книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

источники: простой слой магнитных зарядов для области V~~ и простой слой касательных к 5 электрических токов для области V+. При этом, предполагая 5 односвязной, ис­

пользуем для Н~ подобное соотношению (3.199) выражение:

т. е. Я~в можно рассматривать как внешнее возбуждающее поле.

Выражение для Н+ по сравнению с соотношением (3.201) изменится и примет следующий вид:

Н+ (Q) - ф 6 и (Q, М) i (М) dSM= S

(Q, М) GW(Q- М) GZX(Q, М)

где Gij (Q, М ) — тензор фундаментальных решений;

GyX (Q, М) — составляющая по оси л: магнитной напря­ женности, созданной в анизотропно проводящей среде единичным по модулю элементом тока, направленным по оси у\ аналогичный смысл имеют другие элементы тен­

зора Gn (Q, М). В выражении (3.276) произведение

дц (Q, М) i (М) есть обычное произведение матрицы на вектор. Из определения тензора Gi,- (Q, М) и принципа су­

перпозиции следует, что напряженность Н+ (Q), разыски­ ваемая в виде (3.276), удовлетворяет уравнению (3.268).

Для вывода интегральных уравнений найдем формулы для предельных (граничных) значений напряженности

Н+ (Q), представленной в виде (3.276). Предположим, что все пространство заполнено анизотропной проводящей сре­ дой с проводимостью уij и магнитной проницаемостью рц,

240

а на поверхности S распределен простой слой касательных

kS электрических токов i (М ). Тогда для любой точки Q вне S напряженность магнитного поля можно находить по фор­ муле (3.296).

Найдем выражения для предельных значений напря­ женности, когда точка Q стремится к S с внутренней и на­ ружной сторон. Эти значения будем обозначать соответст­

венно через H t (Q) и H t (Q)- Вырежем вокруг произволь­ ной на S точки Q участок поверхности AS столь малых раз­ меров, чтобы его можно было считать плоским, а созданное распределенными по AS токами магнитное поле — симмет­ ричным относительно участка поверхности AS вследствие

пренебрежения его кривизной. Напряженности Н р (Q) и

H t (Q) разобьем на два слагаемых:

где Н р 1 (Q) — напряженность поля в точке Q, созданная распределенными по S — AS токами; это слагаемое непре­ рывно при переходе через S и для него согласно соотноше­ нию (3.276) справедлива формула

Из формул (3.277) — (3.279) и (3.282) следуют:

В соотношениях (3.281) — (3.284) поставлены прибли­ женные знаки равенства потому, что, в действительности,

симметрия поля 77+I несколько нарушается вследствие ре­ ально существующей кривизны элемента AS. Поэтому соот­ ношения (3.283) и (3.284) тем точнее, чем меньше элемент AS, и в пределе переходят в точные:

s

Совершенно аналогично доказывается следующее соот­ ношение:

{nQ, HijHf (Q)) = (по, \iijfit (Q)) = (j) («о. Pi/Jit (Q. м )) dSM-

(3.287)

Из соотношений (3.275), (1.24), (3.276), (3.285), (3.287)

находим, что граничные условия (3.269) и (3.270) будут вы­

полнены, если плотности i (/И) и а (М ) будут решением сле­ дующей системы сингулярных интегральных уравнений:

i (Q) — 2 (j) [nQ, Gi} (Q, М) i (М)] dSM- s

b | ) 0 (M) nQ, grad0 — dSM = - 2 { n Q, H~6(Q)J;

(3.288)

* «Э + I F iФ6 (M) ^гом"9)~dSM ~

242

Можно, как и в гл. III, 5, доказать единственность реше­ ния системы (3.288) и (3.289). Существование решения систе­ мы (3.288) и (3.289) можно доказать, используя теорию многомерных систем сингулярных интегральных уравне­ ний, развитую С. Г. Михлиным [55].

Для того, чтобы эту систему можно было использовать для численного расчета поля, необходимо найти формуль­ ные выражения для матрицы фундаментальных решений

Gu (Q. Щ- Если анизотропная среда однородна и главные оси тензоров уц и р^/ ориентированы произвольно друг от­

носительно друга, то для определения Gtj (Q, М) можно использовать рассмотренный в работе [12] метод нахожде­ ния фундаментальных решений эллиптических уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. При этом получаются выражения для элементов тензора

Gij (Q, М) в виде поверхностных интегралов по единичной сфере. Другие интегральные представления для элементов

для элементов тензора Gij справедливы следующие более простые выражения, найденные А. И. Потехиным [71J и приводимые ниже в сферической системе координат:

Гчс — k ] / v\ sin2 ft -f- cos2 ft.

Случай одноосноанизотропной проводящей среды практи­ чески важен. В качестве одноосноанизотропной проводящей среды можно рассматривать и шихтованные сердечники, и зубцовую зону роторов электрических машин и многие другие «слоистые» конструкции электрооборудования.

7.ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ К. МЮЛЛЕРА

ИИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РАСЧЕТА КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Вработе [111] К. Мюллер рассмотрел задачу о расчете быстропеременного электромагнитного поля в простран­ стве, заполненном кусочно-однородной средой. Для этой за­

дачи в [111 ] была получена система интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода,состоящая издвух векторных интеграль­ ных уравнений, которые необходимо решать на поверхнос­ тях раздела сред; приведено подробное исследование этой системы уравнений [111].

Представляется интересным применить уравнения К. Мюллера к расчету квазистационарного электромагнит­ ного поля в пространстве, частично заполненном проводя­ щей средой, и сопоставить эти уравнения с интегральными уравнениями (3.210) и (3.211), полученными в гл. III, 5.

244

В отличие от К. Мюллера при выводе упомянутых урав­ нений будем исходить не из интегральных соотношений Стрэттона — Чу [77], а используем потенциалы электро­ магнитного поля и интегральные выражения для них. Та­ кой вывод уравнений К. Мюллера является, по мнению ав­ торов, более наглядным и элементарным. Кроме того, бу­ дет отчетливо видно, какие специфические особенности по­ являются при переходе к квазистационарному полю.

Уравнения синусоидально изменяющегося во времени электромагнитного поля имеют вид:

Введем векторные магнитный Ат и электрический А,,

а также скалярные магнитный срш и электрический сре по­ тенциалы, определив их равенствами:

Из равенств (3.297), (3.295) и (3.298) получаем

rot Я = rot rot Ат + /сое rot Ае = jm E + 8е =

= /сое rot Ае + со2цеЛт — /соеgrad сре + 8е.

Откуда

rot rot А — co2pe4m+ /соеgrad <ре = Ье,

или

— А%т— со2реЛт + grad div Ат + /®е grad % = 8е. (3.299)

Полагая

из уравнения (3.299) находим:

Учитывая симметрию уравнений (3.295) — (3.296) и соотношений (3.297) и (3.298), аналогично предыдущему

245

Сучетом равенств (3.300) и (3.303) соотношения (3.297)

и(3.298) преобразуем к виду:

246

При выходе соотношений

(3.308) и (3.309) были использо­ ваны следующие формулы век­ торного анализа [78]:

rot (ера) = ф rot а + [grad ер, а];

div (ера) = <р div a -J- (а, grad ер);

grad (а, 6) = (6, V) а + (а, V) ft +

+ [b, rota] + [a, rot6].

Формулы (3.308) и (3.309) по­ зволяют рассчитать векторы поля

Я (Q) и £ (Q) лишь в том слу­ чае, когда все пространство за­ полнено однородной средой с проницаемостями р,ие.

Рассмотрим теперь случай, когда среда однородна лишь в

некоторой области V+, ограниченной поверхностью S (рис. 37), и попытаемся вывести формулы для векторов Я и Я в области V+ через объемные сторонние токи в этой

области и через граничные значения векторов Я и Я на поверхности S. Чтобы найти такие формулы, предположим,

что вне области V+ поля Я и Я отсутствуют, т. е. Е~ = 0

и Н~ = 0. Последнее равносильно предположению, что

V+ будет создаваться не только объемными сторонними то­ ками, но и распределенными по S поверхностными элект­

рическими ie и магнитными im токами, плотности которых определяются по формулам:

ie = — [я, — Н~)\ im = —\п, — Е~], (3.310)

где нормаль п направлена наружу.

247

Поскольку принимаем, что поле снаружи отсутствует, то

Для векторных магнитного и электрического потенциа­ лов получаем для рассматриваемой задачи аналогичные со­ отношениям (3.306) и (3.307) формулы:

Из формул(3.312) и (3.313), используя соотношения

(3.304) и(3.305), выводим подобные (3.308) и (3.309) выра­ жения:

248

где Н° (Q) и Е° (Q) вычисляются по формулам (3.308) и (3.309), т. е. представляют собой магнитную и электриче­ скую напряженности поля, созданные объемными сторон­

принадлежит области V+. Если точка Q находится вне Р+, то левые части равенств (3.314) и (3.315) должны быть нуля­

- l k 'Q M

Г * ,.. J7 +

ФШм, (М)] — — dSM+

QM

+ - д а т § «'*»•£+ v «> v ° <3-316>

В случае, когда область V+ является внешней к 5, знаки перед интегралами в соотношениях (3.314) — (3.317) нужно

изменить на противоположные, если направление нормали п остается прежним.

Уравнения К. Мюллера используются для решения сле­ дующей задачи: рассчитать электромагнитное поле, соз­ данное сторонними токами, если пространство в области Vi заполнено средой с проницаемостями ц, и е(, а в обла­ сти Ve — средой с проницаемостями це и ее. Для простоты будем считать, что сторонние токи локализованы в облас­ ти Vt.

249