книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

(3.27). Из выражения (3.48) видно, что краевое условие

(я, rot /7^~ — rot 7i~~) — 0.

Отсюда, учитывая уравнения (3.20) и (3.23), находим

Согласно соотношению (3.49) краевое условие (3.54) бу­

дет выполнено, если потенциалы А и фе на поверхности 5 будут связаны соотношением

Из уравнения (3.41), согласно теореме Гаусса, получаем

i ~A+dS = 0.

(3.47), (3.49) — (3.53), (3.55) и (3.57) для потенциалов А

190

и фе. Последнюю задачу и сведем к интегральным уравнени­

ям. Для этого разыскиваем векторный потенциал А в виде

т. e. в качестве вторичных (наведенных) источников для векторного потенциала вводим вихревые токи в проводнике

V+ и простой слой токов намагниченности на 5.

Нетрудно видеть, что векторный потенциал (3.58) удов­ летворяет уравнениям (3.45) — (3.47) и краевому условию

(3.51).

Скалярный электрический потенциал сре разыскиваем в виде

»■<«?> = - 4 ( 3 . 5 9 )

т. е. в качестве вторичных источников для скалярного по­ тенциала вводим простой слой электрических зарядов, на­ веденных на S.

Потенциал (3.59) удовлетворяет уравнению (3.50) и крае­ вому условию (3.52). Для того, чтобы соблюдалось гранич­

плотности 6В(Af), i (М ), о (Af), чтобы выполнялись соотно­ шения (3.49), (3.53), (3.55). Из соотношения (3.49), (3.58)

и (3.59) выводим интегральное уравнение для плотности

6* (М) вихревых токов

191

Из свойств векторного потенциала простого слоя токов (см. гл. II, 2) находим, что краевое условие (3.63) будет

выполнено, если плотность i (М) будет удовлетворять сле­ дующему интегральному уравнению:

Согласно соотношению (1.23) для предельного значения нормальной производной потенциала простого слоя следует, что для удовлетворения краевому условию (3.55) плотность

о (М) должна быть решением следующего интегрального уравнения:

Система интегральных уравнений (3.61) — (3.63) для расчета квазистационарного электромагнитного поля в про­ странстве, частично заполненном проводящей средой, впер­ вые была сформулирована в работах [67, 68].

Решение этой системы неединственно, т. е. если 6В(М),

i(М) и а (М) — какое-либо решение этой системы, то 6В(М),

i(М) и о (М) + о0 (.М), где а0 (М) — отличное от нуля ре­ шение задачи Робэна, также является решением системы (3.61) — (3.63). Чтобы устранить эту многозначность, не­ обходимо преобразовать уравнение (3.63) таким образом, чтобы выполнялось условие (3.60). Такие преобразования мы неоднократно выполняли, поэтому приведем оконча-

192

Можно доказать, что система интегральных уравнений (3.61), (3.62), (3.64) однозначно разрешима. Доказательство

ходимо решать в объеме проводника, что сопряжено с большими вычислительными трудностями. Эта система ин­ тегральных уравнений еще более усложняется, если в про­

странстве, кроме проводника V+ и катушек с током Vh, име­ ется ферромагнитное непроводящее тело Vq, ограниченное

поверхностью Sq (рис. 31). В этом случае на поверхности >4vSc

должны выполняться следующие краевые условия для Л

(см. гл. II, 1):

необходимо дополнительно к используемым уже вторичным источникам ввести простой слой токов намагниченности,

194

Большая размерность составленной системы интеграль­ ных уравнений (3.68) — (3.71), а также необходимость ре­ шения векторного уравнения (3.68) в объеме проводника побуждают искать другие способы формулировки задачи, которые приводили бы к более простым системам интеграль­ ных уравнений меньшей размерности. При этом усилия должны быть сосредоточены в двух направлениях: 1) на уменьшении размерности системы интегральных уравнений с помощью замены, где только возможно, векторных вто­ ричных источников скалярными; 2) на преобразовании век­

торного интегрального уравнения относительно 6В по объе­ му проводника в интегральные уравнения по его поверх­ ности.

Последнее особенно важно для массивных проводящих тел.

Все эти вопросы будут изучены в последующем, а сей- , час рассмотрим плоское поле, для которого система уравне­ ний (3.68) — (3.71) сильно упрощается. Максимальное упро­ щение достигается в случае, когда электромагнитное поле в окружающем пространстве создается длинными цилиндри-

ческими немагнитными проводниками, поперечные сечения

которых обозначим через ^ \ (k = 1, 2, п) (рис. 32). При этом необходимо найти распределение вихревых токов в этих проводниках. К такой задаче проводит, например, расчет электромагнитного по­ ля в массивных тоководах.

Поскольку проводники счи­ таем немагнитными, а также предполагаем, что в окружа­ ющем пространстве отсутст­ вуют непроводящие ферро­

Поэтому

— (егgrad фе) = Eoi,

где Eot — постоянная в пределах каждого проводника ве­ личина, которой можно придать физический смысл падения напряжения на единице длины t-ro проводника.

196

С учетом последнего равенства интегральное уравнение (3.73) преобразуем к виду

Это интегральное уравнение целесообразно использо­ вать для расчета вихревых токов в тонкостенных провод­ никах S k. Уравнение (3.75) подробно исследовалось в ра­ боте [99], где предложено преобразовать это уравнение с учетом соотношения

s - S s*.

/г=1

Уравнения (3.75) и (3.76) можно записать в виде сле­ дующих операторных уравнений:

где к — — , а оператор Т определяется соотношением

197

Поскольку ядро оператора (3.78) симметрично, то этот оператор является самосопряженным в пространстве L2 (S), т. е. (см. приложение 1).

В работе [99] показано, что оператор (3.79) также яв­ ляется самосопряженным, если его [а вместе с ним и урав­

нение (3.76)] рассматривать на подпространстве L°2 (S) функ­ ций пространства L2 (S), удовлетворяющих условию

Там же для решения операторного уравнения (3.77) предложен сходящийся итерационный процесс, использую­ щий вместо исходного оператора Т оператор Г2. Реализа­ ция этого процесса вызывает некоторые трудности, посколь­ ку вычисление ядра оператора Т 2 более трудоемко, чем вы­ числение ядра оператора Т. В связи с этим построим другой итерационный процесс для уравнения (3.77), свободный от отмеченного недостатка, сходящийся для любого самосо­ пряженного оператора Т и любых вещественных значений

X [36].

Запишем уравнение (3.77) в другом эквивалентном виде:

Последовательные приближения для уравнения (3.84) будут сходиться, если ||/ ( ||< 1 [см. формулу (П.34)]. Оценим норму оператора К. Используя свойства скалярного произведения, получаем

|Хф||2 = (/Сф, /Сф) = ((1 — а)ф — jacXTep, (1 — а) ф — jaXTф) =

= (1 — а)2 (ф, ф) + /ос (1 — ос) Я (ф, Т<р) —

—- /ос (1 — ос) X (Гер, ф) -f а2Х2 (Гер, Тер).

198