книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

можно свести к минимизации функционала

1 ф+2-1-ф+2-1-ф+2

аналогичные.

Экстремаль этого функционала, т. е.функция, доставляю­ щая ему минимум, удовлетворяет уравнению (2.216) и краевому условию (2.220). В работе [993 доказано, что функционал (2.221) является выпуклым и обладает единст­ венным минимумом, а также исследованы вопросы приме­ нения метода Ритца к минимизации функционала (2.221), т. е. вопросы выбора координатных функций и построения алгоритма найскорейшего спуска к минимуму.

Можно было бы ограничиться минимизацией функцио­ нала (2.221), если бы функция F (М) в краевом условии (2.220) была бы известна. Поскольку это не так, то прихо­ дится задаваться вначале некоторой ориентировочной функ­ цией /”'(Л1),т. е. ориентировочным распределением нормаль­ ной составляющей индукции на поверхности S. Минимизи­ руя функционал (2.221), находим распределение потенциала

Фт на 5, а по нему согласно краевому условию (2.219) и рас­ пределение потенциала фй. Затем, решая внешнюю линей-

ную задачу, по известному ф„ на 5 определяем на S,

зная которые, согласно краевому условию (2.218) уточняем предыдущее распределение нормальной составляющей ин­ дукции на S и т. д. Для реализации намеченного итераци­ онного процесса необходимо решить внешнюю линейную задачу, т. е. по известным значениям потенциала на S найти значения его нормальной производной. Выведем ин-

1 6 0

дф тегральное уравнение для-^- на5. Для этого воспользуемся

формулой Грина [82] для области V~, согласно которой

используя теорему о предельных значениях нормальных про­

Полученное интегральное уравнение идентично уравне­ нию (1.33) при X = 1. Поскольку значение X = 1 является

характеристическим, то уравнение для 3(Р т является неод­

нозначно разрешимым. Поэтому преобразуем последнее уравнение с учетом априорно известного интегрального со­ отношения

j ) - ^ L ( M ) d S M = О,

s

следующего из принципа непрерывности магнитного потока. Преобразованное уравнение имеет вид

Уравнение (2.223) однозначно разрешимо, и его реше­ ние может быть найдено методом последовательных при­ ближений. Это уравнение и следует использовать при реа­ лизации описанного выше итерационного процесса решения нелинейной краевой задачи (2.216)—(2.219). Итерацион­ ный процесс будет сходиться значительно быстрее, если на каждом шаге итерационного процесса производить коррек­ цию найденного в результате минимизации функционала

(2.221) распределения потенциала ц>т{к) на S, где индекс (k) показывает, что распределение потенциала соответствует

k- щ шагу итерационного процесса. Коррекция фт(й) про­ изводится таким образом, чтобы на каждом шаге выполнял­ ся закон полного тока. Введем новое (скорректированное)

ния, соединяющая эти точки и проходящая в воздухе, охва­

тывая ток I (см. рис. 18); Н {к) — результирующая напря­ женность.

Обычно в магнитопроводе имеется относительно узкий и равномерный по ширине воздушный зазор. Поле в сред­ ней части зазора близко к однородному, и индукция в воз­ духе почти равна индукции на границе зазора со стороны магнитопровода. Можно считать, что индукция на L близка к среднему арифметическому из значений нормальной ин­ дукции на краях зазора и зависит от средней напряженности

Нок) в магнитопроводе на границе зазора в соответствии с

162

кривой намагничивания В = В (Н). С действительной на­ пряженностью Hi в зазоре индукция Bi связана соотноше­ нием Bl = роHl. Аппроксимируя кривую намагничивания конкретной нелинейной функцией, например

приводим соотношение (2.224) к следующему нелинейному

значение потенциала cpti(k) на S, которое и используем для решения линейной внешней задачи. Такая коррекция, как показывают расчеты, значительно ускоряет сходимость ите­ рационного процесса [85].

Опишем еще один возможный подход [41] к решению нелинейной краевой задачи (2.216) — (2.219). Одной из основных трудностей на пути решения этой краевой задачи является необходимость решения краевой задачи во всем неограниченном пространстве. Поэтому целесообразно све­ сти эту граничную задачу к внутренней краевой задаче

для уравнения (2.216) в области V+. Для этого необходимо найти в явном виде краевые условия, которые осуществля­

ются для фтна границе S ферромагнитной среды. Оказыва­ ется, что эти краевые условия нетрудно вывести из форму­

лы Грина (2.222), примененной к потенциалу ф™во внешней области, и краевых условий (2.218) и (2.219). Устремляя точку Q в формуле (2.222) к границе S ферромагнитной сре­ ды и учитывая непрерывность потенциала Цростого слоя и скачок потенциала двойного слоя, из этой формулы находйм

Соотношение (2.226) можно интерпретировать как крае­ вое условие, которое осуществляется для ф„ (Q) на S. Из

Подставляя формулы (2.227) и (2.228) в уравнение (2.226), находим, что на границей ферромагнитной среды значения

Соотношение (2.229) и представляет собой краевое усло­ вие, которое осуществляется для потенциала фт на границе

5 области У+. Таким образом решение краевой задачи во всем неограниченном пространстве редуцировано к решению

внутренней краевой задачи в области V+ для уравнения (2.216) при краевом условии (2.229). После того, как реше­ ние этой краевой задачи найдено, могут быть определены согласно формулам (2.227) и (2.228) значения фй (Q) и

(Q) на S, что позволяет по формуле (2.222) найти зна­

чение потенциала фт (Q) в любой точке области V~, т. е. расчет магнитостатического поля в пространстве, частично заполненном нелинейной ферромагнитной средой, сводит­ ся к решению краевой задачи (2.216) и (2.229) внутри ферро­ магнитной среды. Для решения этой внутренней нелиней­ ной краевой задачи можно использовать различные при­

1 6 )

ближенные методы: метод сеток, прямые методы, вариацион­ ные методы и т. д.

Краевое условие (2.229) не является единственно воз­ можным. Возможны другие виды краевого условия для

Ф^на5. Интегральное уравнение (2.223) можно рассматри­

вать как граничное соотношение, связывающее d(tmдп И фт

на границе 5 ферромагнитной среды. Отсюда, использовав соотношения (2.227) и (2.228), преобразуем уравнение (2.223)

в краевое условие для ср„ на S :

которое отлично от условия (2.229).

Таким образом, использование явных интегральных представлений для решения внешней линейной задачи позво­ ляет редуцировать задачу расчета поля во всем простран­ стве к внутренней краевой задаче для области, занятой ферромагнитной средой, при сложных краевых условиях типа (2.229) или (2.230).7

7. ВАРИАЦИОННЫЙ ПОДХОД К ФОРМУЛИРОВКЕ УРАВНЕНИЙ МАГНИТОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ФЕРРОМАГНИТНОЙ СРЕДЕ

Вернемся к вопросу об уравнениях связи между В и Н

или Т и Н и попытаемся построить феноменологическую мо­ дель макроскопической ферромагнитной среды [40]. В по­ следующем изложении считаем, что наименьшее расстоя­ ние, на котором нас могут интересовать изменения магни­ тостатического поля, значительно превосходит линейные

165

размеры областей самопроизвольной намагниченности (доме­ нов). Поэтому можно пренебречь резкими микроскопиче­ скими неоднородностями в распределениях векторов поля и воспользоваться некоторыми средними по объему значе­

ниями векторов намагниченности 7, напряженности Я и

индукции В. Линейные размеры объема, по которому ве­ дется осреднение, имеют тот же порядок малости, что и наи­ меньшее расстояние, на котором нас могут интересовать изменения поля. При практических расчетах и измерениях обычно оперируют именно со средними, макроскопически­

ми значениями векторов 7, Я, В.

При расчете магнитостатических полей принимают ло­ кальную связь между векторами В и Я (или 7 и Я), т. е. считают, что вектор В (или 7) в каждой точке ферромагнит­

Никаких обоснований по данному поводу не приводят. Тем самым утверждение о локальности связи между Б и Я

(или 7 и Я) можно рассматривать как постулат наравне с такими постулатами, как уравнения Максвелла и утвержде­ ние о локальной зависимости объемной плотности энергии поля от его векторов *. При этом интересно выяснить, яв­ ляется ли утверждение о локальной связи.между векторами

В и Я (J и Я) независимым постулатом, т. е. нельзя ли его вывести из других постулатов. Покажем, что утверждение о локальной связи между векторами поля следует из: 1) уравнений Максвелла; 2) утверждения о локальной зави­ симости объемной плотности энергии поля от его векторов и 3) известного положения термодинамики (статистической физики), согласно которому полная свободная энергия мак­ роскопической системы, находящейся в равновесном со­ стоянии, достигает минимума ** [9]. Развиваемый ниже под­ ход оказывается полезным и для выяснения тех уравнений

связи между В и Я (J и Я), которые целесообразно исполь­ зовать для расчета поля в гистерезисной среде.

* Такая аксиоматическая точка зрения очень отчетливо подчеркну­ та в § 91 работы [78].

** Имеется ввиду, что при переходе из одного равновесного состоя­ ния в другое объем и температура системы остаются неизменными.

166

Сущность предлагаемого подхода в следующем. Вектор

намагниченности 7 является внутренним параметром мак­ роскопической системы — ферромагнитного тела, поэтому его равновесное распределение должно быть таким, чтобы осуществлялся минимум для полной свободной энергии.

Рассмотрим ферромагнитное тело V+, ограниченное по­ верхностью S (см. рис. 18). Магнитное поле возбуждается

ность магнитного поля, созданная токами проводимости в безграничном однородном, пространстве с магнитной про­ ницаемостью р0; из энергии размагничивающего поля, воз­ никающего вследствие макроскопических неоднородностей

распределения 7, т. е. из энергии поля поверхностных и объемных магнитных зарядов; из внутренней свободной энергии ферромагнитного тела.

Чтобы записать выражение для энергии размагничи­

вающего поля через распределение 7, воспользуемся раз­ ложением (2.121) для полной напряженности магнитного поля и введем скалярный потенциал'срт согласно равенству

На границе S нормальные составляющие Йн изменяются скачком:

Из уравнений (2.232) и (2.233) видно, что размагничи­ вающее поле создается объемными зарядами плотности рт =

= — div 7 и поверхностными зарядами плотности ат *= = Jп. Отсюда для энергии этого поля (по аналогии с элект­ ростатикой) получаем выражение [8]

^ Р.п = 4* ^ № Ф* W dS** -

167

где потенциал поля Н н определяется соотношением

Объемную плотность внутренней свободной энергии фер­

ромагнитного тела будем обозначать через аувн(7). Эта энергия определяется микроскопическим (внутренним) строением ферромагнитной среды. При феноменологиче­ ском подходе можно оставлять без внимания микрофизическую природу внутренней энергии, важен сам факт ее

существования. Функциональная зависимость wBll (7) ис­ пользуется при таком подходе для описания макроскопиче­ ских свойств ферромагнитной среды.

Согласно изложенному полную свободную энергию маг­ нитного поля, зависящую от распределения J, можно пред­ ставить в виде

минимум функционалу (2.236). Поэтому принятый подход мы назвали вариационным.

Характеристикой макроскопических свойств ферро­ магнитной среды является функциональная зависимость

ы>вн (J). Если среда является макроскопически изотроп­ ной, то, естественно, что объемная плотность внутренней свободной энергии должна быть одинаковой при любых

направлениях вектора J и должна зависеть лишь от модуля J, т. е. швн (J). Однородность ферромагнитной среды озна­ чает, что функциональная зависимость швн (J) идентична, одна и та же для всех точек ферромагнитного тела. Оста­ лось найти конкретное (количественное) выражение для объемной плотности внутренней свободной энергии wBH(J) в зависимости от вида ферромагнитного материала. Нигде различие между микроскопической и макроскопической (феноменологической) точками зрения не проявляется конт­ растнее, чем в способе определения зависимости wBH(J).

168

Микроскопическая теория должна вывести эту зависи­ мость из рассмотрения атомной, кристаллической и домен­ ной структуры ферромагнитной среды, должна указать, усреднением каких видов энергий — энергии обменного взаимодействия, ответственного за возникновение самопро­ извольной намагниченности; энергии магнитной анизотро­ пии кристаллов; энергии размагничивающего поля, возни­ кающего вследствие микроскопических неоднородностей намагниченности в областях между доменами, и т. д.— является внутренняя свободная энергия. На макроскопиче­ ском уровне этих вопросов можно не касаться, а для опре­ деления количественной зависимости объемной плотности внутренней свободной энергии от J следует привлекать эксперимент.

Возьмем ферромагнитный тороид достаточно большого радиуса и малого поперечного сечения с равномерно распре­ деленной по всей его поверхности намагничивающей обмот­ кой. Размагничивающее поле (поле формы) в таком тороиде отсутствует, распределение напряженности и намагничен­

ности можно считать однородным, а векторы 7 и Я совпадаю­ щими по направлению, т. е. с высокой степенью точности можно полагать, что все точки тороида находятся в идентич­ ных условиях. Тогда из выражения (2.236) получаем

где полная напряженность Я = Яв.

Чтобы определить J, при котором полная свободная энергия F минимальна, продифференцируем уравнение

(2.237):

где / — обратная для ф (Я) = %(Я) Я = J функция (гисте­ резисом пренебрегаем).

Из уравнений (2.238) и (2.239) получаем j

16»