книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

вания. Поэтому изберем другой путь определения вектор­ ного потенциала поля зарядов. Формулы (2.114) и (2.115) позволяют получить выражение для векторного потенциала поля зарядов, распределенных с плотностью р в объеме Ур. Покажем, как в таком поле можно ввести векторный потен­ циал, определив его с точностью до градиента гармониче­ ской функции.

Найдем поток Ф сквозь поверхность S, не пересекающую объем Vp и ограниченную контуром L. Индукцию В в точке

Воспользовавшись формулами (2.114) и (2.115), заменим поверхностный интеграл в выражении (2.188) интегралом по контуру L:

Подставляя формулу (2.189) в формулу (2.188), опреде­ ляем

(2.190)

<7o> M £ V + ,

где q0 = f p (M) dVM — заряд, из объема Vp попавший в

К

объем V0, ограниченный поверхностями 5 и трубчатой S#.

150

Из выражения (2.190) следует, что можно ввести вектор­

ный потенциал A (Q), определив его по следующей формуле

[83]:

Изменив направление вектора ft на обратное, получим

Значения А и Ax, вычисленные по формулам (2.191) и (2.192), отличаются на градиент гармонической функции ф, так как их разность удовлетворяет уравнению Лапласа. Найдем эту разность [104]:

Исследуем структуру поля функции ф. Разность значе­ ний в точках Р и N определяется через линейный интеграл от grad ф:

N

Если точки Р и N лежат на прямой, параллельной ft,

то ~dlq = ftdlQ и разность значений функций ф в точках Р и N будет равна нулю. Следовательно, гармоническая функ­ ция ф не зависит от координаты, изменяющейся вдоль оси,

151

образует плоскопараллельное поле. Градиент if лежите этой плоскости. _

Направим ось г по направлению вектора ■&._Тогда

ft = k и [/-qm , б | = (у — ум) i — (xq — хм) /' = [ # qm , й);

4 м — (rQM, 4 2 = (XQ — Хм)г + (yQ— УМТ = ^Qm!

#QM = (Xq — Хм) t + (yQ— Ум) /■

Подставив эти значения в выражение (2.193), получим

где z2 и zx — наибольшая и наименьшая координаты z объема Vp, Sp — проекция объема Vp на плоскость, нормаль­

ную вектору Ф. Обозначим

2l

и будем рассматривать т (М) d$M как линейную плотность заряда на нити сечением cISm, проходящей через точку М

параллельно вектору •d. Тогда выражение (2.195) примет вид

— потенциал плоскопараллельного поля заряженного ци­ линдра с линейной плотностью г заряда, распределенного в сечении цилиндра Sp. Градиент ф ортогонален градиенту Ф, следовательно, г]) — гармоническая функция (функция потока) вне Sp, сопряженная потенциалу ф. Ее выражение

152

Ф( Q ) =

=—J _ [x(M)arctg-^— ^ - й 8 м. 2л s xq— хм

*р

Функция л!>многозначная, при обходе вокруг цилиндра Sp она получает приращение:

j т (М) dSM = \ р {М) dVM= q,

вектора А по г, нетрудно обнару­ жить, что придвижении вдоль оси

г модуль вектора А монотонно растет от нулевого значения при z — — оо до значения grad ф при z = + со [104]. При движении

вдоль оси z модуль вектора Лхмонотонно убывает от значения gradя[з при z = —оо и до нулевого значения при z=oo. Отсюда

следует, что циркуляция вектора А вдоль контура L будет равна потоку сквозь поверхность5, опирающуюся на контур L и проведенную так, чтобы ее не пересекал полубесконечный

цилиндр Sp, образующие которого параллельны вектору ■0' (рис. 28). Следовательно, если требуется определить поток сквозь поверхность S, натянутую на контур L, то направле­

ние вектора ■0' следует выбирать таким, чтобы цилиндр Sp. не пересекал поверхность S.

Для поверхностного распределения зарядов формулы

Если суммарный заряд, распределенный в объеме Vp либо на поверхности S1( равен нулю, то поток сквозь любую

1 5 а

замкнутую поверхность, не пересекающую область, занятую зарядом, равен нулю, а следовательно, поток через различ­ ные поверхности 5, не пересекающие область, занятую за­ рядом, и опирающиеся на один и тот же контур L, одинаков. Однако, если для вычисления потока выбрать направление

вектора D так, что часть заряженногоДщлиндра 5 Р будет пересекать поверхность 5, то циркуляция векторного по­ тенциала может быть не равной величине потока, так как суммарный заряд в этой части цилиндра 5 Р может отличать­ ся от нуля. Если требуется вычислить поток для поверх­ ностей, опирающихся на разные контуры, расположен­ ные как угодно в пространстве, то следует пользоваться двумя различными выражениями (2.191) и (2.192) для век­ торного потенциала, выбирая каждый раз то из них, при котором контур не будет пронизывать соответствующий цилиндр 5Р.

6. РАСЧЕТ МАГНИТОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ОБЪЕМНО-НЕОДНОРОДНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ

Усложним рассматриваемую задачу, т. е. будем полагать

магнитную среду в области V+ объемно-неоднородной, а в последующем и нелинейной. Начнем со случая объемно­ неоднородной среды, т. е. считаем магнитную проницае­

= (х, у, г). Для результирующей напряженности маг­ нитного поля используем разложение (2.121) и введем ска­ лярный потенциал согласно равенству (2.122). Этот магнит­

ный потенциал будет в области V~ удовлетворять уравне­ нию Лапласа:

В области V+ вектор Ян+ удовлетворяет уравнениям:

rot Ян+ = 0; div (ц+Я я+) = — div (ц+Я8). (2.201)

Откуда для скалярного потенциала фт выводим

164

Уравнение (2.202) преобразуем к виду

Таким образом, если хотим реальную неоднородную сре­ ду заменить однородной с проницаемостью р0 и сохранить

при этом неизменным поле напряженности Нн во всем про­

Однако одних этих магнитных зарядов недостаточно,

чтобы созданное ими поле # н совпало с истинным полем намагниченности. Необходимо еще ввести • простой слой магнитных зарядов, которые распределялись бы по S так, чтобы на границе раздела сред выполнялось следующее краевое условие:

которое следует из разложения (2.121) и из непрерывности нормальных составляющих индукции. С учетом разложения (2.121) соотношение (2.205) принимает вид

Кроме того, на поверхности S должна выполняться не­ прерывность скалярного потенциала

Введем необходимые вторичные источники и будем разы­ скивать скалярный потенциал в виде

dSMy (2.208)

155

При этом удовлетворяются уравнение (2.200) и краевое условие (2.207). Граничное условие (2.206) идентично усло­

вию (2.127) и отличается от него лишь тем, что является функцией точки поверхности S. Поэтому, как и в гл. II, 4, выводим интегральное уравнение для о (Л4):

Найдем, какому уравнению должна удовлетворять объемная плотность р (Л4), чтобы потенциал (2.208) удовле­ творял уравнению (2.203). Для напряженности магнитного поля получаем

( 2. 210)

Из формул (2.210) и (2.204) выводим интегральное урав­ нение для р (М) [95]:

Уравнения (2.209) и (2.211) составляют полную систему интегральных уравнений для расчета магнитостатического

156

поля в объемно-неоднородной среде. Как и в гл. I, 8, можно доказать, что решение этой системы существует и единствен­ но. Однако для численного расчета система уравнений мало

к плохой устойчивости решения к малым возмущениям правой части и к накоплению вычислительной погрешности. Поэтому уравнения (2.209) и (2.211) необходимо преобра­ зовать с учетом априорно известных интегральных свойств вторичных источников. Из принципа непрерывности магнит­ ного потока следует, что суммарный магнитный заряд на ферромагнитном теле всегда равен нулю:

Используя это соотношение, систему уравнений (2.209) и (2.211) можно преобразовать к другому более удобному

(rQM’ grad M-CQ))

4я(г (Q) r3QM

157

Уравнения (2.213) и (2.214) образуют полную систему интегральных уравнений, которую и следует использовать для расчета поля в объемно-неоднородной среде. Эта систе­

ма, как и система (2.209) и (2.211), однозначно разре­ шима.

Система интегральных уравнений (2.213) и (2.214) может быть использована для расчета магнитостатического поля в нелинейной среде методом последовательных приближений. Согласно этому методу задаются некоторым ориентировоч­

ным распределением магнитной проницаемости (х, у, г) и, решая систему интегральных уравнений (2.213) и (2.214), находят соответствующие этому распределению плотности зарядов р (М ) и а (М). По найденным плотностям опреде­ ляют напряженность магнитного поля согласно формуле

(2.210) и, используя заданную зависимость р + = / ( | # | ) , уточняют предыдущее распределение магнитной проницае­ мости, после чего начинают новый шаг последовательных приближений. Чтобы такой процесс сошелся к решению за­ дачи, можно использовать дополнительную информацию, содержащуюся в законе полного тока [105].

Возможны другие подходы к расчету магнитостатиче­ ского поля в нелинейной ферромагнитной среде. Сформули­ руем расчет поля в нелинейной ферромагнитной среде в виде краевой задачи на примере магнитной системы, показан­

ной на рис. 18. Сталь магнитопровода У+ будем считать мяг­ кой, чтобы можно было пренебречь гистерезисом и считать

зависимость р+ = / ((//[) однозначной. В область V+ введем скалярный потенциал ц>тследующим равенством:

1 5 8

Из уравнений rot Н+ = 0 и div (р,+Я+)= 0 находим

div (ц+ grad q>£) =

В области V используем разложение (2.121) и введем скалярный потенциал фт равенством (2.122). Тогда

где фт — потенциал магнитного поля, созданного заданными токами в однородном пространстве е проницаемостью ц0 (см. гл. II, 3), а сами краевые условия следуют из непре­ рывности нормальных составляющих индукции и касатель­ ных составляющих напряженности магнитного поля на границе раздела сред.

Уравнения (2.216) — (2.219) формулируют краевую зада­ чу, которую необходимо решить для расчета поля в простран­ стве, частично заполненном ферромагнитной средой. Чис­ ленное решение этой краевой задачи осложняется двумя обстоятельствами: во-первых, нелинейностью уравнения (2.216); во-вторых, неофсодимостью решения сформулиро­ ванной краевой задачи во всем неограниченном пространстве.

Для решения этой краевой задачи можно построить ите­ рационный процесс, состоящий из последовательного реше­ ния нелинейной внутренней и линейной внешней краевых задач. При решении внутренней задачи целесообразно ис­ пользовать вариационные методы, согласно которым реше­ ние уравнения (2.216) с краевым условием

F(M) (2.220)

159