где X(I)— наименьшее по модулю характеристическое зна чение оператора К, называемое также первым характерис тическим значением.
Из соотношения (П38) следует, что при |
|
IЯ [ < 1А,(1>( |
(П39) |
последовательные приближения (П24) сходятся, |
а при |
| М > |^ (1)| |
(П40) |
последовательные приближения (П24), вообще говоря, рас ходятся.
Критерий (П39) сходимости последовательных прибли жений является важным и неоднократно нами использует ся. Этот критерий применим и в том случае, когда ядро
К (Q, М) не удовлетворяет условию (П17) и, следовательно, неравенством (П36) нельзя воспользоваться. Такая ситу- * адия возникает для ядра со слабой особенностью.
Отметим, что в алгоритме последовательных приближе ний (П24) необязательно за начальное приближение а0 (Q) брать свободный член / (Q). За начальное приближение
может быть принята произвольная функция из |
L2 (V), |
при этом при выполнении одного из неравенств |
(П35), |
(П36) и (П39) последовательные приближения (П24) схо дятся к решению.
При реализации алгоритма последовательных прибли жений на ЭЦВМ важное значение имеет скорость сходимос ти последовательных приближений. Чем быстрее сходятся последовательные приближения, тем меньше число итера ций необходимо просчитать для нахождения решения с за данной точностью. Относительно скорости сходимости по следовательных приближений справедливо следующее утверждение*: при выполнении неравенства (П39) последо вательные приближения сходятся не медленнее чемгеометри
ческая прогрессия со знаменателем а = Ц 1 Отсюда сле
1'Ц'М
дует важный вывод: при фиксированном X последовательные приближения сходятся тем быстрее, чем больше модуль первого характеристического числа.
До сих пор имелась в виду среднеквадратичная сходи мость к решению, т. е. сходимость по норме пространства
* Это утверждение справедливо, если характеристическое значение л0>— простое.
Ьг (К). Из среднеквадратичной сходимости последователь ных приближений, вообще говоря, не следует сходимость в каждой точке области V, т. е. поточечная сходимость. Однако при достаточной гладкости решения из средне квадратичной сходимости вытекает поточечная сходимость [76]. Кроме того, ряд Неймана (П28) будет сходиться в каж дой точке, причем абсолютно и равномерно, при выполне нии неравенства (П35) [или (П36)1 и дополнительного условия
J |K(Q, M)|2dM < A
v
(А — некоторая постоянная) для любых Q.
Алгоритм (П24) последовательных приближений схо
дится лишь для достаточно малых Я, т. е. для таких Я, которые лежат внутри круга сходимости. Однако, если видоизменить процесс последовательных приближений, то при определенных свойствах оператора К можно добить ся сходимости последовательных приближений для любых
нехарактеристических значений Я [28]. Один из таких про цессов последовательных приближений, сходящийся для
любых Я, построен в гл. III, 2.
До сих пор рассматривалось интегральное уравнение (П1) Фредгольма 2-го рода. Многие задачи электростатики, связанные с расчетом распределения заряда на тонких не замкнутых проводящих поверхностях, приводят к необхо димости решения линейных интегральных уравнений Фред
гольма 1-го рода, которые имеют |
вид |
|
\ о ( М ) К (Q, |
= (Q). |
(П41) |
v |
|
|
Теория уравнения 1-го рода разработана значительно уже, чем теория уравнений 2-го рода. Уравнение (П41) при данном фиксированном ядре К (Q, М) имеет решение
не при любом свободном члене / (Q). Если же решение су ществует, то отсутствует устойчивость решения уравнения
(П41) к малым изменениям свободного члена f (Q). Обычно это демонстрируют на следующем примере.
Пусть {ф*}— полная ортонормированная в L%(V- система функций. Введем функцию
АО) = о (Q) + <р* (Q), |
(П42) |
которая удовлетворяет уравнению |
|
J ° k {ЩК (Q, M)dM = / (Q) + rj* (Q), |
(П43) |
где |
|
Л * (Q) = J Ф* (М) К (Q, М) dM. |
(П44) |
V |
|
Если при любом фиксированном Q ядро К (Q, М) как функция от М принадлежит L2 (17), то rj* (Q) представ ляет собой коэффициент ряда Фурье этой функции по систе
ме {фА} и согласно соотношению (П16) lim % (Q) = 0. &-+0О
Поэтому для сколь угодно малого е можно найти такое k, что
1 Ы < е .
При этом из (П42) следует
1®* — ^ II = IIФа II = 1.
так как система {cpfe} ортонормирована.
Таким образом, сколь угодно малые по норме возмуще ния г]А(Q) свободного члена / (Q) могут приводить к конеч ной погрешности ц>к в решении о (Q) уравнения (П41), а это означает отсутствие устойчивости решения a (Q)
к малым возмущениям правой части f (Q). В связи с отсут ствием устойчивости задачу решения интегрального урав нения 1-го рода называют некорректной задачей *.
Непосредственное численное решение некорректных задач приводит к большим погрешностям. Для преодоле ния этих трудностей в последнее время развит аппарат ре гуляризации некорректных задач [79, 81], который приме нительно к интегральному уравнению 1-го рода состоит в сведении этого уравнения к уравнению 2-го рода. Один прием регуляризации интегральных уравнений 1-го рода, возникающих при решении электростатических задач, предложен в гл. I, 7.
* Неустойчивость решения уравнения 1-го рода объясняется тем, что интегральный оператор Фредгольма или со слабой особенностью явля ется вполне непрерывным, для которого обратный оператор неогра ничен [26].
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Электростатическая задача в случае кусочно-однородной среды, состоящей из нескольких областей однородности
Исследуем вначале случай Jx (см. рис. 5). Кусочно однородную среду заменим однородной с проницаемостью е0 и на границах Sk (k = 1, 2, .... п) введем простой слой связанных зарядов, распределение плотности ok (Q) ко
торых должно быть таковым, чтобы поле напряженности Ё осталось неизменным. Точно так же, как и при выводе фор мулы (1.20), находим, что на каждой поверхности Sk плот
ность ak (Q) связана с Епо (Q) соотношением
a fc(Q) = 2e0A |
- ^ ^ o (Q). |
(П45) |
Для нормальной напряженности Епо (Q) справедливо |
выражение |
|
|
E l (Q) = 4яе, |
QM |
|
1 1si |
|
|
|
+ ЕпР (Q), |
Q £Sk, |
(П46) |
где ЕпР (Q) — нормальная составляющая напряженности, создаваемая всеми объемными зарядами, приведенными к среде с проницаемостью е0. Эта напряженность вычис ляется по формуле, аналогичной формуле (1.13).
Подставляя выражение (П46) в соотношение (П.45), приходим к следующей системе интегральных уравнений от
носительно |
плотностей |
ak (Q): |
|
|
|
'• « Й - - 5 п |
во |
|
cos(rQM’ nd) |
(ISm — |
+ 8о |
|
,2 |
|
|
|
|
r QM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2e0 |
8A |
8o80 Enp (Q). |
|
|
(П47) |
Введем |
обозначения: Kk — |
— --e° ; |
L = |
max Kh: 6b |
|
|
|
|
8ft + 80 |
1 |
|
Ь> г& |
hft
Kt •< 1 и перепишем систему интегральных уравнений
(П47) в виде
ok (Q) — \ |
Р*. |
cos (r Q M ’ " o ' |
dSM = |
|
2л |
rQ\l |
|
|
|
|
|
= 2s0%kEnP (Q) |
(k = 1, 2, . . . . /г). |
(П48) |
Отсюда видно, что в отличие от предыдущего расчет поля в кусочно-однО(.одной среде с несколькими областями одно родности приводит не к одному интегральному уравнению (1.21), а к системе интегральных уравнений (П48). Общая теория систем интегральных уравнений полностью анало гична теории одного интегрального уравнения. Так, для систем интегральных уравнений справедливы сформули рованные в приложении 1 теоремы Фредгольма и условия сходимости последовательных приближений. Чтобы вос пользоваться этими результатами, необходимо, как и в гл. I, 3, исследовать спектр системы интегральных урав нений
|
Ж |
|
cos(rQM, nQ) |
|
MQ) |
(м т |
dS M |
|
|
2л <=1 |
|
|
'Q M |
|
|
= |
fk (Q) |
(fe= |
1, 2, |
. . . , П). |
(П49) |
Справедлива |
следующая |
1-я |
спектральная |
теорема: |
Все характеристические значения системы (П49) веществен ны; в интервале (—1,1) нет характеристических значений; значение Я = —1 не является характеристическим; значе
ние Я == 1 — характеристическое. |
|
|
Доказательство |
теоремы |
аналогично доказательству |
1-й спектральной теоремы гл. I, 3 и отличается от него не |
которыми деталями. |
Пусть Я0 и о0 (Q) = (а01 (Q), |
а02 (Q),... |
..., а0п (Q)) — вещественное |
характеристическое |
значение |
и собственная вектор-функция системы (П49), т. |
е. |
оOk (Q) |
|
c o s (7 q m , n Q) |
|
$ 0(и(/И)' |
dSM |
|
rQM |
|
|
О (k |
|
(П50) |
|
1, 2, . . . . |
t l ) . |
Рассмотрим однородную |
среду с |
проницаемостью е, |
в которой на поверхностях Sk границ раздела сред созда ны «искусственные» распределения зарядов с плотностями (Тоk (Q), удовлетворяющими системе интегральных уравне-
ний (П50). |
Так же, как и в гл. 1.3, можно показать, |
что |
с внешней |
и внутренней стороны поверхностей S k |
нор |
мальные составляющие Епке и Е‘пк напряженности поля, созданного этим распределением зарядов, связаны между собой соотношением
Eenk (Q) - |
Епк1 (Q) = X£k (Eenk (Q) + Elnk (Q)) |
(k = 1, 2.......n), |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E b = |
Elnk |
(k= 1, |
2, |
... ,n ) . |
(П51) |
Из соотношения (П51) находим |
Р |
|
|
п |
С |
|
п |
|
|
|
Е |
9 |
(Q) Ф (Q) d5Q= |
2 |
4 ± г н г |
9 |
Ч>(Q) |
• |
|
|
|
|
|
|
|
(П52) |
Используя формулу (1.45) |
и учитывая, что для внешней |
области |
под S следует понимать сумму всех поверхностей |
S k, |
из соотношения (П52) |
находим |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
W = Y |
4 ± М |_ w i , |
|
(П53) |
где IT'fe и 117е — энергии электростатического поля, лока лизованные соответственно внутри поверхностей Sk и вне их.
Из равенства (П53) следует, что £0 не может быть по модулю меньше единицы. Если | А,0| < 1, то из неравенства
О |
< р А< 1 следует |
^ |
< |
0, |
а так как |
Wi > О, |
то из (П53) |
находим, что |
We < |
0, а это невозможно. Поэ |
тому, если |
К0 и |
компоненты |
вектор-функции |
о0 (Q) = |
= |
{сто* (Q)} |
вещественны, |
то | Я0 1> |
1. |
|
|
Пусть теперь характеристическое значение Х0 веществен |
но, а соответствующая ему собственная вектор-функция имеет комплексные компоненты, т. е.
°0 (Q) = {СТ01 (Q) + |
joШ (Q), |
002 (Q) |
+ |
/СГ02 (Q ), |
• • • |
, Ооп (Q) + |
+ j o i n |
(Q )} |
= |
{<Toi |
(Q ), |
002 |
(Q ), . . . . |
СТол (Q )} |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' его* (Q) - |
^0 |
|
|
ф |
а0{ (М) |
C0S-(rQ2M’ |
V |
dSM= |
|
|
|
i = l |
S j |
|
|
|
r QM |
|
|
|
|
= |
0 |
(6 = |
1, 2..........n). |
|
|
Эта система интегральных уравнений распадается на две системы:
COS (}qm’ п<з) cISm — 0; =lSi 'QM
(П54)
<4 (Q) - Я0 J * . у |
6 ag( (М) — |
”q) dSM= 0, |
2л |
£ |
rQM |
(П55)
откуда следует, что рассматриваемому действительному характеристическому значению Я0 соответствуют две соб
ственные вектор-функции erg = {agi (Q). О02 (О), ■.. , ag„ (Q)}
и о? = {agi (Q), стог (Q), . . . , ofin (Q)} с действительными компонентами, т. e. пришли к рассмотренному только что случаю. Поэтому для всех вещественных характеристических значений | 1> 1.
Покажем теперь, что все характеристические значения системы интегральных уравнений (П49) вещественны. Рассуждаем от противного. Пусть характеристическое зна
чение К0 ^ хо + /во комплексное, аа0 = (а01, а02, ..., а0ь ...
.... Сол) — соответствующая ему собственная векторфункция. Тогда, вводя, как и в гл. I, 3, на поверхностях Sk «искусственное» распределение синусоидально изменя ющихся во времени электрических зарядов с комплексны
ми амплитудами плотностей ооь находим, что средние за пе риод значения электрической энергии, локализованной внутри S k и вне их, связаны аналогичным формуле (П53) соотношением
We 2 |
1+_i.oPfe дей |
(П56) |
k=l |
^oP<t l |
|
Из соотношения (П 56) с помощью несложных преобра зований находим
|
Р* | К I2 - 1 |
W[- |
2Р* |
20 2 Wk. |
|
(x oPft — I)2 + |
/в0£Zi (xoPfe— i)2 + |
|
|
|
|
|
|
(П57) |
Величина We является вещественной, поэтому второе слагаемое в соотношении (П57) должно равняться нулю.
Однако так к ак --------- |
—------5- 5- > 0 и Wlk > 0, то это воз- |
№ |
- 1 ) 2 + 0о2^ |
можно, если 0О= 0, т. е. к0 должно быть вещественным. Рассмотрим теперь значения = —1 и = 1- Пока
жем, что значение Х0 = —1 не может быть характеристиче ским. При Х0 = —1 получаем
К Ь - |
1 |
° ’ |
|
так как |
|
|
|
|
р . - 1 |
и 4 |
ж |
^ < ° |
|
для всех k Ф t, так как |
<; |
1. |
Поэтому равенство |
(П53) |
может выполняться, если We — 0 и W‘k = 0 для всех |
k Ф |
Ф t, т. е. если вся среда вне St является проводящей, а потому a0k = 0 для всех k Ф t.
Функция егоt (Q) совпадает с распределением плотности электрического заряда по внутренней поверхности такой безграничной проводящей среды. Поскольку внутри по лости, вырезанной из бесконечной проводящей среды, за
рядов нет, то поле внутри |
полости отсутствует и а0/ £= О, |
а следовательно, o s O,t. е. |
= —1 не может быть харак |
теристическим |
значением. |
|
характеристическим. |
Проще |
Значение А,0 = 1 |
является |
всего это показать, |
перейдя от системы уравнений |
(П50) |
к сопряженной однородной системе, которая при |
= 1 |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
Т»(«) + - 1 - У |
ф т м (.м ) |
C0S |
"u> ds„ - |
О |
|
к |
I |
|
'« ■ |
|
|
|
|
kr= 1, |
2, |
. . . , n. |
|
(П58) |
Учитывая |
соотношение |
(1.36) и |
равенство |
р, = 1, |
находим, что вектор-функция т0 (Q) ={то1= 0, т02=»0,..., to /s на const, ..., то„ = 0} является ненулевым решением одно родной системы уравнений (П58), т. е. Х0 = 1 — харак теристическое значение. Теорема доказана.
Так как при конечных eftпараметр 0<Л,<;1,то из 1-й спек тральной теоремы и теорем Фредгольма следует, что система интегральных уравнений (П48) разрешима, ее решение един ственно и может быть найдено методом последовательных
приближений. Однако при большом et параметр \ близок к характеристическому значению — единице, в связи с чем система интегральных уравнений (П48) обладает теми же недостатками, что и уравнение (1.21), т. е. существует пло хая устойчивость решения системы (П48) к малым возму щениям правой части и медленная скорость сходимости последовательных приближений. Кроме того, когда среда внутри некоторых поверхностей является проводящей, ре шение системы интегральных уравнений (П48) является не единственным. С физической точки зрения, это объясня ется тем, что в рассматриваемом предельном случае в системе интегральных уравнений (П48) отсутствует информация о полных зарядах проводников. Особенно отчетливо эта неединственность решения системы интегральных уравнений проявляется в случае, когда поле создают только заряжен ные проводники, а объемнораспределенные заряды в окру
жающем пространстве |
отсутствуют. При |
этом система |
(П48) переходит в однородную |
|
|
П |
cos (rQM, nQ) |
|
|
2я £ |
|
М<2) |
(М) |
dS,M |
|
4=1 Si |
rQM |
|
|
|
|
|
(6 = |
1, 2, . . . , П), |
(П59) |
которая описывает распределение плотности электрических зарядов по поверхности п проводников. Нулевое решение системы (П 59) соответствует случаю, когда все проводники не заряжены, ненулевое — когда некоторые из проводников заряжены. Система интегральных уравнений (П59) соответ ствует задаче Робэна для случая п проводящих тел.
Все перечисленные недостатки, возникающие при реше нии системы интегральных уравнений (П48), можно прео долеть, если видоизменить эту систему уравнений с учетом априорно известных интегральных свойств искомых ис точников ak (М). Эти свойства находятся точно так же, как и в простейшем случае кусочно-однородной среды, рас смотренном в гл. I, 4. Так, когда гк бесконечна, т. е. среда внутри S k проводящая, то получаем
где qk — полный заряд проводника.
