книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

условиям (2.143), (2.144) можно удовлетворить, если на границе S раздела сред ввести двойной слой магнитных за­

рядов. Иначе говоря, для того, чтобы поле индукции Вн осталось неизменным при замене исходной кусочно-одно­ родной среды однородной, необходимо на границе S разде­ ла сред ввести вторичные источники — слой магнитных диполей, распределение которых должно быть таковым, чтобы удовлетворялось условие (2.144) или (2.142). Соглас­ но изложенному представляем потенциал в виде

где т+ — постоянная плотность диполей на непроницаемой перегородке S+, введенной внутри области V+ (если в по­ добной перегородке нет необходимости, то во всех после­ дующих формулах можно полагать т+ = 0).

Из формулы (2.145) и предельных свойств потенциала двойного слоя согласно соотношениям (1.107) и (1.108) на поверхности S находим:

Из формул (2.146) и (2.147) следует, что краевое условие (2.144) будет выполняться, если плотность х (М) диполей будет удовлетворять следующему интегральному уравне­ нию

1 4 0

Согласно гл. I, 6 интегральное уравнение (2.148) одно­ значно разрешимо и его решение может быть найдено методом последовательных приближений. Но поскольку па­

Р+ + Ро

стическому значению — единице, то последовательные при­ ближения для уравнения сходятся крайне медленно, а решение неустойчиво к малым возмущениям правой части. Следовательно, необходимо преобразовать уравнение (2.148), воспользовавшись свободой выбора постоянной С в правой части. В частности, константу С следует выбрать так, чтобы решение уравнения (2.148) удовлетворяло усло­ вию

т. е. исключить из распределения т (М) постоянную состав­ ляющую, поскольку потенциал двойного слоя постоянной плотности, распределенный по замкнутой поверхности, не создает поля индукции в окружающем пространстве. Ин­ тегрируя уравнение (2.148) noS и учитывая условие (2.149), находим

141

этому последовательные приближения для этого уравнения сходятся значительно быстрее, чем для уравнения (2.148), а само решение более устойчиво к малым возмущениям пра­ вой части. Следовательно, для численного расчета магнито­ статического поля в кусочно-однородной среде при помощи потенциала двойного слоя следует использовать интеграль­ ное уравнение (2.150).

Рассмотрим кратко магнитостатическую задачу, в ко­ торой среда в области V+ является однородной анизотроп­ ной с тензором магнитной проницаемости р^/, вне V+ — среда воздушная с проницаемостью р0, а магнитное поле возбуждают проводники (катушки) с заданным распреде­

исследована в гл. I, 9. Декартову систему координат выбе­ рем так, чтобы ее оси совпали с главными осями тензора

142

Для напряженности магнитного поля в области V~ используем разложение (2.121) и введем скалярный потен­ циал следующим равенством:

который в области V~ будет удовлетворять уравнению Лап­ ласа:

Из формул (2.151) и (2.153) следует, что условия непре­ рывности касательных составляющих магнитной напряжен­ ности и нормальных составляющих вектора индукции будут выполнены, если на 5 будут удовлетворяться краевые усло­ вия:

где — скалярный потенциал поля Нв, вычисляемый в точках поверхности S по формуле (2.109); С — произволь-. ная константа;

Р+ = V Ipi" cos (n, х)]а -f [pjcos (rt, y)f -f [p+ cos (n, г)]2;

v — направление конормали к поверхности S (см. гл. I, 9), т. е. аналогично соотношению (1.267)

Как и в гл. I, 9, для поля Нн и поля Я + будем вводить свои, отдельные вторичные источники, распределенные по 5. Для поля Н+ введем простой слой магнитных зарядов, т. е. разыскиваем потенциал в виде

143

Для поля Нн в качестве вторичных источников исполь­ зуем слой диполей, распределенных по 5, т. е.

фт (Q) = 4лц„ -фт(Л1) ■dSM- (2-158) rQM

Неизвестные плотности о (М ) и т (М ) находим из усло­ вия выполнения граничных соотношений (2.155) и (2.156), что, как и в гл. I, 9, приводит к системе интегральных уравнений:

Уравнения (2.159) и (2.160) не пригодны для численного расчета, поскольку если решение этих уравнений и суще­ ствует, то это решение неединственно. Уравнения (2.159) и (2.160) аналогично тому, как это сделано для случая элек­ тростатического поля в кусочно-однородной анизотропной среде, можно преобразовать в следующую систему одно­ значно разрешимых интегральных уравнений:

144

1 д (j) [т (М ) — т (Q)] s

Как и в гл. 1,9, можно доказать единственность реше­ ния системы (2.161) и (2.162). В случае плоского поля возмо­ жен другой вариант системы интегральных уравнений, пол­ ностью аналогичный системе (1.265) и (1.266).

Полученные в настоящем параграфе интегральные урав­ нения относительно скалярных вторичных источников зна­ чительно удобнее для численного расчета на ЭЦВМ, чем интегральные уравнения относительно векторных вторич­ ных источников, выведенные в гл. II, 2. Последнее объясня­ ется тем, что интегральные уравнения относительно ска­ лярных вторичных источников аппроксимируются при од­ ной и той же точности системами линейных алгебраических уравнений значительно меньшей размерности, чем это воз­ можно сделать для интегральных уравнений относительно векторных источников.

б. ДУАЛЬНОСТЬ ВЕКТОРНЫХ И СКАЛЯРНЫХ

ВТОРИЧНЫХ источников

При решении задачи В, в которой исходная кусочно­ однородная среда заменялась однородной с проницаемостью

р,0 так, чтобы осталось неизменным поле индукции В, на границе S раздела сред вводился в гл. II, 2 простой слой токов намагниченности, а в гл. II, 4 — двойной слой маг­ нитных зарядов (слой диполей). При решении задачи Н, в которой исходная кусочно-однородная среда заменялась однородной так, чтобы осталось неизменным поле напря­

женности Н, на поверхности 5 раздела сред вводился в

гл. II, 2 двойной слой токов намагниченности или все равно, что касательное к 5 распределение магнитного момента, а в гл. II, 4 — простой слой магнитных зарядов.

Такое сопоставление векторных и скалярных вторичных источников, используемых для решения одних и тех же задач, показывает, что простой слой токов намагниченности эквивалентен двойному слою магнитных зарядов, а двойной слой токов намагниченности — простому слою магнитных зарядов. Эквивалентность, взаимозаменяемость простого слоя токов намагниченности с двойным слоем магнитных

зарядов и двойного слоя токов намагниченности с простым слоем магнитных зарядов и выражает собой дуальность (двойственность) векторных и скалярных вторичных источ­ ников. Дуальность векторных и скалярных вторичных источников позволяет найти количественную связь между двойственными друг другу векторными и скалярными источ­ никами и после чего вывести выражения для векторного потенциала через скалярные источники и скалярного потен­ циала через векторные источники. Такие выражения необ­

(2.137)]. Для поля В" введем скалярный магнитный по­ тенциал, определив его равенством (2.138). Поскольку зна­ чения скалярного потенциала <рт с наружной и внутрен­ ней сторон поверхности S связаны соотношением (2.144), то за счет произвольного выбора константы С можно до­ биться, чтобы в любой точке О поверхности S значения по­

тенциала срт и фт совпали. Это общее значение можно при­ нять равным нулю, а точку О — за точку отсчета потенциа­ ла фт . Выберем произвольную на S точку М. Соединим ее с

О контурами Ь+ и LT, целиком лежащими соответственно в

областях V+ и V~ и образующими замкнутый контур Z, не охватывающий какой-либо ток проводимости. В част­

ности, L+ и Г могут сколь угодно близко прилегать к S. Из закона полного тока находим

146

где L — какой-либо контур, соединяющий О с Ми лежащий на S.

Из формул (2.163) и (2.53) получаем

Согласно теореме о скачке потенциала двойного слоя вы­ водим

Из сопоставления формул (2.164) и (2.165) следует, что

Учитывая соотношение (2.54), из формулы (2.166) на­ ходим

Но

Формулы (2.166) и (2.167) и выражают количественную связь между плотностями простого слоя токов намагничен­ ности и двойного слоя магнитных зарядов.

Из соотношений (2.57) и (2.166) получаем важную фор­ мулу [109], выражающую векторный потенциал через плот­ ность двойного слоя:

При выводе соотношения (2.167) предполагали, что рас­ пределение токов намагниченности таково, что для них можно ввести функцию потока ^ {М), т. е. что выполняется

соотношение (2.52). Приведем другой вывод формулы (2.167), основанный на преобразовании уравнения (2.148)

для т (М) в уравнение (2.72) для i (Q), и тем самым докажем, что решение уравнения (2.72) удовлетворяет условию (2.52).

Для простоты рассуждений будем предполагать, что внутри магнетика отсутствует непроницаемая перегородка

S+. Возьмем градиент по поверхности S от обеих частей

148

Уже очевидно, что уравнения (2.72) и (2.73) совпадают с уравнением (2.181) и, следовательно,

i {М) = г о [пм, grads х (М)].

Таким образом решение уравнения (2.73) связано с ре­ шением уравнения (2.181) соотношением (2.167) и потому удовлетворяет условию (2.52).

Найдем количественную связь между плотностью т (М) магнитного момента, касательного к S, и плотностью а (М) простого слоя магнитных зарядов. Для этого воспользуемся

соотношением (2.68) и, учитывая, что Н = rot А и что со­ ставляющая Ншв разложении (2.121) непрерывна, получим

Соотношение (2.184) позволяет записать выражение ска­ лярного магнитного потенциала через плотность магнитно­ го момента двойного слоя токов:

Чтобы найти выражение векторного магнитного потен­ циала через плотность простого слоя магнитных зарядов, необходимо проинтегрировать уравнение (2.185) по поверх­ ности S. Это ввиду произвольности поверхности S приводит

149