книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

многое зависит от выбора исходной, отправной точки рассуждений (см. гл. II, 7).

Задачу расчета магнитностатического поля будем по­ степенно усложнять, отправляясь от случая кусочно-одно­

Из соотношений (2.1), (2.2) и (2.8), считая, что В и Я связаны соотношением (2.3) или (2.5), т. е. что среда ли­ нейна, однородна и изотропна, находим

АЛ = — рб, или АЛ = 0 в области вне токов. (2.12)

Таким образом, для определения векторного потенциала в однородной среде необходимо найти решение уравнения (2.12), которое должно автоматически удовлетворять усло­ вию (2.10), иначе, как это видно из выражения (2.11), век­

торный потенциал Л не будет удовлетворять исходному уравнению (2.9).

Решение уравнения (2.12) имеет вид

( 2 ' 1 3 )

V

где V — объем, занятый токами проводимости. Проверим, что (2.13) удовлетворяет условию (2.10):

v

ИЮ

так как div6 = 0. Обозначая через S поверхность, огра­ ничивающую V, по теореме Гаусса из выражения (2.14) определяем

r QM

s

Поскольку на поверхности 5 проводников 6„ (М) == 0, то из уравнения (2.15) следует выполнение условия (2.10). Из выражения (2.13) для магнитной напряженности нахо­ дим

' QM

т. e. напряженность находится интегрированием по объему V проводников с токами.

Вслучае стационарного поля токов, когда rot^ б (М) =

=0, интеграл в выражении (2.16) по объему можно свести

кинтегралу по поверхности S проводников. Из соотноше­ ния (2.16) следует:

(2.17

101

Считая, что точка Q лежит вне объема V (при этом

будет непрерывно дифференцируемой функцией координат|,

и используя теорему о роторе из векторного анализа [77, 78]

Формула (2.19) справедлива и в случае, когда точка Q находится внутри объема V [24].

Таким образом, когда среда во всем пространстве явля­ ется однородной, то расчет поля проводится достаточно просто, необходимо лишь про­ извести интегрирование или по области V [формулы (2.13)

и (2.16)] или по поверхности S [формула (2.19)]. Задача значительно усложняется, когда заполняющая простран­ ство среда является кусочно­ однородной в магнитном от­ ношении. Везде в последую­ щем рассматриваем простей­ ший случай кусочно-однород­ ной среды, когда среда внутри

Излагаемая теория может быть обобщена на случай кусоч­ но-однородной среды, состоящей из нескольких областей однородности.

При расчете поля в кусочно-однородной среде уже при­ ходится интегрировать не одно уравнение (2.12) во всем однородном безграничном пространстве, а решать краевую задачу. Векторный потенциал в области V~ обозначим че­

102

Граничные задачи (2.20) — (2.22), (2.24), (2.25) и (2.27) — (2.31) в последующем для краткости будем называть со­ ответственно краевыми задачами В и Я. Смысл именно тако­ го сокращенного обозначения можно усмотреть в различии способа введения векторного потенциала для этих задач, а также в том, что при решении задачи В кусочно-однород­ ная среда будет заменяться однородной так, чтобы осталось

неизменным поле индукции В, при решении задачи Я — поле Я. В краевых задачах В и Я подразумевается, что век­

торный потенциал в областях и V~ удовлетворяет усло­ вию (2.10) и обращается в нуль на бесконечности.

Остановимся на вопросе единственности решения крае­ вых задач В и Я, т. е. на однозначности определения век­ торного потенциала при помощи соотношений (2.8), (2.10)

и (2.10), (2.26). Пусть Л0 еще один векторный потенциал, для которого

т. е. векторный потенциал определяем по соотношениям (2.8) и (2.10) с точностью до градиента гармонической функции.

Если все пространство заполнено однородной средой, то уравнение (2.34) должно выполняться во всем простран­ стве. Но функция гармоническая во всем пространстве есть константа. Поскольку принимаем, что векторный по­ тенциал на бесконечности обращается в нуль, то и эту константу следует приравнять нулю. Таким образом, в одно­ родной изотропной среде векторный потенциал соотношения­ ми (2.8) и (2.10) определяется однозначно. В кусочно-од­

нородной среде в областях V+ и V~ векторный потенциал определяется соотношениями (2.8) и (2.10) с точностью

до градиента гармонических функций ф+ и ф~. Посмотрим, каким краевым условиям должны удовлетворять функции

Ф+ и ф- , чтобы новый векторный потенциал Л„ удовлетво­

104

рял граничным соотношениям (2.24) и (2.25). Соотношение (2.25) автоматически, независимо от граничных значений

Ф+ иср .выполняется для А0. Чтобы выполнялось краевое условие (2.24), необходимо

т. е. получаем только одно соотношение, связывающее ка­ сательные составляющие градиентов гармонических функ­ ций. Связь между нормальными составляющими градиен­ та может быть произвольной:

которую, в частности, можно интерпретировать как плот­ ность некоторого распределения зарядов.

Таким образом приходим к выводу, что векторный по­ тенциал в задаче В определяется с точностью до напряжен­ ности электростатического поля, созданного произвольным распределением зарядов на поверхности 5.

В действительности, неоднозначность векторного потен­ циала в кусочно-однородной среде еще шире. В самом деле, связь (2.35) возникла вследствие краевого условия (2.24), которое можно заменить менее жестким

вытекающим из соотношений (2.23) и (2.8).

При краевом условии (2.37) будет произвольной связь

где т {М) — произвольная функция, которую можно интер­ претировать как плотность двойного слоя зарядов на 5, т. е. в е к т о р н ы й п о т е н ц и а л в к у с о ч н о ­ о д н о р о д н о й с р е д е о п р е д е л я е т с я с т о ч н о с т ь ю д о н а п р я ж е н н о с т и э л е к т р о ­ с т а т и ч е с к о г о п о л я , с о з д а н н о г о п р о ­ и з в о л ь н ы м и и с т о ч н и к а м и н а п о в е р х ­ н о с т и S.

Эта градиентная неоднозначность векторного потенциала была использована в работе [2] для упрощения краевых

условий для А на границе раздела сред. Для наших целей

105

эта неоднозначность несущественна, поскольку не влияет

на поле Б и Я, хотя мы ею уже однажды воспользовались, заменив краевое условие (2.37) условием (2.24).

Для решения краевых задач В и Я может быть применен метод вторичных источников, т. е. можно кусочно-одно­

с соответствующими полями в исходной кусочно-однород­ ной среде.

2. ВЕКТОРНЫЕ ВТОРИЧНЫЕ ИСТОЧНИКИ

ИИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Впространстве выберем поверхность S (рис. 19) и будем считать, что задано некоторое поверхностное распределение электрических токов, плотность которых будем обозначать

через i. Под термином «поверхност­ ное распределение» понимается, что

вектор i является функцией точки по­ верхности Б и в каждой точке касателен к этой поверхности. Поверх­ ностное распределение тока можно рассматривать как предельный слу­ чай объемного распределения. На этом основании и согласно выраже­ нию (2.13) для векторного потенциа­

ла А поверхностного распределения токов получаем следующее выраже­ ние:

s

Потенциал A (Q), определяемый соотношением (2.39), удовлетворяет уравнению Лапласа внутри и вне S, т. е.

где V+ и V^~— соответственно внутренняя и внешняя по от­ ношению к S области.

Для того, чтобы А (Q), вычисленный согласно выра­ жению (2.39), был векторным потенциалом магнитостати­

106

ческого поля, необходимо выполнение условия (2.10). Оказывается, что при произвольном поверхностном распре­

делении i (М) условие (2.10) не выполняется, иначе говоря,

не любое распределение токов Г(М) имеет физический смысл.

Изучим поведение А (Q) и его вихря при переходе через поверхность S. Представим A (Q) в виде

Из соотношения (2.41) следует, что каждую составляю­ щую векторного потенциала поверхностного слоя токов можно интерпретировать как электрический потенциал, созданный простым слоем зарядов, распределенных по 5. Так как потенциал простого слоя зарядов — непрерывная во всем пространстве (и в частности, при переходе через S) функция, то из соотношения (2.41) получаем граничное

107

можно интерпретировать как напряженность электроста тического поля, созданную простым слоем зарядов, распре деленных на поверхности 5 с плотностью а (М ) = р„ео Ш) Касательные составляющие этой напряженности непрерыв ны при переходе через заряженную поверхность S, а нор мальные составляющие претерпевают скачок, определяе мый соотношениями (1.18) и (1.19) (см. гл. I, 2). Следова тельно,

r Q M

где gradj и gradQ — означают предельные значения гради­ ентов при стремлении Qk S свнутренней и наружной сторон;

aiq — нормаль к 5 в точке Q.

Аналогичные (2.46) и (2.47) соотношения справедливы и для других слагаемых в формуле (2.44). Используя эти

,108

+ г», -g rad a ^ $ ^ 0 . < K , +

+I , - р а д

== -y-f^Q ), nQ]---- £ - § [ /( M ) , g ra d e -J -]d S M.

Окончательно на поверхности S получаем:

rot Л (Q) = -у - [i (Q), nQ]

Если векторный потенциал A (Q) слоя тока является векторным потенциалом магнитостатического поля, то со­ гласно соотношениям (2.48) и (2.49) выводим

lhQ, Н~ (Q) — Н+ (Q)l = - i - [nQ, rot А~ (Q) — rot А+ (<?)] =

так как i (Q) касателен к 5.

Соотношение (2.50) прозрачно с физической точки зре­ ния и показывает, что скачок касательных составляющих напряженности при переходе через слой тока пропорцио­ нален плотности тока. Причиной этого скачка является соб­ ственное магнитное поле элементарной трубки поверхност­ ного тока, проходящей через точку Q. Силовые линии поля этой трубки охватывают ее и потому имеют противополож­ ные направления с внутренней и наружной сторон поверх­

ности S. Вот эта противоположная направленность поля Я элементарной трубки и приводит к скачку касательных составляющих напряженности результирующего поля.

109