книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

намагниченности (тогда он имеет смысл во всем про­ странстве), либо для всего поля (тогда он имеет смысл только в части пространства, не занятой токами). Таким образом, оба подхода отличаются друг от друга лишь спо­ собом введения скалярного потенциала для первичного маг­ нитного поля, созданного токами.

Остановимся кратко на первом подходе, разработанном К. С. Демирчяном [18, 20, 21]. Рассмотрим проводник VK (рис. 20) с некоторым распреде­ лением тока. Дополним область VK некоторой частью воздушно­

го пространства до области К , называемой вихревой зоной. Вих­ ревая зона всегда строится так, что в остальной части простран­ ства нельзя провести замкнутый контур, охватывающий отлич­

ный от нуля ток в проводнике Рк. В частности, вихревая зона может быть построена дополнением проводника VK непроницаемой перегородкой 5К (рис. 20), на которой сле­ дует распределить двойной слой магнитных зарядов с плот­ ностью т = /, где I — ток в проводнике. Напряженность магнитного поля представляем в виде суммы:

где безвихревая составляющая Н° удовлетворяет во всем пространстве уравнениям

и может претерпевать разрывы на некоторых поверхностях,

авихревая составляющая Яв тождественно равна нулю вне У*, а внутри VI удовлетворяет уравнениям:

За Яв можно принять любое решение первого уравнения (2.87), затем из второго уравнения (2.87) найти р, которое

и используется при вычислении поля Я0 согласно соотно­

шениям (2.86). Источниками потенциального поля Н° яв­ ляются не только объемные магнитные заряды плотностью р, но и простые и двойные слои зарядов, распределенные

120

по границе вихревой зоны V\. В частности, к источникам следует отнести двойной слой зарядов на непроницаемой перегородке SK, если такая используется при построении

вихревой зоны. Поверхностные источники поля Н° возни­ кают вследствие разрывов, которые испытывает это поле на границе вихревой зоны. Йз формулы (2.85) и из условия,

что Яв = О вне Ук> находим

во всем пространстве скалярный потенциал ф~, определив его равенством

на границе вихревои зоны нормальные и касательные сос­ тавляющие градиента ф~ претерпевают разрывы:

где grads и Я1 — касательные составляющие grad и Яв. Соотношения (2.91) и (2.92) следуют из формулы (2.88).

Эти соотношения будут выполняться, если на границе S вихревой зоны ввести одновременно простой и двойной слой зарядов с плотностями о (М) и т (М), которые находятся из формул:

* Название «вихревая зона» применяется потому, что только_ в этой части пространства отлична от нуля вихревая составляющая Я в.

121

Если скалярные источники р, о и т найдены по форму­ лам (2.90), (2.93) и (2.94), то потенциал <рт определяется в любой точке пространства следующим соотношением:

Поскольку источники р (М),о (М) и т (М) определяются только через Яв и существует определенная свобода выбора

вихревой составляющей, то естественно распорядиться этой свободой с целью упрощения выражения (2.95), т. е. обратить некоторые источники в нуль. Этот вопрос с общих позиций подробно рассматривается в работе [21].

Проиллюстрируем изложенное на примере, когда провод­ ник VKимеет прямоугольное сечение, высота которого неиз­ менна по его длине (рис. 21). В этом случае растекание тока в проводнике будет плоским. В качестве вихревой зоны

выберем область Ук> ограниченную боковой поверхностью проводника S6 и плоскими торцевыми поверхностями ST! и Sт2. Для получения наиболее простых выражений

примем, что вихревая составляющая Явнаправлена по оси г перпендикулярно к STi и ST2 и зависит лишь от х и у.

Тогда из первого уравнения (2.87) получаем

122

а из второго уравнения (2.87)

Так как поле 6 плоское, то можно ввести функцию тока для вектора 6, определив ее соотношением

За точку отсчета взята произвольная точка О боковой поверхности Se, а выбор контура интегрирования безраз­ личен. Из уравнений (2.96) и (2.98) выводим, что

Я В(Р) = V(P).

Отсюда следует, что в точках 5б Н* (Р)=0, а в точках И®.'лежащих вне области, занятой током, Нв (Р) = const =

U0/ Г V у

= , где / — полный ток через проводник, a h — его

высота. Таким образом, источниками скалярного потенциа­ ла (2.89) будут простые слои зарядов на торцевых поверх­ ностях Sxi и ST2 с плотностями ах (М) = IX0V^ (М) и а2 (М) =.

s t2

Перейдем теперь ко второму подходу, когда скалярный потенциал вводится не во всем пространстве, а только в его части, свободной от токов. Скалярный потенциал в этом случае будет неоднозначной функцией; для достижения однозначности необходимо вводить непроницаемые пере­ городки. Однако, поскольку во многих задачах скаляр­ ный потенциал поля тока нужно определять только на неко­ торых поверхностях, то можно поступить иначе. Одну из точек поверхности S, на которой необходимо вычислить потенциал, примем за опорную и положим в ней магнитный

потенциал поля токов ср^, = 0. Значение потенциала ср^, в любой другой точке Р поверхности S определим по форму­ ле

123

разность потенциалов в этихточках определить как линейный интеграл от напряженности вдоль отрезка, то потенциал

Фт (Р) определится однозначно. Значения ф£ на всей поверхности магнитопровода можно определить однознач­ но по участкам. Первый участок поверхности S будет со­ стоять из точек Р, которые можно соединить с точкой М прямолинейными отрезками, не пересекающими ток. Затем следует на этом участке выбрать одну из точек Р, наиболее удаленную от точки М, за опорную и вычислить разность потенциалов на следующем участке и т. д., пока не будут

вычислены все значения фт на поверхности магнитопро­ вода.

Напряженность магнитного поля Н в точке Q от токов

плотностью б, протекающих в объеме VK[см. (2.16)], найдем из соотношения

rQN

Подынтегральная функция в формуле (2.100) не имеет разрывов и особенностей, так как г qn > 0, и поэтому в этой формуле можно изменить порядок интегрирования [95, 94].

Вычислим внутренний интеграл в выражении (2.100). Уравнение прямой МР в параметрической форме имеет вид:

xQ= хм + (хр — хм) t; HQ — Ум + {ур — Ум) t\

Zq = Zm + (Zp — ZM) t.

Отсюда получаем

dlQ= [(хр — xM) I + {ур — ум) j + (zp — zM) £] dt =

124

Вектор расстояния между точками Q и N определяется формулой

rQN = (*Q — xN) 1 + (yQ— уN) 7 + (zQ— zN) k. (2.102)

Подставив эти значения в подынтегральное выражение (2.100), после простых преобразований получим

по направлению А/. Устремляя _точку М к точке Р, пе­ реходим к пределу при P M = А / 0. Получаем гРы =

125

Рассмотрим некоторые простые случаи токораспределения и покажем, что для них формула (2.109) приводит к не­ ожиданным и новым результатам [88]. Начнем со случая, когда магнитное поле создает линейный контур с током /. Выберем в пространстве некоторое произвольное направле­

ние, задаваемое единичным вектором ■&. Точки Р и М будем соединять только отрезками прямых, параллельных векто­

ру $. Полагая в формуле (2.109) б (N) dvn = MIn , устрем­ ляя точку М в бесконечность по прямой, проходящей через

Р и параллельной O’, и принимая фт (оо) = 0, из формулы

(2.109) находим

По формуле (2.111) можно вычислить скалярный потен­ циал поля контурного тока в любой точке Р пространства, за исключением точек контура L.

Таким образом, мы получили единое для всего простран­ ства формульное выражение для скалярного потенциала в виде контурного интеграла, в то время как при замене контура с током двойным листом магнитных зарядов полу­ чают выражение для скалярного потенциала в виде поверх­ ностного интеграла:

126

Скалярный потенциал контура с током не может быть однозначной функцией во всем пространстве и должен пре­ терпевать разрывы на некоторых поверхностях. Найдем поверхности разрыва (поверхности скачка) для потенциала (2.111). Для этого из каждой точки контура L проведем пря­

мую, параллельную вектору Ф и уходящую в бесконечность в направлении,противополож­ ном этому вектору (рис. 22, а). Эти полубесконечные прямые образуют трубчатую поверх­ ность So, натянутую на кон­ тур L. Покажем, что поверх­ ность S& является поверх­ ностью разрыва для потенциа­ ла (2.111) и что скачок потен­ циала при переходе через эту поверхность равен I. Для это­ го выберем две произвольные

точки Р+ и Р , бесконечно близко прилегающие к § в с наружной и внутренней сторон. Потенциал (2.111) в точках

Р+ и Р~ согласно принятому нами методу его определения находим по формулам

127

Таким образом, доказано, что трубчатая поверхность является поверхностью разрыва для потенциала (2.111).

Следовательно, потенциал (2.111) равен потенциалу двой­ ного слоя магнитных зарядов, распределенных по S<> с по­ стоянной плотностью т — /, т. е.

°о

Поверхность So зависит от выбора вектора О. Если кон­

тур L плоский, то постепенно поворачивая вектор # так, чтобы в пределе он лежал в плоскости контура L, находим, что трубчатая поверхность So будет деформироваться и в пределе даст плоскую поверх­ ность S^, ограниченную кон­ туром L (рис. 22, б). В самом деле, остальные, уходящие в бесконечность части поверх­ ности S0 сливаются и скачки потенциала на них взаимно компенсируются. Таким обра­ зом для плоского контура со­ ответствующим выбором поло­

жения вектора О приходим к обычной непроницаемой перегородке.

Сопоставив формулы (2.113) и (2.111), выведем преобра­ зования поверхностных интегралов в контурные [88]. Рас­ смотрим произвольный в пространстве контур L и натяну­ тую на него трубчатую поверхность So (рис. 23). Пусть

S+ и S " — еще какие-либо две поверхности, натянутые на L и содержащие между собой точку Р. Рассмотрим следую­ щие интегралы:

Преобразуем эти интегралы в контурные по L. Согласно фор­ муле Гаусса [см. соотношение (1.36)], получаем

128

в е р х н о с т и 5# не о х в а т ы в а е т т о ч к у Р, т о с п р а в е д л и в о п р е о б р а з о в а н и е (2.114).

Ф(rPN> nN) dS/*/ = — 4л.

т. e. е с л и з а м к н у т а я п о в е р х н о с т ь , с о ­

с т а в л е н н а я из п о в е р х н о с т е й S+ и т р у б ­ ч а т о й п о в е р х н о с т и 5# о х в а т ы в а е т т о ч ­ к у Р, т о с п р а в е д л и в о п р е о б р а з о в а н и е

(2.115).

Рассмотрим теперь пример, когда контур L с током 1 имеет форму круглого витка радиуса р. Переходя к