книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

Таким образом, обычные измерения на замкнутых тороидах при термодинамическом подходе следует рассматри­ вать как способ экспериментального определения зависи­ мости №ви (J). Когда эта зависимость найдена, то вся задача расчета поля сводится к вариационной проблеме миними­ зации функционала (2.236). Покажем, что эта вариа­ ционная задача может быть сведена к решению интеграль­ ного уравнения. Для этого предварительно преобразуем выражение (2.235) для скалярного потенциала. Используя равенство из векторного анализа

Для полной напряженности получаем выражение

где Нъ — напряженность, созданная заданными токами про­ водимости в безграничном однородном пространстве с про­

170

Используя соотношения (2.242) и (2.244), приводим функ­

деление J (Q) доставляло минимум функционалу (2.245), необходимо обращение в нуль первой вариации функциона­ ла для этого распределения. Чтобы найти вариацию функ­

ционала (2.245), дадим J (Q) некоторое приращение AT(Q),

171

По определению первая вариация функционала равна главной части приращения функционала [11]. Поэтому для нахождения первой вариации функционала (2.245) нужно отбросить в выражении (2.247) величину выше первого

порядка малости относительно Д7 Для чего преобразуем последний интеграл. Очевидно, что

функция, а многоточием обозначены члены более высокого порядка малости.

Из соотношений (2.247) и (2.248) находим выражение для первой вариации функционала

№ = - j (Д7 (Q), HB(Q))dvQ+

v+

172

где а (<2) и Ъ (Q) — произвольные дифференцируемые век­ торы.

Доказательство проводим многократным использовани­ ем равенства (2.241) и теоремы Гаусса — Остроградского:

( (а (Q), grade ^ — М)^ rQM) dvM) dvQ=

173

Поскольку значение интеграла не зависит от обозна­ чения точки интегрирования, то тождество (2.250) дока­ зано.

Используя это тождество, преобразуем выражение (2.249) для первой вариации функционала к виду

Для того, чтобы распределение 7 (Q) доставляло мини­ мум функционалу (2.236) или (2.245), необходимо равенство

нулю первой вариации при любом возмущении Д7 (Q). От­ сюда согласно соотношению (2.251) находим, что для равен­ ства 6Я = 0 необходимо, чтобы вектор намагниченности удовлетворял следующему интегральному уравнению:

Таким образом исходя из других, более общих, предпо­

сылок, строго обосновали локальную связь векторов 7 и Я и правомочность использования для расчета соотношения (2.254) в случае, когда пространство частично заполнено ферромагнитной средой. Интегральное уравнение (2.252) для расчета магнитостатических полей в нелинейной ферро­ магнитной среде применял И. И. Пеккер [64, 65].

Попытаемся распространить изложенный вариационный подход на случай изотропной и однородной гистерезисной

174

среды. Выясним, как можно свойство изотропности гисте­ резисной среды описать при помощи функциональной зави­

симости К-'вн (J).

Поскольку занимаемся расчетом статических полей,- то будем рассматривать ферромагнитную среду только в рав­ новесных (установившихся) состояниях, отвлекаясь от вли­ яния скорости перемагничивания на эти состояния. Если среда является безгистерезисной, то ее свойства при любых равновесных состояниях идентичны. Основное отличие ги­ стерезисной ферромагнитной среды состоит в том, что ее свойства меняются при переходе от одного равновесного состояния к другому, т. е. при принятом выше описании свойств среды меняется количественный и качественный

вид зависимости wm (J ), которую необходимо использовать

для нахождения нового распределения J при последую­ щем равновесном состоянии. Изотропная гистерезисная среда прежде всего должна* быть изотропной в обычном смысле при первоначальном намагничивании, т. е. для исходного размагниченного равновесного состояния объем­

ная плотность а>вн должна зависеть только от модуля 7. После первоначального намагничивания при последующих равновесных состояниях явление гистерезиса приводит к нарушению свойства изотропности в обычном понима­

нии, т. е. векторы 7 и Я не коллинеарны. Это озна­ чает, что уже нельзя считать плотность w&H, зависящей

только от модуля 7, поскольку такая зависимость приводит

к коллинеарности векторов J и Н, т. е. нельзя считать все направления в точке равноправными, эквивалентными. Не­ обходимо выделить некоторые направления. Поскольку ги­ стерезисная среда предполагается изотропной, то из сооб­ ражений симметрии естественно считать выделенными в

каждой точке направления векторов J в этой точке при всех предшествующих равновесных состояниях. Эти направле­ ния следует рассматривать как локальные оси анизотро­ пии, поэтому анизотропия гистерезисной изотропной среды

носит наведенный характер. Обозначим через е{ (Q) единич­ ный вектор, направление которого совпадает с г-й локаль­ ной осью анизотропии в точке Q. Проекцию вектора намаг­

ниченности 7 (Q) на эту ось обозначим через J( (Q). Тогда

П 7

7 (Q) = 2 ei (Q) 7\ (Q) + 70 (Q), где п <— число всех i=i

1 75

равновесных состояний, в которых находилось ферромаг­ нитное тело.

Наведенная анизотропия гистерезисной среды выража­ ется в том, что объемная плотность внутренней свободной энергии, которую необходимо использовать для расчета л + 1-го равновесного состояния, должна зависеть отдель­

но от проекций Уг (Q) и от модуля У0 (Q), т. е. довн (Ух, У2, ...

..., \Г0\). При такой функциональной зависимости шв„ от У изотропность гистерезисной среды отражается, во-пер­ вых, в зависимости ш„„ только от модуля У0 (Q), и, во-вто­ рых, в том, что ttiBH не должна изменяться при повороте в пространстве всех векторов У (всех локальных осей ани­ зотропии), соответствующих всем последовательно во вре­ мени принимаемым равновесным состояниям, на один и тот же произвольный угол с сохранением их модулей. В этом проявляется основное отличительное свойство наведенной анизотропии. Однородность гистерезисной изотропной сре­ ды выражается в том, что при одинаковых предысториях на­ магничивания зависимость ш вн(У х, У 2, ... , У „ , | У 0 |) для любых точек тела одна и та же.

Анизотропность свойств ферромагнитной среды в направ­ лении вектора намагниченности видна даже из несимметрии восходящей или нисходящей ветвей петли гистерезиса от­ носительно значения Н — 0, что указывает на различные свойства среды для напряженности, совпадающей с намаг­ ниченностью по направлению и противоположной ей. Изме­

нение функциональной зависимости швн (У) при переходе от одного равновесного состояния к другому можно с микрофизической точки зрения объяснить необратимым из­ менением внутреннего строения ферромагнитной среды в

Модель гистерезисной среды, как среды с числом ло­ кальных осей анизотропии, равным числу предшествующих равновесных состояний, является достаточно сложной, т. е. приводит к сложным уравнениям и требует проведения

сложных экспериментов для определения швн (У). Поэтому в целях упрощения, а также учитывая, что анизотропия, наведенная при k-u равновесном состоянии, с увеличением общего числа равновесных состояний постепенно «стирает­ ся», будем исходить из представления о гистерезисной среде

17б

как о локально одноосной анизотропной, т. е. будем счи­ тать, что в каждой точке среды возникает одноосная анизо­ тропия, причем локальная ось анизотропии в каждой точ­

ке совпадает с направлением вектора Т в этой точке при по­ следнем равновесном состоянии. При переходе от одного равновесного состояния к другому меняется направление локальной оси анизотропии. В соответствии с изложенным будем полагать, что wBHзависит отдельно от проекции на­ магниченности J|| на локальную ось анизотропии и от мо­ дуля нормальной к локальной оси анизотропии составляю­

ферромагнитного материала и предысторией намагничи­ вания в точке.

При расчете второго (первого после размагниченного) равновесного состояния такой выбор зависимости wBH от

J является логически строгим и не связан с какими-либо упрощениями.

Для принятой модели гистерезисной ферромагнитной среды приращение (2.247) функционала свободной энергии

v+

Как и при выводе соотношения (2.248), находим

®вн (J и + А/ и, | J i + А/± |) — wm (J||, | Ух I) =

Из формул (2.255) и (2.256) выводим следующее выраже­ ние для первой вариации функционала свободной энергии:

(2.257)

Для того, чтобы распределение J (Q) доставляло мини­ мум свободной энергии, необходимо, чтобы первая вариа­ ция (2.257) обращалась в нуль при любом приращении

Д J (Q) или при любых Д 7 1 (Q) и ДJ ± (Q). Это согласно ра­ венству (2.257) приводит к интегральным уравнениям для

J (Q). Чтобы записать эти интегральные уравнения в наи­ более простом виде, введем в каждой точке единичный век­

тор kQ, направление которого совпадает с направлением локальной оси анизотропии. Тогда находим, что вариация

(2.257) обращается в нуль, если I (Q) удовлетворяет урав­ нениям:

178

определены, например, с помощью эксперимента на замк­ нутых полых тороидах (рис. 29). Намагничивание таких тороидов производится двумя обмотками: внутренней про­ дольной 1 и наружной поперечной 2. Продольная обмотка создает магнитное поле, силовые линии которого лежат в плоскости поперечного сечения. Силовые линии поля, соз­ данного поперечной обмоткой, направлены перпендикуляр­ но к плоскости поперечного сечения. Если тороид замкнут и линейные размеры его поперечного сечения значительно

меньше радиуса, то можно пренебречь размагничивающим полем (полем формы) и считать, что напряженность Н сов­

падает с Нв. Поскольку гистерезисная среда предполага­ ется изотропной и однородной, то с высокой точностью можно считать, что все точки тороида находятся в идентич­ ных условиях, и для свободной энергии использовать выра­ жение

F (J) — V (щвн (7 ц, | J ± |) J \\Н\\ — |^ i 11 Hi |}. (2.260)

Чтобы при данном I свободная энергия достигала мини­ мума, необходимо:

Отсюда согласно уравнению (2.260) находим: