книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

Согласно формулам (3.314) и (3.316) получаем:

2 5 0

Аналогично для вектора Е (Q) получаем

(3.32 i)

Формулы (3.320) и (3.321) дают единое для всего простран­ ства интегральное представление для векторов поля через их касательные составляющие на границе S раздела сред. При Q £ 5 ядра последних интегралов в соотношениях (3.320) и (3.321) являются непрерывными функциями, так как при вычитании особенности сокращаются. Поэтому эти интегралы изменяются непрерывно при переходе точки Q через поверхность 5. Вторые интегралы в этих соотношениях можно интерпретировать как разности потенциалов про­ стых слоев токов, поэтому эти интегралы также непрерывны при переходе Q через поверхность 5. Первые интегралы представляют собой разность вихрей потенциалов простых слоев токов. Поэтому эти интегралы претерпевают скач'ок при переходе Q через S. Предельные значения этих интегра­ лов могут быть определены по формулам, полностью ана­ логичным формулам (3.205) — (3.207). Учитывая это, умно­ жим формулу (3.320) векторно на ~nQ и устремим Q к S со

стороны У(. Тогда

/®Ре [nQ, Н°е(Q)] + (ц, [riQ, Н (Q)] — ре [nQ, Н (Q)]) —

251

Аналогично выводим

N . £ Ш = - e^ p— [«Q, # m -

(3.323)

252

Соотношения (3.322) и (3.323) образуют систему инте­ гральных уравнений К. Мюллера. После решения этой си­ стемы легко находим векторы поля в любой точке простран­ ства при помощи (3.320) и (3.321).

Перейдем теперь к квазистационарному полю, т. е. бу­

дем считать среду в области V+ проводящей с проводи­ мостью у и магнитной проницаемостью р. Токами смещения пренебрежем и положим, что электромагнитное поле воз­ буждается заданными электрическими токами проводи­ мости, расположенными в V~. Пренебрежение токами сме­ щения в проводящей среде равносильно принятию диэлек-

пренебрежение токами смещения во внешнем пространстве эквивалентно принятию диэлектрической проницаемости внешней среды, равной нулю (ее — 0).

Теперь, казалось бы, интегральные уравнения для рас­ чета квазистационарного электромагнитного поля можно получить из уравнений К. Мюллера (3.322) и (3.323), если

положить в последних ег = и ее == 0. Однако изберем

другой путь по следующим причинам. Во-первых, для ква­ зистационарного электромагнитного поля справедливы бо­ лее простые уравнения, чем те, которые получаются из урав­ нений К- Мюллера при помощи указанной подстановки. Во-вторых, указанная подстановка является формальной и нуждается в некотором обосновании. Дело в том, что соотношение (3.315), на котором основан вывод уравнений К- Мюллера (3.322) и (3.323), не справедливо для внешней среды при условиях квазистационарности, т. е. при ге = 0, а следовательно, и сами уравнения К. Мюллера нельзя счи­ тать безоговорочно справедливыми при таком значении ее.

Чтобы отчетливо уяснить изложенное, обратимся к урав­

253

Эти соотношения необходимо еще дополнить уравнением

Таким образом, в квазистационарном поле связь между векторным электрическим и скалярным магнитным потенциа­ лами сохраняется, в то время как связь типа (3.300) между векторным магнитным и скалярным электрическим потен­ циалами отсутствует, т. е. эти потенциалы и их источники являются независимыми. Следовательно, квазистационарное поле во внешней (непроводящей) среде описывается двумя векторными (магнитным и электрическим) и одним скалярным (электрическим) потенциалами. При этом ска­

264

Чтобы найти выражения для Не и Ее, аналогичные фор­ мулам (3.314) — (3.317), предположим, что поле вне облас­ ти Ve отсутствует. Тогда, чтобы поле в Vе осталось преж­ ним, необходимо ввести на поверхности 5 простые слои электрических и магнитных токов и простой слой электри­ ческих зарядов, плотности которых соответственно опре­ делим по следующим формулам:

I е — [ ЯНе,]> Iт ~ 1^> Ее]> &е ==® 0 (^ » Ее)■

(3.336)

Из соотношений (3.336), (3.335), (3.332), (3.331) получа­

ем выражение для Не (Q), которое совпадает с равенством (3.318), если в последнем положить ге = 0:

Из формул (3.336), (3.334), (3.332), (3.331), (3.327) по­

лучаем выражение для Ёе (Q), которое существенно отли­ чается от соотношений (3.315) и (3.317):

кроме касательных составляющих Е и Н на S, входит и

нормальная составляющая Е на S. В этом смысле выра­

жение для Ее в квазистадионарном поле является более

2 5 5

сложным, чем в быстропеременном. Выражение же для Е(, на­ оборот, упрощается для квазистационарного поля. В самом

деле для Е{ справедливо выражение типа (3.338) с той лишь

(пм, Е[ (Л4))==0. Учитывая все это, находим для Е{следующее выражение:

E( (Q), если Q £ v c;

(3.339)

[О, если Q £ Vg.

Выражение для Ht (Q) будет совпадать с формулой

(3.319), если в последней положить е* = - ? - : /(О

256

Используя выражения (3.339) и (3.341) и проводя аб­ солютно те же рассуждения, что и при выводе уравнений К- Мюллера (3.322) и (3.323), приходим к следующей систе­ ме интегральных уравнений для расчета квазистационарного поля:

составляющие векторов Е и Н на S, по которым согласно

формулам (3.337), (3.339) и (3.340) можем найти Не (Q),

Et (Q) и Н( (Q) в любой точке пространства. Однако для

нахождения Ее (Q) согласно формуле (3.338) решения систе­ мы (3.342) и (3.343) недостаточно. Необходимо найти еще

(Пм, Ее (Л4)), для чего требуется решить еще одно инте­ гральное уравнение. Однако вряд ли это целесообразно,

поскольку поле Ее (Q) само по себе не представляет осо­ бого интереса.

В отличие от уравнений (3.210) и (3.211), которые явля­ ются сингулярными, уравнения (3.342) и (3.343) являются фредгольмовскими. Решив уравнения (3.342) и (3.343), сра­

зу находим касательные составляющие Е и Н на S, которые часто представляют основной интерес, так как позволяют определить суммарные активные потери. После же решения интегральных уравнений (3.210) и (3.211) для нахождения

векторов £ и Я необходимы некоторые дополнительные вы­ числения. Перечисленное выгодно отличает уравнения

(3.342) и (3.343) от уравнений (3.210) и (3.211). Однако си­ стема уравнений (3.210) и (3.211) имеет м е н ь ш у ю р а з ­ м е р н о с т ь , так как состоит из одного скалярного и од-

258

ного векторного уравнений на S, в то время как система (3.342) и (3.343) состоит из двух векторных уравнений на S. Кроме того, ядра уравнений (3.342) и (3.343) несколько сложнее, чем ядра уравнений (3.210) и (3.211). Все это свидетельствует о том, что систему уравнений (3.210) и (3.211) удобнее решать на ЭВМ, чем систему (3.342) и (3.343).

8. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ НА ПОВЕРХНОСТЯХ ПРОВОДЯЩИХ ТЕЛ ДЛЯ РАСЧЕТА КВАЗИСТАЦИ0НАРН0Г0 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Обычный подход к расчету квазистационарного поля в пространстве, частично заполненном проводящей средой, состоит в отыскании решений уравнений поля в прово­ дящих телах и в окружающей их воздушной среде и в «склеивании» этих решений с учетом краевых условий на поверхностях раздела сред. Основные математические труд­ ности возникают при решении уравнений поля в проводя­ щей среде, тогда как интегрирование уравнений поля в воздушной среде всегда можно свести к решению уравне­ ния Лапласа. Поэтому заслуживают внимания те задачи,

вкоторых можно обойти интегрирование уравнений поля

впроводящей среде и свести весь расчет к решению уравне­ ний поля во всем внешнем (воздушном) пространстве. По­ следнее обычно удается достичь, используя приближенные граничные условия на поверхностях проводящих тел [34]. Приближенные краевые условия на границе проводящей среды можно ввести в тех случаях, когда проводящее тело является массивным и поверхностный эффект резко прояв­ лен, либо когда проводящее тело представляет собой тон­ кую проводящую ферромагнитную оболочку.

Рассмотрим те задачи, в которых проводящее тело яв­ ляется массивным и поверхностный эффект резко проявлен.

При резком поверхностном эффекте электромагнитная вол­ на, преломляясь на границе проводящего тела, будет про­ никать в его толщу в направлении, близком к нормали. Эта волна, вообще говоря, неплоская, но если проводник мас­ сивный и поле на его поверхности медленно меняется от точки к точке в масштабе длины волны внутри тела, то радиус кри­ визны фронта электромагнитной волны внутри проводника будет велик по сравнению с длиной волны и глубиной про­ никновения. Поэтому с высокой степенью точности можно