книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

б. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИМАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ ДЛЯ РАСЧЕТА ВИХРЕВЫХ ТОКОВ В МАССИВНЫХ ПРОВОДНИКАХ ПРИ НЕРЕЗКО ВЫРАЖЕННОМ ПОВЕРХНОСТНОМ ЭФФЕКТЕ

При выводе систем интегральных уравнений решение уравнений поля разыскивалось в виде единых, пригодных для всего пространства интегральных выражений с неиз­ вестными плотностями, т. е. вводились единые для всего пространства вторичные источники. Такой подход привел к необходимости решения интегральных уравнений в объ­ еме проводников и на их поверхностях. Если проводники мас­ сивны и поверхностный эффект нерезко проявлен, то числен­ но решить такие системы интегральных уравнений при со­ временной вычислительной технике очень трудно. Поэтому целесообразно вывести такие интегральные уравнения, ко­ торые нужно было бы решать только на поверхностях про­ водников. С этой целью, как и в методе зеркальных изобра­ жений, отказываемся от единого для всего пространства интегрального представления решения полевой задачи, и, напротив, используем различные интегральные представ­ ления решения в областях, занятых проводящей средой, и вне их, т. е. вводим для поля в каждой из этих областей свои вторичные источники, распределенные по границам раздела сред. Заранее неизвестные плотности вторичных источников находятся из краевых условий на этих границах, что и приводит к системе интегральных уравнений относи­ тельно вторичных источников. Такой подход допускает раз­ личные реализации, приводящие к самым разнообразным системам интегральных уравнений. Рассмотрим одну реа­ лизацию, которая приводит к системе интегральных урав­ нений 2-го рода минимальной размерности [33].

Чтобы вывести эту систему интегральных уравнений, обратимся к краевой задаче (3.20) — (3.27), к которой сво­ дится расчет квазистационарного поля в пространстве, за­

полненном в области V+ проводящей средой с проводимос­ тью у и проницаемостью р (см. рис. 31). Решение краевой задачи (3.20) — (3.27) можно свести к последова­ тельному решению двух значительно более простых

краевых задач: для вектора Н во всем пространстве и

для вектора Е в области V~. Такое расщепление целесооб­

2 2 0

разно по следующим причинам: во-первых, поле Я~ в об-

П

ласти V — 2 Гд имеет простую потенциальную струк­

туру, во-вторых, во многих практических задачах решение краевой задачи для Я является достаточным, так как позво­ ляет определить как само поле Я, так и согласно уравнению (3.23) распределение вихревых токов в области V+. Непо­ средственно поле Е~ редко представляет интерес, и реше­

ние краевой задачи для Е~ можно в большинстве случаев не проводить.

Сформулируем краевую задачу для магнитной напряжен­ ности. Из уравнений (3.21) и (3.24) получаем:

приходим к краевой задаче: найти векторы Н~ и Я +, удов­

2 2 1

Справедлива 2-я теорема единственности: Краевая за­ дача (3.173) — (3.178) может иметь только одно решение.

Предположим, что существуют два решения краевой за­ дачи. Тогда разность этих решений будет удовлетворять однородной краевой задаче, возникающей из задачи

(3.173).— (3.178), если положить^ == 0 для всех k. Поэто­ му для доказательства единственности решения нужно до­ казать, что эта однородная краевая задача имеет только

нулевое решение. Введем векторы <§~ и &+, которые можно интерпретировать как электрическую напряженность раз­ ностного поля:

ко для доказательства в этом нет необходимости, и в после­

Учитывая существующую свободу выбора вектора а также уравнения (3.179), (3.181) и краевое условие (3.184), положим

2 2 2

Краевое условие (3.185) нельзя было бы принять, если бы не выполнялось граничное условие (3.184), так как в этом случае соотношение (3.185) противоречило бы уравнениям (3.179) и (3.181). Само краевое условие (3.184) вытекает из

Последнее равенство возможно, если Ж+ = 0 и У£Г =з 0. Теорема доказана.

Решив краевую задачу (3.173) — (3.178) для вектора Я,

согласно уравнению (3.23) определяем поле Е+ в области

Справедлива 3-я теорема единственности: Краевая за-

дача (3.188) — (3.199) имеет единственное решение. В самом

деле, если эта задача имеет два решения, то их разность <£~

223

v~

Поэтому

8 = — grad ф s= 0.

Теорема доказана.

Таким образом, краевую задачу (3.20) — (3.27) расще­ пили на две последовательно решаемые краевые задачи:

(3.173) — (3.178) для поля Я и (3.188) — (3.191) для поля Е~.

Поскольку решение краевой задачи относительно магнит­ ной напряженности составляет основную трудность расчета квазистационарного поля и в то же время вполне доста­ точно с точки зрения требований, предъявляемых практи­ кой, то в последующем занимаемся только решением этой краевой задачи.

Предполагая, что область V~ ограничена односвязной

поверхностью S, ищем Н~ в виде

224

Нетрудно проверить, что разыскиваемый в виде (3.199)

вектор Н~ (Q) удовлетворяет уравнениям (3.173) и (3.174).

Однако, чтобы вектор Н~ (Q) совпал с истинной напряжен­ ностью поля в V~, необходимо, чтобы

Соотношение (3.200) вытекает из выражения (3.199) и принципа непрерывности магнитного потока, согласно ко­ торому для любой поверхности F, охватывающей 5, спра­ ведливо равенство

Очевидно, что при этом уравнение (3.176) удовлетворя­ ется. Проверим, что удовлетворяется и уравнение (3.175).

Для этого, учитывая, что ДН+— —rot rot # ++grad div H+> согласно выражению (3.201) находим

Jr QM

=— 4F 9 1(Л*> A« (-----^QM -----) dSrA +

- ]a>liyR+,

t . e. выражение (3.201) удовлетворяет уравнениям (3.175)

и (3.176).

Впоследующем будем считать вектор i (At) касательным

кS. Функции а (М) и i (At) можно интерпретировать как плотности поверхностных распределений магнитных заря­ дов и электрических токов, т. е. в качестве вторичных источ­

ников для поля Н+ вводим простой слой электрических

токов, для поля Н~ — простой слой магнитных зарядов.

Неизвестные плотности а (М) и i (At) находятся из ин­ тегральных уравнений, которые следуют из краевых усло­ вий (3.177) и (3.178). Чтобы вывести эти интегральные урав­ нения, необходимо исследовать предельные (граничные) свойства потенциала (3.201), или все равно что потенциала

где Г — отличное от принятого в формуле (3.201) обо­ значение, чтобы придать общность последующим резуль­ татам.

Выражение (3.202) преобразуем к виду

226

Нетрудно убедиться, что функция

—<\+l)krQM |

rQM r QM

является непрерывной и сколь угодно раз дифференцируе­ мой. Разлагая e~il+l)krQMв ряд, находим

■ = - t . i + n k { i - " ^ r m + M + m i r U +

Из сопоставления полученного ряда с рядом для экспо­ ненты следует наше утверждение. Таким образом, второе слагаемое в выражении (3.204) сколь угодно раз непрерыв­ но дифференцируемо во всем пространстве, включая и по­

верхность 5, т. е. граничные свойства потенциала Г (Q) определяются первым слагаемым. Первое слагаемое в вы­ ражении (3.203) совпадает с векторным потенциалом по­ верхностного распределения магнитного момента [см. урав­ нение (2.59)]. Граничные свойства этого потенциала были подробно исследованы в гл. II, 2, согласно результатам ко­ торого получаем [см. формулы (2.61), (2.62), (2.67) и (2.68)]:

Выведем интегральные уравнения для i (М) и а (М ). Учитывая, что касательная составляющая градиента по­ тенциала простого слоя непрерывна при переходе через поверхность этого слоя, а также используя формулу (3.205), из выражений (3.201) и (3.199) находим, что краевое усло­

вие (3.177) будет выполняться, если i (М ) и а (М) будут решением следующего интегрального уравнения:

-<1+i)krQM

(3.210)

Аналогично из предельных свойств нормальной состав­ ляющей градиента потенциала простого слоя зарядов [см. формулу (1.24)] и из соотношения (3.207) находим, что

краевое условие (3.178) будет соблюдено, если i (М ) и о (М) будут удовлетворять уравнению

(3.211)

228

Для того, чтобы уравнения (3.210) и (3.211) можно было рассматривать как полную систему интегральных уравне­ ний, к которой сводится краевая задача (3.173) — (3.178), необходимо, чтобы из этих уравнений вытекало соотноше­ ние (3.200). Для доказательства соотношения (3.200) сле­ дует проинтегрировать уравнение (3.211) по S, сделать пе­ рестановки в смешанных произведениях векторов, изменить порядок интегрирования и воспользоваться формулой для интеграла Гаусса и теоремой о градиенте, согласно которой

(f) [grad ф, п] dS — 0. s

Для численного расчета целесообразно вместо уравне­ ния (3.211) использовать видоизмененное с учетом соотноше­ ния (3.200) уравнение

Таким образом, уравнения (3.210) и (3.211) образуют полную систему сингулярных интегральных уравнений 2-го

держащий о (М ), а в уравнении (3.211) — интеграл, содер­

жащий i (М ).

Справедлива 4-я теорема единственности: Система ин­ тегральных уравнений (3.210) и (3.211) может иметь толь­ ко одно решение. Докажем это. Рассмотрим однородную си­

229