книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

при этом

х • в

(3.93)

1 / T + W F

т. е. последовательные приближения будут сходиться не медленнее геометрической прогрессии со знаменателем

/1 + а 2В2

Сучетом уравнения (3.82) алгоритм последовательных приближений для уравнений (3.75) и (3.76) можно записать

ввиде:

где £ 0 (Q) — кусочно-постоянная в областях Sk функция. Параметр а в алгоритмах (3.94) и (3.95) должен вычис­

ляться согласно формулам (3.92), (3.87) и (3.88).

Согласно соотношениям (3.92) и (3.93) получаем следую­ щее неравенство:

IIб II <- (1 + II-К II + II к IP + • • • + \ \ К Г + • • • ) « ! / ! <

200

Таким образом, получили априорную эффективную оцен­ ку для удельных активных потерь (потерь на единицу длины системы) через исходные данные задачи: падения напряже­

ний Ёок на единицу длины проводов; свойства материала у, р0 и частоту со, входящие в Я; геометрию системы, от которой зависит величина В. Это неравенство может быть полезно в тех случаях, когда интересуются только активными по­ терями, так как позволяет оценить эти потери, не произво­ дя трудоемкий расчет электромагнитного поля. Выражение

(3.97) получено из (3.96), когда для f и В взяли величины, соответствующие уравнению (3.75). Более точную, но и более трудоемкую при использовании оценку для активных

потерь можно получить из (3.96), если вместо / и В подста­ вить соответствующие им величины для уравнения (3.76):

1+я*г*—А£/Г+я*3*

где величину В следует вычислять по формуле (3.88).

3. УМЕНЬШЕНИЕ РАЗМЕРНОСТИ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПУТЕМ ВВЕДЕНИЯ СКАЛЯРНЫХ ВТОРИЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ ПОЛЯ НАМАГНИЧЕННОСТИ

Заменим простые слои токов намагниченности эквива­ лентными слоями скалярных вторичных источников. При

этом искомая векторная плотность i будет заменяться ска­ лярной величиной — плотностью простого или двойного слоя,— поэтому число уравнений в общей системе сущест­ венно уменьшится [88, 89, 92].

Поскольку интегральные уравнения (3.69) и (3.70) отно­

сительно i (Q) и iq (Q) идентичны, то и уравнения относи­ тельно эквивалентных им скалярных источников будут оди­ наковыми, поэтому несколько упростим задачу, т. е. будем

201

где В6 — составляющая, созданная всеми токами проводи­ мости в предположении, что окружающая среда однородна;

В" — составляющая, созданная намагниченностью тела Vq. Соответственно и векторный потенциал запишем в виде

Подставляя соотношения (3.99) и (3.100) в (3.49), выво­ дим интегральное уравнение

Для плотности о (М) электрических зарядов, наведен­ ных на S, подобно предыдущему выводим интегральное уравнение, аналогичное уравнению (3.71):

Поскольку rot BH= 0, то можно ввести скалярный маг­ нитный потенциал выражением

Очевидно, что потенциал ц>т удовлетввряет уравнению Лапласа как внутри, так и вне ферромагнитного тела Vq.

2 0 2

Для того, чтобы этот потенциал был однозначной в Vq функ­ цией, будем предполагать, что Vq не является замкнутым магнитопроводом, охватывающим отличный от нуля ток. В противном случае в Vq необходимо ввести непроницае­ мую перегородку (см. гл. II, 4).

Из разложения (3.98) и краевых условий для вектора В на границе Sqферромагнитного тела находим:

(3.104) будут выполнены, если скалярный потенциал <рт будет удовлетворять граничным соотношениям:

где фт — скалярный потенциал поля Вб, имеющий смысл

в области вне токов (см. гл. II, 3); С — произвольная по­ стоянная.

Поскольку скалярный потенциал фт — гармоническая внутри и вне Vq функция, нормальные производные которой

на S q непрерывны, а сам потенциал на Sq разрывен, то фт можно представить в виде потенциала двойного слоя маг­ нитных зарядов, распределенного по Sq:

уравнении к характеристическому значению — единице, так как обычно р0, то это уравнение целесообразно

203

преобразовать к следующему виду (см. гл. II, 4):

Чтобы замкнуть интегральные уравнения (3.101), (3.102) и (3.107) в общую систему, выразим векторный потенциал

А" через плотность т двойного слоя и скалярный магнитный

потенциал ср^ через распределение токов 6В и 8h. Для этого воспользуемся формулами (2.168) и (2.116), согласно кото­ рым:

Формула (3.109) справедлива в том случае, если из каж­ дой точки поверхности Sq можно провести прямую, парал­

лельную вектору 0, уходящую в бесконечность в направле­ нии этого вектора и непересекающую области, занятые

токами. В противном случае вычисление ф^ (Q) на59 нужно вести по участкам, пользуясь несколько более сложной формулой (2.109). Подставляя формулу (3.108) в уравне­ ния (3.101) и (3.102), а формулу (3.109) — в уравнение

(3.107), получаем полную систему интегральных уравнений

относительно вторичных источников 6В(М), а (М) и т (М). Возможен иной вариант системы интегральных уравне­ ний, когда вместо двойного слоя на поверхности Sq вводится простой слой магнитных зарядов. Чтобы сделать рассмот­

204

рение более содержательным, усложним задачу, т. е. будем считать, что среда внутри ферромагнитного тела Vq явля­ ется неоднородной, магнитная проницаемость которой есть известная функция координат.

Используем следующее разложение:

где Я 5 — составляющая, созданная всеми токами проводи­ мости в однородном пространстве с проницаемостью р0;

Нн — составляющая от намагниченности ферромагнитного тела Vq.

Аналогично

что приводит к интегральным уравнениям относительно

бв (Q) и о (М), отличающимся от уравнений (3.101)и (3.102)

только тем, что перед слагаемыми, содержащими Ан, дол­ жен присутствовать множитель р0. По этой причине эти уравнения не выписываем заново, а при последующих ссыл­ ках считаем, что этот множитель поставлен. Поскольку

rot Я" = 0, то вводим скалярный магнитный потенциал

Везде вне магнетика Vq этот потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа

дует, что в области Vq потенциал <pm удовлетворяет

205

следующим уравнениям:

div grad <p№= - J - {div (\iqH6) — (grad j*ff>grad cpm)} =»

На поверхности раздела сред5? из соотношений (3.110), (3.115) и непрерывности касательных составляющих маг­ нитной напряженности и нормальных составляющих ин­ дукции следуют краевые условия:

Из уравнений (3.117) — (3.119) получаем, что источни­

ками скалярного потенциала ц>т являются объемные маг­ нитные заряды, распределенные в У, с плотностью

и простой слой магнитных зарядов, распределенный поSq. Поэтому

При этом р? (М) и aq (М ) связаны соотношением (3.122)

следующим из принципа непрерывности магнитного по­

206

Г(grad \iq (Q), [бв (M), rQM\)

Чтобы замкнуть интегральные уравнения (3.101), (3.102), (3.123) и (3.124) в общую систему, осталось выразить век­

торный магнитный потенциал Лн через плотности р9 (М)

и oq (М) магнитных зарядов. Для этого достаточно восполь­ зоваться формулами (2.191) и (2.198), согласно которым

rQM [rQM + (rQM’ *)}

Подставляя соотношение (3.125) в уравнения (3.101) и (3.102), получаем полную систему интегральных уравнений

относительно вторичных источников 6В(М), а (М), aq (М),

РЩ(М).

4. РАСЧЕТ ВИХРЕВЫХ ТОКОВ В ТОНКИХ ПРОВОДЯЩИХ ПЛАСТИНАХ И ОБОЛОЧКАХ

Растекание вихревых токов в пластинах и оболочках можно считать поверхностным и описывать его при помощи функции тока. Это позволяет, например, для пластин вме­ сто двух интегральных уравнений относительно компонент вектора плотности вихревого тока составить одно инте­ гральное уравнение относительно функции тока [47].

Функция тока для расчета распределения вихревых то­ ков в тонких пластинах и оболочках применялась ранее и иным образом в работах [107, 108]. В этих работах магнитным полем вихре­ вых токов пренебрегали по сравнению с внешним маг­ нитным полем, что далеко

не всегда допустимо.

Под проводящей оболоч­ кой (пластиной) V будем понимать проводник, огра­ ниченный двумя «парал­

лельными» поверхностями Sx иS 2 (рис. 33), расстояние меж­ ду которыми (толщина оболочки) h много меньше прочих размеров. Поверхность S, одинаково отстоящую от Sx и S2, будем называть срединой, а ограничивающий ее контур бу­ дем обозначать через L. Пусть Р произвольная на S точка. Соединим ее каким-либо контуром С с любой точкой О гра­ ницы L. Через F обозначим поверхность, заключенную меж­ ду Sx и S 2 и образованную движением нормали к S вдоль С.

Значение функции тока фв в точке Р определим по фор­ муле

Из принципа непрерывности электрического тока сле­ дует, что значение функции тока не зависит от выбора кон­ тура С, соединяющего Р с L, а определяется только поло­ жением точки Р.

Реальную оболочку заменим бесконечно тонкой оболоч­ кой, совпадающей с S и обладающей поверхностной удель­ ной проводимостью а *= yh. Действительное токораспределение в оболочке заменим поверхностным по S токораспре­

208

делением, определив его при помощи соотношения

Найдем выражения для векторного потенциала А* поля, созданного вихревыми токами в оболочке S. Для разности скалярного магнитного потенциа­

ла фт между точками Р' и Р", бесконечно близко прилегающи­ ми с разных сторон kS (рис. 34), согласно закону полного тока получаем

Фт ( р ') — Фт ( И =

=j>Hdl = ty*(P). (3.328) L

Поэтому поверхностное распределение токов по 5 экви­ валентно по создаваемому им магнитному полю двойному слою магнитных зарядов, распределенных по5 с плотностью

Соотношение (3.130) является основным для последую­ щего вывода системы интегральных уравнений. Наиболее простой вид эта система имеет в случае, когда вихревые то­ ки наводятся в проводящей пластине, а внешнее магнитное поле создается заданным распределением токов, вектор плотности которых параллелен плоскости пластины (рис. 35). Разместим декартову систему координат так, что­ бы ось z была перпендикулярна к плоскости пластины. Тог­