книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

Подставим равенство (2.54) в формулу (2.39) и преобра­ зуем выражение для векторного потенциала:

Из формулы (2.57) следует

откуда div/l (Q) = 0.

Таким образом доказано не только, что если плотность слоя тока удовлетворяет соотношению (2.52), то для век­ торного потенциала (2.39) выполняется условие (2.10), но также для векторного потенциала получена очень важная формула (2.57). Эта формула показывает, что поверхностное распределение тока по создаваемому им магнитному полю эквивалентно поверхностному распределению магнитного момента in, направление которого ортогонально в каждой

111

Из сопоставления формул (2.57) и (2.58) следует спра­ ведливость нашего утверждения.

До сих пор рассматривали поверхностное распределение тока, которое по аналогии с электростатикой целесообраз­ но назвать простым слоем токов. Свойства, выраженные формулами (2.42), (2.48), (2.49) позволяют применить век­ торный потенциал простого слоя токов к решению краевой задачи В, так как соответствующим подбором распределе­

ния плотности i (М ) можно добиться выполнения краевого условия (2.25). Таким образом, для решения задачи В в ка­ честве вторичных источников следует ввести простой слой токов. Эти токи назовем токами намагниченности, так как создаваемое ими поле будет эквивалентно полю намагни­ ченного ферромагнетика. При решении краевой задачи Я вторичные источники должны обеспечить на границе раз­ дела сред необходимый скачок нормальных составляющих и непрерывность касательных составляющих напряжен­ ности.

Очевидно, что такие краевые условия могут реализо­ ваться, если на поверхности S разместить двойной слой поверхностных токов, который представляет собой два сколь угодно близко прилегающих друг к другу и к поверх­ ности 5 простых слоя токов, векторы плотности которых в каждой точке Q £ S равны по модулю и направлены про­ тивоположно. При этом предполагается, что при сближении слоев, т. е. при уменьшении расстояния h между ними,

модуль вектора плотности i растет так, чтобы величина

| i (М) |h была конечной, т. е. отличной от тождественного нуля. Отсюда ясно, что в пространстве между простыми сЛоями всегда (при любом К) будет конечный, отличный

от нуля, поток вектора ~Й, что и приводит к скачку нормаль­ ных составляющих Я при переходе через двойной слой

токов. Скачки касательных составляющих Я от простых слоев токов компенсируются и потому в итоге касательные

составляющие Я будут непрерывны при пересечении двой­ ного» слоя.

При сближении простых слоев токов их магнитные мо­ менты, направленные перпендикулярно к S, взаимно ком­

пенсируются, но возникает магнитный момент т (М), ка­ сательный к S и перпендикулярный к направлению плотности

i (М ). Таким образом двойной слой токов можно отож­

112

дествить с поверхностным распределением магнитного мо­ мента т (М ), который в каждой точке касателен к S. Для

векторного потенциала А двойного слоя токов применима аналогичная соотношению (2.58) формула

А = ~Ш~ Ф[т gradQ dSM, (2.59)

в которой перед интегралом опущен множитель р0, посколь­ ку для задачи Н векторный потенциал определяется форму­ лой (2.26).

Исследуем свойства векторного потенциала двойного слоя (2.59) при переходе через поверхность S. Из сопостав­ ления формул (2.59) и (2.43) следует, что векторный потен­ циал двойного слоя совпадает с вихрем векторного потен­

циала простого слоя, если положить т (М) = —p,0t (М). Отсюда получаем, во-первых, что для векторного потенциа­

ла двойного слоя токов при любом распределении т автома­ тически выполняется условие (2.10), а, во-вторых, на по­ верхности двойного слоя справедливы соотношения:

Обратимся к свойствам вихря потенциала двойного слоя токов. Из выражения (2.59) находим

114

Таким образом вихрь векторного потенциала двойного слоя токов можно отождествить с напряженностью электро­ статического поля простого слоя зарядов, распределенных

по поверхности 5 с плотностью а (М ) = (пм, rot 1пм,т (At)]). Поэтому

В всю среду заменяем однородной и, чтобы при этом оста­ валось неизменным поле индукции, на поверхности S раз­ дела сред вводим простой слой токов дополнительно к пер­ вичным источникам — заданным токам проводимости, т. е. векторный потенциал ищем в виде

Векторный потенциал (2.69) будет удовлетворять урав­ нениям (2.20) — (2.22) и согласно соотношению (2.42) будет выполняться краевое условие (2.24). Найдем, како­

му уравнению должна удовлетворять плотность i (М), чтобы выполнялось и граничное условие (2.25).

Из соотношений (2.48), (2.49) и (2.69) находим:

rot A~ (Q) = ~ ~ [7(Q), tlQ] -

m < k y L - \ d S M +

n

(2.70)

Из формулы (2.70) и(2.71)следует, что потенциал (2.69) бу­ дет удовлетворять и краевому условию (2.25), если плотность

iW) будет удовлетворять интегральному уравнению [68]:

ти i (Q) к S.

Использовав те же рассуждения, что и при выводе фор­ мулы (2.19), можно упростить правую часть уравнения (2.72)

где Sk — поверхности, ограничивающие проводники Vk. Аналогично при решении задачи Н всю среду заменяем однородной и, чтобы осталось неизменным поле напряжен­ ности, на поверхности S вводим двойной слой токов, т. е.

представляем векторный потенциал в виде

(2.74)

116

Для того чтобы сохранилось поле Н, необходимо маг­ нитный момент т (М) двойного слоя токов выбрать таким образом, чтобы выполнялось граничное условие (2.30). Краевое условие (2.31) и уравнения (2.27) — (2.29) удовлет­ воряются автоматически. Из формул (2.74), (2.61), (2.62) и краевого условия (2.30) выводим интегральное уравнение для

Ядро этого уравнения совпадает с ядром интегрального уравнения (2.73), поэтому целесообразно их исследовать одновременно. Справедлива спектральная теорема: Спектр интегрального уравнения

вещественный и для наименьшего по модулю характеристи­ ческого значения Я(1) выполняется неравенство:

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству 1-й спектральной теоремы гл. 1,4 с той лишь разницей, что вместо скалярной формулы Грина (1.92) необходимо исполь­

(р+ = оо) единице, то интегральные уравнения однозначно разрешимы при любом, в том числе и бесконечном значении р+, и решение этих уравнений может быть найдено методом последовательных приближений.

Решение краевых задач В и Н йеединственно, а соответ­ ствующие им интегральные уравнения (2.73) и (2.75) одно­ значно разрешимы. Причина этого состоит в том, что, ра­ зыскивая векторный потенциал задач В и Н соответственно

117

в виде соотношений (2.69) и (2.74), не только удовлетворяем краевым условиям (2.24), (2.25) и (2.30), (2.31), но и допол­ нительному условию:

которое для потенциала простого слоя токов следует из (2.42), а для потенциала двойного слоя токов — из формул

(2.60) — (2.62).

Это дополнительное краевое условие и приводит к един­ ственности решения краевых задач В и Н, так как допол­ нительно к соотношению (2.35) накладывается условие непре­

рывности нормальных составляющих градиентов ср+ и ф—. Физический смысл имеет лишь то поверхностное распре­ деление токов, для которого выполняется условие (2.52). Только при этом условии будет удовлетворяться уравне­ ние (2.10) для векторного потенциала (2.69). Сразу неоче­ видно, что условие (2.10) выполняется для решения урав­ нения (2.73). Доказательство этого факта см. гл. II, 5. Интегральные уравнения (2.73) и (2.75) являются век­ торными уравнениями и численное решение их значитель­ но более трудоемко, чем решение скалярных уравнений. В связи с этим целесообразно ввести скалярные вторичные источники и сформулировать задачу расчета поля в кусоч­ но-однородной среде в виде интегральных уравнений для вторичных скалярных источников. Это тем более естественно, что поле, созданное намагниченностью ферромагнетика, полностью идентично электростатическому полю. Основные

•трудности возникают вследствие того, что первичное маг­ нитное поле, созданное токами проводимости, является вихревым. Для преодоления этих трудностей необходимо ввести скалярный потенциал магнитного поля токов.

Используем полученные результаты и приведем вывод формулы (2.19), не использующий теорему о роторе и при­ годный для любого положения точки Q. Будем считать, что пространство заполнено однородной в магнитном отно­ шении средой с проницаемостью р.0, а в области V, ограни­

118

Н может быть уподоблено полю векторного потенциала

3. СКАЛЯРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ МАГНИТНОГО ПОЛЯ, СОЗДАННОГО ТОКАМИ В ОДНОРОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Магнитное поле стационарных токов является вихревым, поэтому для его исследования и вводится векторный маг­

нитный потенциал А- Применение векторного потенциала для расчета трехмерных полей сопряжено со следующими трудностями: во-первых, необходимо вычислять три компо­

ненты вектора А; во-вторых, краевые условия для А на гра­ ницах раздела сред имеют более сложный вид, чем для ска­ лярного потенциала. Поэтому целесообразно свести расчет вихревого магнитного поля к исследованию потенциаль­ ного поля источников.

При этом возможны два подхода. Первый состоит в том, что все магнитное поле, как первичное, созданное токами проводимости в однородном пространстве, так и вторичное, созданное намагниченностью ферромагнетиков, сводят к потенциальному полю источников. Второй подход заклю­ чается в том, что только для вторичного поля, созданного намагниченностью ферромагнетиков, используют скаляр­ ные потенциальные источники. Первичное поле при этом рассчитывают по заданным токам в проводниках. Оба под­ хода требуют введения скалярного потенциала.

В первом подходе скалярный потенциал определяют во всем пространстве, во втором — либо только для поля

119