книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

сферическим координатам в формуле (2.111), получаем

(рис. 24):

хм = р cos 0; yN — р sin 0; xp —r cos a cos y; yP —r cosa sin y;

Это выражение совпадает с известным выражением для скалярного магнитного потенциала через пространствен­ ный угол, под которым видна поверхность витка из точки наблюдения Р:

где R = V"p2 + г2; S — поверхность шарового сегмента, вырезанного витком с током в сфере радиуса R и центром в точке Р, т. е. S = 2яR (R — г).

Если взять точку Р в плоскости витка a = 0, то получим табличный интеграл:

130

Этот результат полностью соответствует замене кругово­ го витка двойным слоем магнитных зарядов, распределенных по трубчатой поверхности 5$.

Рассмотрим случай, когда магнитное поле создается токами в цилиндрической катушке (рис. 25) [88]. Ось Z декартовой системы координат выберем параллельной оси катушки, тогда торцевые поверхности катушки будут парал­

лельны плоскости XOY. Будем считать, что плотность тока б

не зависит от г. Выберем вектор Ф, параллельным оси z, и разобьем все пространство вне катушки с током на две

части: область У+, ограни­ ченную нижней торцевой поверхностью катушки и цилиндрической поверх- : ностью, образованной пря­ мыми, параллельными оси г, направленными противо­

ласть V~, дополняющую V+

и VKдо всего пространства. Из каждой точки Р, при­

надлежащей V~, можно провести прямую, парал­ лельную оси г, уходящую в бесконечность в направ­ лении вектора О и не пе­ ресекающую объем с током

VK. Поэтому в области V~ целесообразно определить скалярный потенциал как интеграл от скалярного

произведения Ней вдоль такой прямой. Это согласна фор­ муле (2.109) приводит к выражению

r P N { r P N + (r p N > # ) }

Аналогично из любой точки Р области V"1 можно про­ вести прямую, параллельную оси г и уходящую в беско­ нечность в направлении, противоположном вектору

от Hell вдоль такой прямой. Тогда

(в(АО. [~гРЫ,Щ)

dvN. (2.117)

r PN {r PN — (rPN, ft)}

На внешней цилиндрической поверхности S t потенциалы (2.116) и (2.117) совпадают. Это следует непосредственно

из самого определения потенциалов ф™~ (Р) и ф„+ (Р) и из того, что циркуляция вектора Н по бесконечной прямой Lr, касающейся внешней поверхности S u равна нулю. Та­ ким образом потенциал (2.116) непрерывно (точнее анали­

тически) продолжается в область V+ через поверхность 5 Х посредством выражения (2.117), образуя единый потенциал. Этот потенциал претерпевает скачок на трубчатой поверх­ ности S 2, равный току / в катушке VK. В самом деле, соглас­

но определению с р и фт+ разность этих выражений на S t

равна циркуляции вектора Н по бесконечной прямой L2, касающейся S2, и по закону полного тока равна I. Таким образом, при определении скалярного потенциала с по­ мощью формул (2.116) — (2.117) поверхностью разрыва по­ тенциала (или все равно что непроницаемой перегородкой) будет внутренняя цилиндрическая поверхность S2.

Упростим выражения (2.116) и (2.117). Для этого учтем следующие выражения:

132

4. СКАЛЯРНЫЕ ВТОРИЧНЫЕ ИСТОЧНИКИ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Вернемся к рассмотрению задачи о расчете магнитоста­ тического поля в кусочно-однородной среде. Результирую­ щую напряженность поля представим в виде суммы:

где Яв — вихревая составляющая напряженности, создан­ ная заданными токами проводимости при предположении, что все пространство заполнено однородной средой с про­

ницаемостью р0; Ян — безвихревая составляющая магнит­ ного поля, созданная намагниченностью ферромагнетика.

Не следует отождествлять разложения (2.121) и (2.85).

Вихревая составляющая Яв в разложении (2.121) отлична от нуля во всем пространстве, в то время как в формуле (2.85) эта составляющая отлична от нуля лишь только в вихревой зоне.

Поле Яв может быть рассчитано по формулам (2.16)

или (2.19). Для расчета поля Ян необходимо решить неко­ торую краевую задачу, для формулировки которой введем

ь областях V+ и V~ скалярный магнитный потенциал, определив его формулой

134

Краевые условия (2.127) и (2.128) совместно с уравнения­ ми (2.124) формулируют краевую задачу, решение которой

необходимо для расчета поля намагниченности # н, а сле­ довательно, и всего поля Н. Из соотношений (2.127) и (2.128) видно, что при замене исходной кусочно-однородной среды однородной для сохранения неизменным во всем простран­

стве поля напряженности Нв, а вместе с ним и поля Н, не­ обходимо на гранHireS раздела сред ввести простой слой вто­ ричных магнитных зарядов. Распределение плотности о (М ) этих зарядов должно быть таковым, чтобы выполнялось условие (2.127), или (2.125). Условие (2.128) и уравнения (2.124) будут удовлетворяться при этом автоматически. Согласно изложенному представляем фт в виде

's

В соответствии с формулами (1.23) и (1.24) получаем:

Из последних двух соотношений следует, что краевое условие (2.127) будет выполнено, если плотность а (М) будет удовлетворять интегральному уравнению

Пользуясь для вычисления вихревой составляющей магнитной напряженности формулой (2.19), приводим

135

[см. уравнение (1.21)]. Это является следствием аналогии, существующей между магнитным полем, созданным намаг­ ниченностью магнетика, и электростатическим полем, соз­ данным поляризованным диэлектриком. Аналогия уравнений

(2.130) и (1.21) станет буквальной, если (Q) уподо­ бить нормальной составляющей напряженности электроста­ тического поля, созданной заданным объемным распреде­ лением зарядов.

Из этой аналогии и из спектральных свойств уравнения (1.21) следует, что интегральное уравнение (2.131) одно­ значно разрешимо и его решение может быть найдено ме­ тодом последовательных приближений. Однако параметр

Я = **, в уравнении (2.131) близок к характеристиче-

скому значению — единице, так как во всех практических задачах р+ р0. Это, как было показано в гл. I, приводит к тому, что последовательные приближения для уравнения (2.131) сходятся очень медленно и наблюдается плохая устойчивость решения уравнения (2.131) к малым возму­ щениям правой части этого уравнения, т. е. уравнение (2.131) мало пригодно для численного решения. В случае

нении (2.131) существенно ближе к единице, чем параметр

Я = —1 Ве в уравнении (1.21) для расчета электростати-

"Г

ческогополя, так как обычно Л _ > l L t т. е. для уравнения

(2.131) отмеченные недостатки более типичны, чем для урав­ нения (1.21). Все отмеченные трудности, возникающие при численном решении интегрального уравнения (2.131), мож­

136

но обойти, если видоизменить это уравнение с учетом априорно известных интегральных свойств вторичных источ­ ников а (М ). Для нахождения этих свойств охватим грани­ цу S раздела сред некоторой поверхностью S'. Согласно разложению (2.121) и из принципа непрерывности магнит­ ного потока находим

S'

Заменим исходную кусочно-однородную среду однород­ ной, распределив при этом по границе S раздела сред про­

стой слой зарядов таким образом, чтобы поле Нн осталось неизменным. Тогда по теореме Гаусса находим

(2.133)

Из сопоставления формул (2.132) и (2.133) следует

С учетом интегрального соотношения (2.134) уравнение (2.131) методами гл. I, 5 можно преобразовать в одно из следующих уравнений:

* = 1 S b

Для наименьшего по модулю характеристического значения АЯ) уравнений (2.135) и (2.136) справедливо следующее не­ равенство:

|Я(,)|> 1 ?

137

из которого следует, что уравнения (2.135) и ,(2.136) одно­ значно разрешимы и последовательные приближения схо­ дятся к решениям этих уравнений быстрее, чем к решению уравнения (2.131). Решение уравнений (2.135) и (2.136) значительно более устойчиво к малым возмущениям пра­ вой части, чем решение уравнения (2.131). Таким образом, для численного расчета поля следует использовать уравне­ ние (2.135) или (2.136).

До сих пор для расчета магнитостатического поля вво­ дили в качестве скалярных вторичных источников только простой слой магнитных за­ рядов. Однако, как и в слу­ чаеэлектростатического поля, можно использовать для рас­ чета магнитостатического по­ ля в кусочно-однородных сре­ дах двойной слой магнитных

Азарядов — слой диполей [48, 90, 89]. Для этого вместо раз­ ложения (2.121) введем разло­ жение

В = Вв + В \ (2.137)

где Вв — Вихревая составляющая индукции, созданная заданными токами проводимости при предположении, что все пространство заполнено однородной средой с проницае­

мостью р0; Вн — безвихревая составляющая индукции, соз­ данная намагниченностью ферромагнетика.

Как и ранее, основную трудность расчета составляет

определение индукции Вн, для нахождения которой вводим скалярный потенциал

который согласно разложению (2.137) в областях V+ и V~ удовлетворяет уравнению Лапласа:

Внутри магнетика V+ поле Вн в общем случае не явля­ ется безвихревым. Так для замкнутого магнитопровода, охватываемого катушкой с током I (рис. 26), получаем

138

где L—произвольный замкнутый контур внутри магнетика, охватывающий ток /.

Из формулы (2.140) следует, что для таких форм магне­

ной функцией внутри V+, необходимо в этой области ввести непроницаемую перегородку S+, распределив по ней слой диполей с* постоянной плотностью т+(М) = (ц+ — р0) /. В последующем считаем, что всегда, когда это необходимо,

-Ь

Фт

И+ ьт + с , (2.144)

где С — произвольная константа, а потенциал ф„ опреде­ ляется соотношением

Вв = — grad9S„

и, следовательно, согласно результатам предыдущего пара­ графа для него справедлива следующая формула:

Краевые условия (2.143), (2.144) совместно с уравнения­ ми (2.139) формулируют краевую задачу, решение которой

адекватно расчету поля Вн. Согласно свойствам потенциала двойного слоя (гл. I, 6) приходим к выводу, что краевым

139