книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

Пусть i0 (M) и ст0 (M) — какое-либо решение этой систе­ мы. Введем вектор-функции:

где сГ (Q), b+ (Q) — значения вектор-функций соответст­

венно в областях V~ и V+. Из уравнений (3.213) и (3.214) и граничных свойств потенциалов (3.215) и (3.216) следуют краевые условия на поверхности S:

Краевая задача (3.217) — (3.222) совпадает с однород­ ной краевой задачей (3.173) — (3.178), если положить в по­

следней 8к з 0 для всех k. Поэтому согласно 2-й теореме единственности получаем:

230

из соотношения (3.227) и теоремы единственности решения внутренней задачи Дирихле находим

Ф+ (Q) == const в области V+

и

Отсюда, использовав граничное свойство (3.208) потенциала

231

Поскольку согласно соотношениям (3.205) и (3.206)

~T0(Q) = 1гыГь+ (Q)-F-(Q)],

то из равенств (3.224) и (3.238) вытекает

to (0 )^ 0 .

Теорема доказана.

Поскольку система уравнений (3.210) и (3.211) является сингулярной, то для нее теория Фредгольма не применима и поэтому из единственности решения этой системы не сле­ дует существование решения. Однако, используя общую теорию систем многомерных сингулярных интегральных уравнений, развитую С. Г. Михлиным, можно доказать существование решения системы уравнений (3.210) и (3.211).

Таким образом, рассматриваемая задача расчета поля сведена к решению системы из одного векторного (3.210) и одного скалярного (3.211) интегральных уравнений на поверхности S проводника. Для этой же задачи в гл. III, 2 получены системы интегральных уравнений, состоящие из одного векторного уравнения по объему проводника и одно­ го скалярного уравнения по его поверхности, если проводник

232

неферромагнитный, и еще одного дополнительного вектор­ ного интегрального уравнения, если проводник ферромаг­ нитный, т. е. р, ф р0. Естественно, что система уравнений (3.210) и (3.211) предпочтительна для численного расчета поля, поскольку имеет минимальную размерность и не содержит интегральных уравнений по объему.

Систему уравнений (3.210) и (3.211) нетрудно обобщить

на случай, когда в пространстве, кроме проводника V+ и катушек с током Vk, находится ферромагнитное непрово­ дящее тело Vq, магнитная проницаемость р, которого есть известная функция координат. Магнитную напряженность

Н+ (Q) в этом случае, по-прежнему, ищем в виде (3.201).

Для магнитной напряженности Н~ (Q) используем выраже­ ние

после чего нетрудно получить следующую систему инте­

2 3 3

o(Q) +

234

Ввиду некоторых особенностей остановимся на расчете плоского поля. Будем считать, что в пространстве парал­ лельно друг другу расположены длинные цилиндрические

через S( (рис. 36). Пусть заданы токи It в проводниках. Требуется, считая проводники бесконечно длинными, рас­ считать электромагнитное поле. К такой формулировке задачи приходим, например, при расчете электромагнитно­ го поля массивных тоководов.

Магнитную напряженность в области St обозначим через Н{, во внешней области S~ — через Н~. Для вектора маг

нитной напряженности получаем следующую краевую зада­ чу: найти вектор Я, удовлетворяющий уравнениям:

■I

Особенность этой задачи заключается в однородности всех входящих в нее соотношений, за исключением краево­ го условия (3.250), при помощи которого и выделяется нену­ левое решение краевой задачи.

Учитывая это, разыскиваем вектор Н~ (Q) в виде:

где ег — единичный вектор, перпендикулярный плоскости поперечного сечения проводников; Ot — произвольно вы­ бранные в сечениях S ( точки.

Таким образом в качестве источников для поля Н~ ис­ пользуем простые слои зарядов, распределенные по L{,

(3.251) вектор Н~ (Q) удовлетворяет уравнениям (3.246), (3.247) и краевому условию (3.250). Чтобы этот вектор сов­ пал с истинной магнитной напряженностью, необходимо

Ч

Так как для плоского поля фундаментальным решением уравнения Дф = /соруф служит модифицированная цилинд­ рическая функция второго рода нулевого порядка (функция Макдональда нулевого порядка) от аргумента р/^ль где р = У j сору, которая обозначается через К0 {§гчм), то маг­

нитную напряженность Н1в областях S{ разыскиваем в виде

R 1 ( Q ) = - ^ Г rot ^ е г Ч Ш ) К о (P / qm ) d l M =

Ч

= — ~ ф щ ( М ) \ёг, gradQ/(0 (Р(г<щ)] dlM. (3.253)

Ч

Просто проверяется, что разыскиваемый в виде (3.253) век­

тор Н‘ (Q) удовлетворяет уравнениям (3.244) и (3.245). Краевые условия (3.248) и (3.249) будут выполнены для век­ торов (3.251) и (3.253), если ас (М) и и,- (М) являются реше-

236

нием системы сингулярных интегральных уравнении:

(Q) + 1Г ^ xv (М) [«о, \ёг, gradQ/C0 ф■чГqm)]] dlM +

Можно показать, что из уравнений (3.255) следуют соот­ ношения (3.252). С помощью несложных преобразований уравнения (3.254) и (3.255) приводятся к следующему окон­ чательному виду:

2 3 7

Таким образом, расчет плоского поля сводится к решению системы двух сингулярных интегральных уравнений на контурах Lt поперечных сечений S( проводников.

6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ВИХРЕВЫХ ТОКОВ В ТЕЛАХ С АНИЗОТРОПНЫМИ ПРОВОДИМОСТЬЮ И МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ

Рассмотрим более сложную задачу, когда проводимость и магнитная проницаемость проводящего тела анизотроп­ ны [32 J.

Вначале не будем делать каких-либо допущений о кон­ кретном виде тензоров проводимости у{} и магнитной прони­ цаемости Ни, а выведем интегральные уравнения для обще­ го случая анизотропно проводящей среды. Однако ядра этих интегральных уравнений могут быть в явном виде най­ дены, а следовательно, и сами эти уравнения могут быть эффективно использованы в простейших случаях однород­ ной анизотропной среды.

Для анизотропной среды, как и изотропной, расчет поля сводится к решению следующей краевой задачи:

найти векторы Н~, Е~, Н+, Е+, удовлетворяющие урав­

238

Можно доказать, что решение краевой задачи (3.258) — (3.265) единственно. Эта краевая задача, как и задача (3.20) — (3.28), может быть расщеплена на две: для вектора

Яво всем пространстве и вектора ЕГ в области V .

1.Найти вектор Я, удовлетворяющий уравнениям:

вой задачи для вектора Я вполне достаточно, с точки зре­ ния практических нужд, то в последующем занимаемся толь­ ко этим вопросом.

Чтобы свести краевую задачу (3.266) — (3.270) к инте­ гральным уравнениям, вводим на поверхности S вторичные

2 3 9