книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

где Е'п (Q) — нормальная составляющая напряженности, создаваемая зарядом а (Q) AS; Епu (Q) — нормальная со­ ставляющая напряженности, создаваемая всеми остальны­ ми зарядами, расположенными как на поверхностиS, таки

гДе Pk (N) — — pk — объемная плотность свободного заряда

Si

в областях Vu приведенная к среде с проницаемостью ее.

Составляющая Епо (Q) имеет в точке Q одинаковое на­ правление по обе стороны от поверхности S, условно приня­

тое совпадающим с направлением внешней нормали h q к

поверхности S в точке Q. Составляющая Еп (Q), создавае­ мая зарядом а (Q) AS, имеет противоположные направления в точке Q по обе стороны от поверхности S. При положитель­ ной величине a (Q) эта составляющая вне поверхности S совпадает по направлению с направлением внешней норма­

ли и, следовательно, складывается с Еп0 (Q), а внутри по­ верхности противоположна направлению внешней нормали

и потому вычитается из Eno(Q)- Картина поля, создан­ ного заряженным элементом AS, симметрична по обе сторо­ ны от этого элемента вследствие пренебрежения кривизной

этого элемента. Из симметрии поля Е' и из соотношения

Приближенный знак равенства в выражении (1.17) по­ ставлен потому, что в действительности симметрия поля

И

элемента AS несколько нарушается вследствие реально существующей малой кривизны этого элемента.

Согласно выражению (1.16) после предельного перехо­ да получаем

Tаким образом, нормальная составляющая электрической напряженности при переходе через простой слой зарядов претерпевает скачок. Скачок Еп в каждой точке Q заря­ женной поверхности S создается за счет собственного про­ тивоположно направленного по обе стороны от S поля эле­ мента AS, охватывающего точку Q. Поскольку на границе S должно выполняться условие (1.14), то из выражений

(1.18) и (1.19) находим

* Под термином «кривизна» понимаем не математическую величину, обратную радиусу кривизны (такая величина не зависит от размеров элемента AS), а искривленность элемента,степень его отличия от плоско­ го, которая тем меньше, чем меньше сам элемент.

12

Приведенный вывод интегрального уравнения (1.21), принадлежащий, в основном, Г. А. Гринбергу [14], явля­ ется прозрачным с физической точки зрения, но не удовле­ творяет требованиям математической строгости. Строгий вывод этого уравнения можно получить на основе матема­ тической теории потенциала [16]. Для этого решение крае­ вой задачи (1.6) — (1.11) будем искать в следующем виде:

Потенциал ф (Q), представленный в виде (1.22),- удовлетворяет всем условиям краевой задачи, за исключе­ нием последнего условия (1.11). Для удовлетворения этому воспользуемся теоремой о скачке нормальной производной

потенциала простого слоя ф (Q) = - j— ф ———dSM, J QM

S

13

Учитывая выражения (1.23) и (1.24), из соотношения (1.22) получаем:

Отсюда находим, что для выполнения краевого условия (1.11) плотность о (Q) должна удовлетворять интегрально­ му уравнению (1.21), т. е. формальным путем получаем тот же результат.

Согласно методу вторичных источников необходимо вна­ чале из интегрального уравнения (1.21) определить распре­ деление плотности о (М) связанных зарядов, после чего потенциал поля находится из формулы (1.22), а напряжен-

14

Таким образом метод вторичных источников позволяет заменить решение краевой задачи (1.6)—(1.11) во всем нео­ граниченном пространстве решением интегрального уравне­ ния (1.21) на пбверхности S раздела сред и тем самым дает возможность значительно сузить область поиска неизвест­ ных. При численном решении задачи на ЭЦВМ метод вто­ ричных источников обладает еще одним важным достоинст­ вом, состоящим в том, что интересующие нас величины ф (Q)

и Е (Q) определяются интегрированием плотности о (Q). Поэтому в результате усреднения, происходящего при ин­

тегрировании, точность определения ф и Е будет выше точности определения а, вычисляемой в результате при­ ближенного решения интегрального уравнения (1.21). При­ менение метода вторичных источников не связано с конкрет­ ным видом поверхности S и возможно для любой «разумной» формы границы раздела сред. Интегральные представле­ ния (1.22) и (1.25), к которым приводит этот метод, позво­

ляют определять ф и Е в любых интересующих нас точках пространства. Все перечисленные преимущества свиде­ тельствуют об эффективности метода интегральных уравне­ ний и о целесообразности его использования и развития для расчета электростатических и вообще электромагнитных полей.

Метод вторичных источников по своей идее аналогичен методу изображений [60, 69, 78]. При использовании обоих этих методов кусочно-однородная среда, в которой исследу­ ется поле, заменяется однородной средой с помощью вве­ дения дополнительных источников. Однако в отличие от метода изображений, в котором дополнительные источники вводятся внутри каждой из однородных сред, в методе вто­ ричных источников дополнительные источники вводятся на границе раздела однородных сред. Это позволяет полу­

чить выражения (1.22) и (1.25) для ф и Е, справедливые од­ новременно для любой из однородных сред. Для тех форм

15

границы S раздела сред, для которых методом изображений можно получить аналитическое решение, метод вторичных источников также дает возможность найти это решение.

Пример 1. Определим ст для случая,гкогда граница раздела сред представляет собой безграничную плоскость. Если S представляет собой

плоскость, то векторы rqM и Hq ортогональны, cos (TqM, Hq) = 0 и

интеграл по поверхности S в уравнении (1.21) обращается в нуль. Откуда

Пример 2. Определим ст (M) для плос­ кой задачи, когда граница раздела сред L имеет форму окружности (рис. 3). Интегральное уравнение (1.21) для плоского поля имеет вид

16

Проинтегрируем выражение (1.29) по точке Q вдоль L (изменив, где требуется, порядок интегрирования). Тогда

*=! vk

Используя это, из выражения (1.29) получаем

Из разобранных примеров видно, что возможности ме­ тода вторичных источников, с точки зрения нахождения ана­ литических решений, не уже возможностей метода изобра­ жений. Более того, эти возможности значительно шире. Интегральное уравнение (1.21) в работе [14] применено для нахождения аналитических решений в случае слоистого и секториального раздела сред. Рассмотрение указанных за­ дач методом изображений встречает непреодолимые труд­ ности.

Однако аналитические возможности метода вторичных источников, как и всех других аналитических методов, ограничены и охватывают лишь узкий класс простых форм границы раздела сред. Решающее преимущество метода вторичных источников перед остальными состоит в возмож­ ности построения универсальных и эффективных числен­ ных алгоритмов расчета полей, ориентированных на приме­ нение ЭЦВМ и пригодных для сложных форм границ раз­ дела сред.

При численном решении интегрального уравнения (1.21) в связи с приближенным характером вычислений возникают опасные возможности накопления погрешностей, которые

т) (Q) dSQ= а ф 0.

s

18

Учитывая линейность уравнения (1.33), для погрешнос­ ти решения £ (Q) получаем

Проинтегрировав выражение (1.34) по точке Q вдоль поверхности S и изменив порядок интегрирования, опре­ деляем

Используя соотношение, аналогичное выражению (1.31)

из выражения (1.35) получаем

(l- X )^ £ (Q )d 5 Q= |r](Q )d S Q.

це и малая погрешность а, допущенная в среднем значении правой части / (Q), приводит к большой погрешности в среднем значении решения, а следовательно, и в самом ре­ шении. В предельном случае е,- = оо, т. е. когда тело внут­ ри поверхности 5 является проводником, параметр X = 1 и согласно соотношению (1.37) погрешность в решении бес­ конечно велика. Это говорит о том, что при X = 1 уравнения (1.21) и (1.33) разрешимы не при любой правой части. По­ следнее на языке теории интегральных уравнений озна­