книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

где К — интегральный оператор, ставящий в соответствие произвольной функции х {М) строго определенную функ­ цию у (Q) по следующему закону:

ему операторного уравнения (П2) необходимо выбрать класс функций, в котором будет проводиться это исследо­ вание или, как часто говорят, в котором рассматривается данное уравнение. На первый взгляд кажется, что, с точки зрения технических приложений, можно ограничиться классом непрерывных функций. Однако это далеко не так.

некоторых точек, т. е. имеют особенности, и, следовательно,

при совпадении точек Q и М и ядро интегрального уравне­ ния (1.21). Легче всего это показать на частном примере, когда поверхность S является сферой. В этом конкретном случае получаем (см. гл. I, 2):

т. e. ядро имеет особенность.

Таким образом, класс непрерывных функций является узким, с точки зрения технических приложений; при ис­ следовании уравнения (П1) его целесообразно расширить.

Теория интегральных уравнений вида (П1) становится наиболее стройной и законченной, если в качестве класса функций, в котором исследуются эти уравнения, выбрать класс квадратично интегрируемых функций, т. е. таких

Причины математического характера* требуют, чтобы интегрирование понималось как интегрирование по Лебегу.

* Основной такой причиной является полнота соответствующих классов (пространств) функций [26].

280

Функцию, интегрируемую по Лебегу, называют суммируе­ мой. Если квадрат функции интегрируем по Лебегу, то функцию называют квадратично суммируемой. С теорией интеграла Лебега читатель может ознакомиться по курсам теории функций вещественной переменной [58, 26]. Однако за счет математической строгости, но без ущерба для по­ нимания всего последующего можно отождествить понятие интегрирования по Лебегу с «обычным» интегрированием по Риману. В известных пределах такое отождествление применяется в дальнейшем.

До сих пор рассматриваемые функции предполагались вещественными. Однако во многих задачах, особенно при исследовании синусоидально изменяющихся во времени электромагнитных полей, необходимо рассматривать ком­

плекснозначные функции точки / (тИ). При этом уравнение (П1) целесообразно рассматривать в классе комплексно­ значных функций, квадрат модуля которых суммируем, т. е. существует интеграл

(П5)

Класс таких функций в математике для краткости обо­ значается через L2 (У) *. Если для функции / (А1) существует интеграл (П5), то говорят, что / (М) принадлежит L2 (У)

и кратко выражают это в записи / (М ) £ Ь2 (У). Класс функций L2 (У) представляет собой линейное множество, т. е. выполняются следующие свойства:

если h (М) € L* (V) и /2 (М) £ L2 (V), то и h (М) +

+ /а W ) € ^ ( П

если / (М) g L2 (У), то и х/ (М ) £ L2 (У) при любом числе х.

Часто пользуются языком геометрии и класс функций L2 (У) называют пространством, точнее функциональным пространством в отличие от геометрического. «Точками» этого пространства являются элементы класса Ь2 (У),

т. е. функции / (М) £ Ь2 (У). Как и в геометрическом про­ странстве, в пространстве L2 (У) вводится расстояние

* Использование буквы L для обозначения этого класса функций, повидимому, делается в честь французского математика А. Лебега, соз­ давшего новую конструкцию интеграла.

281

между любыми двумя, «точками» / (М) и ф (М), которое обо­ значается через I / — ф I и понимается как

Расстояние || / — ф || является мерой близости двух функций — двух «точек» / (М) и ф (М) в пространстве L3 (V).

ляется как квадратный корень из интеграла (П5) и равна расстоянию этой функции до нуля. Сходимость (предельный переход) в пространстве L2 (V) понимается как сходимость по норме, т. е. говорят, что последовательность функций

Сходимость (П7) носит еще название среднеквадратичной. В обычном геометрическом пространстве каждой точке ставится в соответствие ее радиус-вектор и при решении многих задач используется операция скалярного произве­ дения векторов. Аналогично и в пространстве L2 (V) вво­ дится понятие скалярного произведения двух функций, которое является очень плодотворным при решении многих

вопросов. Скалярное произведение функций / (М) и ф (М) определяется соотношением

(П8)

v

где ф (М ) — комплексносопряженная с ф (М).

Для нормы и скалярного произведения справедливы следующие соотношения:

1) if . Ф) = (ф, /);

п

=2 ak if, ф*); «=1

282

3)

причем равенство достигается, если почти всюду }(М) = 0;

4 ) Н | Н а | Ш 1 ;

5) |(/, ф )1 < I / I I ф II;

Неравенство 5 носит название неравенства Коши — Буняковского, неравенство 6 — неравенства треугольника.

Пространство L2 (V) с введенным в него скалярным про­ изведением представляет собой одну из конкретных реали­ заций абстрактного гильбертова пространства [26].

Две функции f (М ) и ср (М ) называются ортогональными, если

Система функций

называется ортогональной, если функции, входящие в эту систему, попарно ортогональны, и ортонормированной, если дополнительно к предыдущему норма каждой функции из этой системы равна единице, т. е. если удовлетворяются соотношения:

Ортонормированная система называется полной, если не существует отличной от тождественного нуля квадратич­ но суммируемой функции, ортогональной ко всем функциям системы.

Система тригонометрических функций

(П12)

представляет собой наиболее известный пример полной ор­ тонормированной на отрезке [0, 2я] системы функций.

Подобно тому, как раскладывают функцию в тригоно­ метрический ряд Фурье, так можно разложить произволь­

ную функцию / (М) £ L2 (У) в ряд Фурье по заданной пол­ ной ортонормированной системе функций {фЛ (М)}. При

283

этом ряд Фурье имеет вид

Вернемся к исследованию интегрального уравнения (П1). При этом будем предполагать, что ядро К (Q, М) квадра­ тично суммируемо по переменным Q и М, т. е. конечен интеграл

Отсюда следует, что оператор К любую функцию х (М) £ t Ь2 (У) переводит в функцию у (Q), также принадлежащую Ь2 (У). Если, кроме того, свободный член / (Q) принадлежит пространству Ь2 (У), то интегральное уравнение (П1) и со­ ответствующее ему операторное уравнение (П2) целесооб­ разно исследовать в L2 (У). При выполнении условия (П17) говорят, что оператор К является Фредгольмовым, а урав­ нение (П1) называют уравнением Фредгольма 2-го рода. Приведенные наименования связаны с тем, что при соблю­ дении условия (П17) для уравнения (П1) справедливы тео­ ремы Фредгольма.

Отметим, что теория Фредгольма справедлива для ин­ тегральных уравнений и в том часто встречающемся в при­ ложениях случае, когда ядро К (Q, М ) не удовлетворяет условию (П17), а имеет слабую особенность, т. е. пред­ ставимо в виде

r n М) = — Q; М)- ,

гО.М

284

Прежде чем сформулировать теоремы Фредгольма, вве­ дем несколько важных понятий из теории интегральных уравнений.

Ядро К* (Q, М), получаемое из данного ядра К (Q, М) перестановкой аргументов Q и М и заменой возникшего выражения на комплексно сопряженное, называется со­ пряженным с данным ядром. Таким образом, по опреде­ лению,

интегрального уравнения (1.21) и встретится при исполь­ зовании потенциала двойного слоя для расчета поля в ку­ сочно-однородных средах.

Уравнение

в котором g (Q) — какая угодно функция изЬ2(У), называе­ тся сопряженным с уравнением (П1). Его исследование тесно связано с исследованием уравнения (П1).

Интегральный оператор с ядром К* (Q, М)

v

называется сопряженным с оператором К.

285

Нетрудно видеть, что сопряженные операторы связаны соотношением

называется однородным уравнением, соответствующим урав­ нению (П1). Аналогично

является однородным сопряженным уравнением, соответ­ ствующим уравнению (П19).

Уравнения (П22) и (П23) при любом значении Я имеют нулевые тривиальные решения а (М) = 0 и т (Л1) = 0. Наи­ больший интерес представляют те значения Я, при которых уравнение (П22) имеет ненулевое решение а {М) Ф 0. Такие значения Я называются характеристическими, а со­

ляется характеристическим, а соответствующая ему собст­ венная функция имеет физический смысл плотности электрического заряда, распределенного по поверхности уединенного проводника. В гл. I, 2 при помощи соображе­ ний физического характера было показано, что уравнение

(1.33) при характеристическом значении Я = 1 не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно не един­ ственно.

Все это указывает на необходимость исследования свя­ зи между характеристическими значениями и разреши­ мостью интегральных уравнений. Такое исследование впер­ вые было проведено шведским математиком Фредгольмом и отражено в следующих теоремах:

1-я теорема. Уравнение Фредгольма (П1) имеет не более счетного множества характеристических чисел, которые могут сгущаться только на бесконечности.

Не более счетным множеством называют любое конечное множество или такое бесконечное множество, которое мож-

286

но взаимно однозначно отобразить на множество натураль­ ных чисел, т. е. его можно перенумеровать и представить в виде последовательности Я(1), Я(2)....... к{п), ... .Изсфор­ мулированной теоремы вытекает, что с ростом «-номера характеристического числа kin) модуль его j к(п) | неогра­

ниченно возрастает, это и означает, что множество к{п) мо­ жет сгущаться к бесконечно удаленной точке комплексной

грального уравнения (П23).

Совокупность всех характеристических чисел данного уравнения (П1) называется его спектром. Из 3-й теоремы Фредгольма следует, что спектр сопряженного уравнения (П19) совпадает со спектром исходного уравнения (П1), если спектр вещественный.

Перейдем к решению интегрального уравнения (П1) методом последовательных приближений. Согласно этому

ч

где Кп — п-я степень оператора К, являющаяся тоже ин­ тегральным оператором с n-м итерированным ядром

Кп (Q, М). Итерированные ядра выражаются через ядро

К(Q, М) формулой

Из формулы (П26) следует, что если оператор К — Фред­ гольмов, то и любая степень этого оператора является фредгольмовым оператором. Кроме того, справедливо не­ равенство

где В — постоянная, которая определена соотношением

(П17).

Если метод последовательных приближений сходится, то согласно формуле (П25) решение может быть представ­ лено в виде ряда Неймана

о (Q) = / + KKf + О Т / + • • • + knKnf + • • • . (Г129)

Выясним условия, при которых метод последовательных приближений и ряд (П29) сходятся (имеется в виду средне­ квадратичная сходимость). Для этого введем понятие нор­

11К*[|<«К|1И. (П31)

Для нормы оператора К и его степеней справедливы оценки:

2 8 8

Из формулы (П29), применяя многократно неравенство треугольника и неравенство (П31), находим

*(П24).

Чтобы проверить выполнение условия (П35), необходимо вычислить норму оператора || К II, определяемую соотноше­ нием (ПЗО). Точное определение нормы оператора из соот­ ношения (ИЗО) представляет очень трудную задачу, поэтому неравенство (П35) труднопроверяемо и малоэффективно. В связи с этим часто используют другое, более жесткое неравенство

1 4 < 4 - > (П36)

которое следует из неравенств (П35) и (П32). Условие (П36) легкопроверяемо, так как согласно формуле (П17) требует

лишь только вычисления интеграла от \К (Q, УИ)|2.

Из выражений (П35) и (П36) следует существование та­ кого круга достаточно малого радиуса R, что для всех X,

лежащих внутри этого круга, т. е. для | X | < R последова­ тельные приближения (П24) сходятся к решению интеграль­ ного уравнения. Такой круг на комплексной Х-плоскости называется кругом сходимости последовательных прибли­ жений. Из неравенств (П35) и (П36) следует неравенство для радиуса R круга сходимости последовательных прибли­ жений