |
1, 2, |
..., п — 1), и |
второй, когда е„ < |
е, = |
= max гк. |
|
|
|
|
|
|
k |
|
следующая 3-я спектральная |
теорема: |
Справедлива |
В случае J2 |
все характеристические значения |
системы |
интегральных уравнений (1.158) вещественны, в интервале
(—1, 1) нет характеристических |
значений-, значение К0 = |
= |
1 — характеристическое-, значение /.0 = — 1 |
для первого |
варианта является характеристическим, а |
для второго |
не |
является характеристическим. |
|
|
|
|
Доказательство первых трех утверждений сформулиро |
ванной теоремы проводится точно так же, |
как для 1-й |
спектральной теоремы. |
|
|
|
|
|
Поэтому остановимся только на доказательстве по |
следнего |
утверждения теоремы, |
которое |
и |
показыва |
ет, |
чем |
собственно отличаются |
между |
собой |
случаи J1 |
и J2. Рассмотрим однородную среду с |
проницаемостью г, |
в которой на поверхностях S k границ раздела сред созданы «искусственные» распределения зарядов с плотностями ook (Q), удовлетворяющими системе интегральных уравне ний (Г1 50). Применяемым ранее способом можно показать,
что локализованные в областях Vlo, Vo и Vk (k = 1, 2, ..., п) энергии электрического поля, созданного этим распределением зарядов, связаны соотношением
Wo, + W0e= f i |
(П78) |
*=i |
0 |
При Х0 = —1 из соотношения (П78) получаем
П
|
|
|
WQl + W0e = |
- S |
- ‘ ~ |
Pi Wk- |
(П79) |
Для |
первого варианта |
рл = 1 и |
Pfe < |
1, |
поэтому соот |
ношение |
(П79) может выполняться, |
если |
Woi — Woe = .0 |
и Wh = |
0 для всех k Ф п, т. е. если среда вне Vп является |
проводящей. При этом о0* s |
0 для всех k, отличных от п |
и п + |
1, а о0п (Q) и cTon+i (Q) |
совпадают с распределением |
плотности электрического за |
|
|
|
|
ряда по поверхности Sn внут |
|
|
|
|
реннего проводника и поверх |
|
|
|
|
ности 5„+i внешнего провод |
|
|
|
|
ника |
(рис. |
П 1) и в общем |
|
|
|
|
случае отличны от тождест |
|
|
|
|
венного нуля. Таким образом, |
|
|
|
|
Х0 = —1 |
является характери |
|
|
|
|
стическим значением. |
|
|
|
|
|
Для второго варианта р, = |
|
|
|
|
— 1 и Pft < |
1, поэтому соот |
|
|
|
|
ношение (П79) может выпол |
|
|
|
|
няться, |
если Woi — |
= 0 |
|
Рис. Ш. |
и Wk — 0 для всех |
е. |
|
если среда вне Vt является
проводящей. Отсюда, как и при доказательстве 1-й спек
тральной теоремы, находим, |
что |
Сто* (Q) в |
0 для всех k |
и, следовательно, |
Х0 = —1 |
не |
является |
характеристи |
ческим. |
|
|
|
|
Для улучшения спектральных свойств системы интег |
ральных уравнений |
(П48) и |
для достижения однозначной |
разрешимости этой системы при бесконечных значениях диэлектрических проницаемостей (задача Робэна) систему уравнений (П48) в случае J2, как и в случае Jlt целесообраз но видоизменить с учетом априорно известных интегральных свойств искомых источников поля. Найдем эти интеграль ные свойства искомых источников. Начнем со случая ко
нечных проницаемостей |
гк (k = |
1, 2, ..., п). Для всех зна |
чений k, не равных п и |
п + |
1, |
получаем |
|
f oh (Q)dSQ= е-* ~ 8° |
qk |
(f t- 1 , 2, |
(П80) |
где qk — полный свободный заряд внутри Sk.
Исследуем интегральные свойства |
on (Q) и стп+1 (Q). |
Для этого внутри объема Vn выберем |
произвольную по |
верхность 5', не охватывающую никаких свободных зарядов,
расположенных вне Sn (см. |
рис. |
6). По теореме Гаусса на |
ходим |
|
|
|
<j) EndS = |
^ 2 |
Яи + <7осj > |
(П81) |
S ' |
k ~ l |
/ |
|
где q0i — суммарный свободный заряд в области V0i. Заменяя кусочно-однородную среду однородной с про ницаемостью е0 и распределяя на границах S k раздела сред вторичные заряды ak (М) таким образом, чтобы поле
напряженности Е осталось прежним, вновь из теоремы Гаусса получаем
fEndS= ~h~ (S ~ъГЧк + q°l +
+2 f° k (Q )d S Q+ § a n (Q)dSQ) .
k—l $k |
$n |
f |
|
(П80), |
Из последнего равенства, учитывая |
соотношение |
находим |
|
|
|
|
|
$ £ edS = |
- i - ( 2 9 * + |
? < « + $ аЛ(Q) |
) • |
(П82) |
S' |
® \ k=\ |
|
|
|
|
|
Из формул (П 81) и (П 82) получаем |
|
___^0 |
где |
qn — суммарный свободный заряд внутри |
сти |
Sn. |
|
Аналогично доказывается, что |
^ °п+1(Q) dSQ= |
<?„+,, |
(П84) |
«л+1 |
е« |
|
где 7„-|-i — суммарный свободный заряд внутри поверхности
Sn+i.
В случае, когда проницаемости гк бесконечно велики, т. е. когда среда внутри областей Vk является проводящей, для искомых источников справедливы интегральные со отношения:
ф ол (Q) dSQ= (6 = 1, 2, . . . . п - 1 ) ; (П85)
§ On (Q) dSQ=» — qn\ |
|
(П86) |
^n+i (Q) dSq =* qe, |
|
(П87) |
sn+l |
|
|
n — 1 |
|
|
где qk — заряд 6-го проводника; qn = 2 |
Ян — суммарный |
Лаве1 |
|
qe — заряд |
свободный заряд внутри n-го проводника; |
на внешней поверхности п-го проводника, величина кото рого может быть произвольной и никак не связана с вели чинами зарядов, заключенных внутри этого проводника.
Используя соотношения (П80), (П83) и (П85), полу чаем следующие две формы видоизмененных систем интег
ральных |
уравнений: |
|
|
COS (rQM’ |
|
|
|
|
—^ -§г ^ ст*( м |
|
|
2п |
|
o k ( Q ) |
) |
72 |
~s!T cISm — |
|
Sk |
|
|
rQM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п+1 |
|
|
|
|
|
|
|
1фк Si |
|
Г<1М |
|
|
|
|
г[%7+1}qi r + |
|
2eoKEnP(Q) |
для |
кф п ; |
|
|
|
|
cos (7QM, nQ) ( |
2л |
(ISm — |
|
Sn |
|
|
,2 |
1 |
Sn |
|
|
|
rQM |
|
|
|
|
|
|
cos (rQM, nQ) |
|
|
|
. - s - S |
|
|
A |
dSM |
|
|
Офп Si |
|
'QM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(П88) |
|
|
|
|
COS {rQM, nQ) |
|
|
|
Ьфп Si |
,2 |
|
|
|
|
TQM |
|
|
|
|
cos (7QP, nQ) |
dSM |
|
|
|
St |
-------2--------abf |
|
|
|
|
|
rQP |
|
|
|
'QM
S n |
s n |
|
dSiu = |
r QP |
|
" |
|
-1 Р* v* ее — ео |
4t ф ^ ( - л г ^ ^ + |
я п~^ |
|
|
|
- А‘~ ъ г Ь |
еi |
Si |
ГЧр |
/=1 |
|
& |
+ 2&0kkEnp (Q) (k = 1, 2, . . . , п + 1, a en+i = е„).
(П89)
Для случая системы из п заряженных проводников система интегральных уравнений (П88) принимает вид
о* (Q) |
|
|
|
|
|
|
cos (}QM, nQ) |
2я |
|
|
■ $ ч |
( |
М ) |
|
|
dSM — |
|
|
2л |
J |
"k |
|
|
' Q M |
|
Sk |
|
|
|
Sk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'■улг "V' |
|
4k |
•¥=* St |
|
|
|
|
72 |
|
Sk |
|
|
|
|
1 Q M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{k = 1, 2..........n — 1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos (^QM |
+ |
Sn dS,\i — |
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
r Q M |
|
|
2я |
У § |
a, (M) |
|
dSM- |
£ w. |
i=fcn St |
|
|
|
|
QM |
|
k=i |
|
|
|
|
|
|
on+1 (Q) |
____L |
ф |
|
|
COS (^QM’ V |
|
On+ |
1 ( M ) |
|
|
|
2я |
„J |
|
|
|
|
|
|
|
5n + l |
|
|
|
|
2it |
|
d5jn = |
|
>n+l |
|
|
|
5n + l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(П90)
Аналогичный вид для задачи Робэна принимает и систе ма (П89).
Исследуем спектр видоизмененных систем интегральных
уравнений. |
|
сравнения: Если 0 •< |
Справедлива следующая лемма |
< н к = § Fkk (Q) dSQ< 4л, |
|
|
ф Fki (Q) cISq = 0 при k < л; |
ф |
/w h (Q) dSQ= 0; |
Si |
sn+l |
|
FniiQ) dSQ = 4л при t = 1, 2, . . , , я — 1;
Fn+\,i (Q) dSQ— 4л при i = l , 2 , . , . , n, (П91)
то в случае J2 спектр системы интегральных уравнений (П66) совпадает со спектром системы интегральных урав нений (П49), за исключением значений Х0 = 1, Х„ — —1
и Хо/, — для первого и значений Хй — 1 и
—для второго вариантов.
Вдоказательстве нуждается только утверждение, что Х0 = —1 не является характеристическим значением для
видоизмененной системы (П66). Остальные утверждения леммы доказываются точно так же, как и ранее.
Пусть Х0 = —1 и о0 (Q) являются характеристическим значением и собственной вектор-функцией системы интег ральных уравнений (П66) для первого варианта случая Jt, т. е. удовлетворяются уравнения
|
сто* (Q) |
J* |
п+1 £ |
cos (rQM, nQ) |
Fm (Q) dS M |
|
2 |
9 |
(Тен (М ) |
|
2л |
|
|
|
/ = 1 |
S i |
rQM |
|
|
|
|
= |
0 |
( 6 = 1 , 2 ..........n + 1 ) . |
(П92) |
Интегрируя каждое из этих уравнений по точке Q вдоль поверхности Sk, используя соотношение (1.36) и учитывая,
что для л-го уравнения р„ = 1 и нормаль hq направлена внутрь области, ограниченной Sn, а также условия (П91), находим
a0k(M)dSM==0 |
(6 = 1, 2, |
. . . , п + 1). |
(П93) |
Из уравнений (П93) и (П92) следует |
|
о» «Э + -fe- S Ф |
|
"Q) dSM - |
0 |
/=1 gt |
|
rQM |
|
(6=1, |
2.......... п + |
1), |
|
