книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

— V+ + V~ введем функцию тока фв (х, у, г) при помощи соотношений:

(3.133)

предположив при этом, что в области У ф 6 (х, у, г) = / (г), где / (z) — значение функции тока на внутренней боковой

«Э-ф6 (Хр, Ур, 2р)

210

При выводе соотношения (3.134) учтено, что для всех гР

значение фв (хР, уР, zp) на внешней боковой поверхности V+ равно нулю. Из формулы (3.134) следует

Для линейной плотности Jв вихревых токов в пластине находим

J B— yhE = — jayh (Лв -|- Лб) — y/igrad фе, (3.136)

где скалярный электрический потенциал сре удовлетворяет на поверхности S по переменным х и у уравнению Лапласа и выбирается в последующем таким образом, чтобы на краю пластины L выполнялось следующее граничное условие:

Для двойного векторного произведения получаем

[{гр м , к ] Ш м ] = г p m ( к , ( И м ) — к ( г р м , Л 1 м ) = — к ( г р м , Л 1м ).

Откуда

{к, \{ г рм, к], (11м]) — — (срм, (М м )-

Следовательно

Учитывая это, из уравнения (3.139) находим

Скалярный потенциал q>e в области S является решением внутренней задачи Неймана для уравнения Лапласа с крае­ вым условием

■тЁНО) = — (Q) — /соЛ® (Q), (3.141)

вытекающим из соотношений (3.137) и (3.136).

Для разрешимости внутренней задачи Неймана необхо­

212

Из соотношений (3.131) и (3.135) следует, что условие (3.142) будет выполнено, если

L TQP

Справедливость этого соотношения проверяется просто:

приходим согласно соотношению (3.141) к интегральному уравнению

где P' — проекция P на плоскость пластины.

Уравнение (3.143) разрешимо, но решение его не един­ ственно. В самом деле, к какому-либо решению уравнения (3.143) можно прибавить ненулевое решение задачи Робэна,

не изменив при этом grad <р4 внутри L. Для того, чтобы это уравнение стало однозначно разрешимым, преобразуем его к виду

213

Вернемся к уравнению (3.140). Нетрудно видеть, что

L

где grad„— нормальная к контуру Coqсоставляющая гра­

диента; 0 (Q, Р) — угол между некоторой осью х и rQp. Учитывая равенство (3.145), из уравнения (3.140) на­

ходим

фв (Q) + J dSp + § о (Р) в (Q, Р) dlP +

вая — от О, поэтому каждая из них порознь равна одной и той же константе, т. е.

214

Отсюда и из уравнения (3.143) получаем

dlQ ~ и -

Таким образом из уравнений (3.147) и (3.143) следует

r QP

V

Уравнения (3.144) и (3.151) образуют полную систему интегральных уравнений для расчета вихревых токов в

пластине. Решив эту систему, найдем распределение (Q) и а (Q), по которым можем определить линейную плотность

вихревого тока Jв (Q). Для этого существуют две возмож-

215

ности: либо воспользоваться формулой (3.127), которую для пластины можно представить в виде двух соотношений:

подходе необходимо производить численное дифференциро­ вание функции тока, что может привести к дополнительной вычислительной погрешности. Второй подход более точен, но сопряжен с более трудоемкими вычислениями интегра­

лов. Зная распределение фи (Q), просто построить картину

поля J B (Q), поскольку уравнение фв (Q, /) == const явля­

ется уравнением силовой линии вектора JBв момент време­ ни t. Эта картина поля со временем меняется. Последнее

объясняется тем, что фв (Q) для различных точек пластины имеет различные фазы.

Соотношение (3.130) можно использовать для вывода интегральных уравнений в случае проводящих оболочек. Однако система интегральных уравнений при этом получа­ ется значительно более сложной, чем система (3.143) и (3.151). Поэтому выясним, какие упрощения могут быть вне­ сены в систему (3.61), (3.62) и (3.64) для случая тонкой замк­ нутой проводящей неферромагнитной оболочки и какие результаты из этого упрощения можно извлечь. Поскольку оболочка неферромагнитная, то уравнение (3.62) может быть опущено, а уравнение (3.61) можно записать в виде

где A6 — векторный потенциал, созданный известным рас­ пределением токов.

Из соотношения

6 = уЕ = — /toy (Аъ+ А б) — у grad ф.

и краевого условия для б на и S2

MQ)/s, = 0 и MQ)/Sl = o,

следуют следующие граничные условия для ср, на Sj и S2:

216

Учитывая тонкостенность оболочки, из соотношений

(3.153) находим:

дф,

Согласно формуле (3.154) можно считать, что потенциал

<р, создается двойным слоем электрических зарядов, рас­ пределенных no-S с плотностью

Если толщина h оболочки достаточно мала, то будет малой величиной т£, и, следовательно, можно пренебречь

<ре и grad ср£ в уравнении (3.152), т. е. приближенно можно считать, что распределение линейной плотности вихревого тока в оболочке описывается уравнением

7(Q) +тг Ф dSM = — 14 (Q); 1

(3.157)

Если ввести на поверхности S ортогональную криволи­ нейную систему координат, то уравнение (3.157) можно за­ писать в виде:

217

где тх (Q) и т2 (Q) — единичные векторы, касательные к

координатным линиям на 5 в точке Q; J%i (Q) и JXa (Q) — составляющие линейной плотности вихревого тока по на­ правлениям этих векторов.

Систему интегральных уравнений (3.158) и (3.159) целе­

r QM

Оператор Т является самосопряженным в L22) (S), т. е.

218