книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

Произведя измерения на тороиде, можем определить за­

и | Яа. | = /2 (У и, |7 i j).

Отсюда согласно уравнениям (2.262) и (2.263) получаем:

Зависимости (2.265) определяются не только сортом ферро­ магнитного материала, но и предысторией намагничивания. Поэтому при снятии этих зависимостей необходимо предва­ рительно воспроизводить предысторию намагничивания. По­ скольку каждая точка ферромагнитного тела имеет свою индивидуальную предысторию, то объем эксперименталь­ ных данных или число зависимостей типа (2.265) должно быть очень большим, чтобы можно было ставить задачу о расчете поля в гистерезисной среде. Без предположения об изотропности и однородности гистерезисной ферромагнит­ ной среды объем необходимыхэкспериментальных иссле­ дований неизмеримо бы вырос.

В качестве иллюстрации рассмотрим следующую важ­ ную для проектирования постоянных магнитов задачу. Раз­ магниченное тело первоначально намагничивается в неко­

тором внешнем поле Яв (Q). Затем внешнее поле снимается. Нужно найти распределение намагниченности в ферромаг­ нитном теле после снятия внешнего поля.

При расчете первого равновесного состояния, которое приобретает тело под действием внешнего поля, будем пола­ гать среду изотропной в обычном смысле (конечно, при до­ статочных априорно имеющихся для этого основаниях)

и для расчета распределения J воспользуемся уравнением

(2.252) или методами гл. II, 6. Вектор J (М) при этом первом после размагниченного равновесном состоянии определяет предысторию намагничения в каждой точке тела, направ­

ление его совпадает с направлением kQ локальной оси ани­ зотропии, которое необходимо использовать для расчета следующего равновесного состояния. Поскольку среда изо-

180

Глава III

РАСЧЕТ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

В НЕОДНОРОДНЫХ И ПРОВОДЯЩИХ

СРЕДАХ

1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ РАСЧЕТА КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

Метод вторичных источников (метод интегральных урав­ нений) применим к решению более сложной задачи, а имен­ но к расчету синусоидально изменяющегося во времени квазистационарного электромагнитного поля в пространстве,

(и неэкранированных) тоководов, при расчете электромаг­ нитных процессов в разнообразных устройствах автомати­ ки и вычислительной техники и т. д.

Более четко рассматриваемая задача может быть сфор­ мулирована следующим образом: рассчитать электромагнит­ ное поле, созданное переменными токами заданной плот­

ности 6ft, протекающими в катушках Vk, (k = 1, 2, ..., п),

если пространство в области Г~*~ заполнено проводящей сре­ дой с проводимостью у и магнитной проницаемостью р

(рис. 30).

Для упрощения вначале предполагаем, что окружающая

проводник V+ среда является однородной в магнитном от­ ношении и имеет проницаемость р0. В последующем услож­ ним задачу и будем считать, что окружающая проводник

182

V+ среда является кусочно-однородной (или неоднородной) в магнитном отношении, т. е. что в окружающем проводник пространстве содержатся ферромагнитные непроводящие те­ ла, например шихтованные сердечники. Сформулируем по­ ставленную задачу расчета поля в виде краевой. Для этого воспользуемся уравнениями Максвелла.

Уравнения синусоидального изменяющегося во времени электромагнитного поля имеют вид:

где б — известная плотность стороннего тока, локализован­ ного обычно в некоторой ограниченной части пространства (например, в катушках), в которой можем управлять током.

Естественно считать

Из уравнений (3.1) — (3.3) в качестве следствий полу­ чаем:

причем эти соотношения справедливы во всем пространстве. Соотношения (3.4) и (3.5) вытекают из (3.1) — (3.3) при предположении постоянства параметров среды у, е и ц. Используя уравнения (3.1) и (3.2), поставленную зада­ чу расчета поля можно сформулировать в виде следующей

краевой: найти в области У- векторы Н~ и Е~, а в V+ —

векторы Н+ и Е+, удовлетворяющие уравнениям:

183

на поверхности 5 проводника.

В работах [5, 30] доказано, что сформулированная крае­ вая задача имеет единственное решение.

Из краевых условий (3.10), (3.11) и уравнений (3.6) — (3.9) вытекают краевые условия для нормальных составляю­

щих векторов Я и Я на поверхности S:

(л, рЯ+ — р0Я ) = 0;

При достаточно низких частотах с целью упрощения можно пренебречь электрическими токами смещения внут­ ри проводника и в окружающем его пространстве, т. е. принять условия квазистационарности. Пренебрежение то­ ками смещения в окружающем пространстве равносильно тому, что ограничиваем рассмотрение поля областью вбли­

зи катушек Vh и проводника V+, геометрические размеры которой много меньше длины волны в воздухе. Это не долж­ но вызвать особых возражений, если учесть, что длина вол­ ны в воздухе велика, а векторы поля быстро убывают по ме­ ре удаления от проводника и катушек.

С математической точки зрения принятие условия ква­ зистационарности равносильно пренебрежению членом

ju>e0E в уравнениях (3.6) и (3.8). С учетом такого пренебре­ жения краевая задача (3.6) — (3.11) формулируется сле­

дующим образом: найти векторы Е~, Н~, Е +, Н+, удовле­ творяющие уравнениям:

184

и краевым условиям на поверхности S:

Уравнения (3.12) — (3.15) и краевые условия (3.16) — (3.17) в отличие от уравнений (3.6) — (3.9) и краевых усло­ вий (3.10) — (3.11) не достаточны для однозначного опреде­ ления электромагнитного поля во всем пространстве. В са­

мом деле из уравнений (3.6) и (3.8) следует, что div Е — 0 во всем пространстве, в то время как из уравнений (3.12) и

(3.14) находим только div Е+ = 0, a div Е~ в области V~ не определена. Далее, согласно уравнению (3.6) и теореме

Согласно же соотношениям (3.12) — (3.17) поток j>E~dS

может быть любой величиной. Отмеченные обстоятельства приводят к неоднозначному определению поля Е~ в области V~ с точностью до потенциального слагаемого. Чтобы устра­

s

т. e. считаем, что отсутствуют свободные электрические заряды в окружающем пространстве и суммарный заряд

проводника V+ равен нулю.

С учетом соотношений (3.19) краевая задача расчета квазистационарного поля формулируется следующим обра­

185

Система уравнений (3.20) — (3.24) совместно с краевыми условиями (3.25) — (3.27) полна, т. е. справедлива 1-я теоре­ ма единственности: Краевая задача (3.20) — (3.27) может иметь только одно решение.

Предположим, что существуют два решения краевой задачи. Тогда разность этих решений будет удовлетворять однородной краевой задаче, возникающей, из задачи

(3.20) — (3.27), если положить 6t s 0 для всех k. Поэтому для доказательства единственности решения нужно дока­ зать, что однородная краевая задача имеет только нулевое решение.

Воспользуемся соотношением

где H — сопряженная с H величина; n — единичная внеш­ няя нормаль.

Используя уравнения (3.23) и (3.24), из соотношения

186

где знак минус перед поверхностным интегралом поставлен

и (3.27) для Е~ получаем краевую задачу: вектор Е~ удов­ летворяет уравнениям

187

При этом из соотношений (3.33), (3.34) и (3.35) следует:

j | grad ф_ р dV = 0.

V—

Откуда

Е~ = — grad ф- гз 0.

Единственность решения доказана.

Из изложенного доказательства видно, что если опу­ стить или уравнение (3.22) или краевое условие (3.27),

то однородная краевая задача будет иметь в области V~ в качестве решения некоторый ненулевой безвихревой вектор

ЕГ, т. е. единственность нарушится.

2. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ВАРИАНТ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА КВАЗИСТАЦИ0НАРН0Г0 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ

Для расчета квазистационарного электромагнитного по­ ля в пространстве, частично заполненном проводящей сре­ дой, необходимо решить векторную краевую задачу (3.20) — (3.27). Поскольку краевую задачу необходимо решать во всем неограниченном пространстве, то с целью численного расчета целесообразно редуцировать задачу к системе ин­ тегральных уравнений. Наиболее просто это можно сделать,

введя векторный магнитный А и скалярный электрический ц>е потенциалы.

188

Таким образом, получили уравнения, которым должны

удовлетворять векторный магнитный А и скалярный элект­

рический сре потенциалы. Выясним, каким краевым условиям на поверхности S проводящей среды должны удовлетворять

А и фе, чтобы выполнялись граничные соотношения (3.25) —

189