книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

'3. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ*

Для выяснения вопросов о разрешимости интегрального уравнения (1.21) и о сходимости последовательных прибли­ жений найдем распределение характеристических чисел, т. е. исследуем спектр интегрального уравнения (1.33).

Пусть Я,0 и cr0 (Q) Ф О являются соответственно характе­ ристическим значением и собственной функцией интеграль­ ного уравнения (1.33), т. е.

Рассмотрим однородную среду с проницаемостью е, в ко­ торой на поверхности S создано искусственное распределение электрических зарядов с плотностью а0 (Q), удовлетворяю­ щей уравнению (1.39). Потенциал поля, созданного этим распределением зарядов, находим по формуле

с - 40*

Из выражений (1.18), (1.19) и (1.19а) получаем выра­ жения для нормальных составляющих напряженности со­ ответственно с внутренней и внешней стороны поверхнос­ ти S:

*Перед чтением последующего материала рекомендуем обратиться

кприложению 1, где кратко изложены основы теории интегральных уравнений.

21

Из этих соотношений и уравнения (1.39) выводим

Таким образом, если cr0 (Q) удовлетворяет уравнению (1.39), то на поверхности S нормальные составляющие на­ пряженности поля, созданного простым слоем электриче­ ских зарядов плотности а0 (Q), связаны соотношением (1.43).

Умножим обе части выражения (1.43) на ф0 (Q) и проин­ тегрируем по S. Тогда

Покажем, что если внутри области V, ограниченной по­ верхностью S, отсутствуют электрические заряды, то энер­ гия электростатического поля, локализованная в этой области, выражается формулой

где Е„ — составляющая напряженности поля по направле­ нию внешней к области V нормали.

При доказательстве соотношения (1.45) исходим из выра­ жения для энергии электростатического поля

Используем известную формулу Грина [82]

v

Полагая: ф = ф и учитывая, что в области V отсутству­ ют заряды, т. е. Лф = 0, определяем

(1.48)

Из выражений (1.46) и (1.48) получаем соотношение

(1.45).

Это соотношение справедливо и для энергии электроста­ тического поля, локализованной вне поверхности S, толь­

22

ко при этом Еп — составляющая напряженности по направ­ лению внутренней нормали.

Учитывая, что в соотношении (1.44) Еп и Еп — состав­ ляющие напряженности по направлению внешней к S нор­ мали, из выражения (1.45) получаем

где We и Wt — энергия электростатического поля, локали­ зованная соответственно вне и внутри поверхности S.

Из формулы (1.49) следует, что если характеристическое значение А,0 и соответствующая ему собственная функция

из которых следует, что действительному значению А,0 со­ ответствуют две действительные собственные функции

о(0а) (Q) и оор( ) (Q), т. е. приходим к рассмотренному случаю. Следовательно, для всех вещественных характеристических значений справедливо неравенство |Х0| >> 1.

Покажем теперь, что интегральное уравнение (1.33) не может иметь комплексных характеристических значений, т. е. что все характеристические значения вещественны. Рассуждаем от противного. Пусть найдутся комплексное

характеристическое число А,0 и соответствующая ему соб­

23

зарядов. Будем считать, что заряды синусоидально изменяют­ ся во времени, и их комплексная амплитуда а0 (Q) удовлетво­ ряет уравнению (1.50). Частоту изменения зарядов во вре­ мени выберем столь малой, чтобы можно было принять условия квазистационарности. В рамках этого условия потенциал электрического поля, созданного простым слоем зарядов плотности а0 (Q),

Фо(0)

g rQM

Отсюда, аналогично предыдущему, находим, что на по­ верхности 5 комплексные амплитуды нормальных составля­ ющих напряженности этого поля связаны соотношением

Ёеп(Q) - Е \ (Q) = к0 [Ёеп(Q) + Еп‘ (Q)i.

Умножим это равенство на функцию ср (Q), сопряжен­ ную с ф (Q), и проинтегрируем noS. Тогда

Покажем, что если в области V, ограниченной поверх­ ностью S, отсутствуют электрические заряды, то среднее

за период значение энергии W электрического поля, ло­

Среднее за период значение объемной плотности w энер­ гии электрического поля выражается через комплексную амплитуду напряженности следующим образом:

w = 44-1I Ё |21 - 44- ЕЁ.

Откуда

24

Используя формулу Грина (1.47), полагая в ней ф = <р

Таким образом, из выражений (1.53) и (1.54) получаем соотношение (1.52).

Используя доказанное выражение для W, из выражения (1.51) выводим

W9 — Wt

где We и W( — среднее за период значение энергии соот­ ветственно вне и внутри поверхности S.

по предположению комплексно. Это противоречие опро­ вергает наше допущение и доказывает, что все характерис­

Такой случай возможен, если среда внутри S является про­ водящей и ст0 (Q) совпадает с распределением электрического заряда на поверхности уединенного проводника. Таким обра­ зом, А,0= 1 является характеристическим значением для урав­ нения (1.33), а соответствующая ему собственная функция ст0 (Q) совпадает с распределением плотности электрическо­ го заряда по поверхности уединенного проводника. Очевид­

но, что различные собственные функции oq1) (Q) и а(02) (Q), соответствующие одному и тому же характеристическому значению Я,0 = 1, могут отличаться друг от друга лишь

постоянным множителем: Oq1(Q) = Со02)( (Q), т. е. ао° (Q)

и °о2) (Q) соответствуют распределениям плотности электри­ ческого заряда по поверхности уединенного проводника с различными суммарными электрическими зарядами. Это утверждение нетрудно доказать аналитически. В самом

25

деле, пусть Сто* (Q) и Сто2' (Q) собственные функции, соот­ ветствующие характеристическому значению к0 = 1, т. е. такие функции, что потенциалы

что и требовалось доказать.

Из выражения (1.49) следует, что если Х0 = —1 являет­ ся характеристическим значением, то W, — 0. Последнее возможно, если среда вне поверхности S является проводя­ щей и о0 (Q) совпадает с распределением плотности электри­ ческого заряда по внутренней поверхности проводника S. Поскольку внутри S, т. е. внутри диэлектрической полости, вырезанной из неограниченной проводящей среды, зарядов нет, то очевидно, что cr0 (Q) == 0. Отсюда вытекает, что Х0 =

=—1 не является характеристическим значением.

Витоге доказана следующая важная 1-я спектральная теорема: все характеристические значения уравнения (1.33) вещественны, в интервале (—1, 1) нет характеристических значений', значение %0 — — 1 не является характеристиче­ ским-, Х0 = 1 — характеристическое значение, а соответ­ ствующая ему собственная функция совпадает с распре­ делением плотности электрического заряда по поверхности

S уединенного проводника; число линейно независимых реше­ ний однородного интегрального уравнения (1.33) при К — 1 равно единице.

26

следовательно, в соответствии со второй теоремой Фред­ гольма уравнение (1.21) однозначно разрешимо. Более того, последовательные приближения (П.24) для интеграль­ ного уравнения (1.21) сходятся не медленнее, чем геометри­ ческая прогрессия со знаменателем

но 1-й спектральной теореме с характеристическим значе­ нием. В этом случае для разрешимости интегрального урав­ нения (1.21) необходимо выполнение условий 4-й теоремы Фредгольма. Покажем, что эти условия выполняются.

Используя выражение (1.36), нетрудно убедиться, что соответствующее уравнению (1.56) сопряженное однородное уравнение

имеет ненулевое решение т0 (М), равное произвольной по­ стоянной, т. е. т0 (М)—С= const. Согласно 1-й спектральной теореме и 3-й теореме Фредгольма находим, что уравнение (1.57) не имеет иных нетривиальных решений, кроме как постоянную. Поэтому для разрешимости уравнения (1.56), в соответствии с 4-й теоремой Фредгольма, необходимо

27

Справедливость выражения (1.58) следует из равенства (1.36), так как точка N находится вне поверхности S; т. е. разрешимость уравнения (1.56) доказана. Однако решение этого уравнения не является единственным. Решение урав­ нения (1.56) представляет собой распределение плотности электрического заряда по поверхности проводника, находя­ щегося в поле объемно распределенных зарядов рк (N). Поэтому значения а (М) зависят от величины полного за­ ряда проводника q, информация о которой не отражена в уравнении (1.56). С математической точки зрения, неедин­ ственность решения этого уравнения состоит в том, что к любому его решению можно прибавить ненулевое решение однородного уравнения и при этом вновь получим решение уравнения (1.56).

4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СВОЙСТВ ВТОРИЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ ПОЛЯ ДЛЯ ВИДОИЗМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

Параметр К = - ^ при больших etблизок к харак­

теристическому значению — единице. Это затрудняет чис­ ленное решение интегрального уравнения (1.21). Так, в свя'зи с приближенным характером вычислений на ЭЦВМ плохая устойчивость решения интегрального уравнения (1.21) к малым возмущениям правой части [см. соотношение (1.37)] по существу эквивалентна неустойчивости решения интегрального уравнения (1.21) к этим возмущениям. Кро­ ме того, при больших е(-, т. е. при значениях К, близких к единице, медленно сходятся последовательные приближения. При этом численная реализация метода последовательных приближений сопряжена с большим накоплением погреш­

28

ности. Убедимся, что при решении интегрального уравне­ ния (1.21) методом итераций (П24) погрешность, возникаю­ щая за счет приближенного вычисления интегралов, может быть существенно больше погрешности, определяемой со­ отношением (1.37).

Если бы при реализации метода последовательных при­ ближений все вычисления производились абсолютно точно, то мы получили бы согласно § 1 приложения следующее выражение для решения уравнения (1.21):

ст = / + М С / + W t * / + + № / + •••, (1-59)

где f — правая часть уравнения (1.21); К — интегральный оператор, определяемый равенством

Из соотношения (1.36) следует, что интегральный опера­ тор К, определенный формулой (1.60), любую функцию X (М) со средним значением а переводит в функцию Y (Q) с таким же средним значением а, т. е. если ГХ = а, то

Вследствие погрешностей вычисления интегралов на ЭЦВМ, возникающих на каждом шаге итерационного про­ цесса (1.59), получаем следующее приближение для решения уравнения (1.21):

29