
книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей
.pdfИз выражений (1.241), (1.242), (1.244) и (1.245) находим
- |
e-C a( £ ^ - d S = |
s - j |
| grad Фо |2 dV + |
|
|||
|
S |
|
|
V - |
|
|
|
+ |
4 |
+ |
,+ |
4 |
+ 8+ |
4 |
dV. |
dx |
e; |
dy |
dz |
||||
|
|
|
|
|
Так как Ф„ (Q) совпадает с точностью до константы с по тенциалом двойного слоя, то
Ф |
дФ е |
|
|
___ о |
dS = О |
|
|
дп |
|
||
и, следовательно, |
|
|
|
ъ- j | grad Ф„ |2dV + |
|
|
+ |
v— |
|
|
|
|
|
2 - |
|
+ 8Z+ |
|
| dV = 0. |
|
Отсюда находим: |
|
|
|
Ф0(Q) — const |
в области V~; |
(1.246) |
|
Ф0 (Q) s= const |
в области V+. |
(1.247) |
Из выражений (1.236) и (1.246) следует, что плотность двойного слоя должна быть постоянной т0 (М) == const. Но интегрируя уравнение (1.234) по S, получаем
т0(Q) dSQе== 0.
Откуда и вытекает т0 (Q) = 0.
Из уравнения (1.247) следует фо (Q) = const на поверх ности 5 и
дер1 |
дер1 |
-gj-cos (п, X) + е + - ^ - cos [п, у) +
Iд(р‘
+еГ cos (п,
90
Согласно соотношениям (1.212) и (1.213)
ф °о (Q) dSQ = ф |
, |
<Эф* |
|
*) + |
|||
еГ -g j- cos (n, |
|||||||
|
|
s |
|
|
|
|
|
. |
<Эфе |
г/) + e+ |
<Эф* |
cos (л, |
г) |
dSu — |
|
+ e j |
cos (л, |
|
|||||
|
■ <Эф* |
|
|
|
J |
|
|
|
|
x) + |
e+ |
dcp‘ |
|
y) -f- |
|
|
et - fc - cos (л, |
cos (л, |
|||||
|
+ |
d<Pe |
cos (л, z) |
(ISm. |
|
(1.249) |
|
|
+ 87 |
|
|
Интегрируя уравнение (1.235) no S и учитывая соотно шение (1.204), находим
J) а0(Q) dSQ= 0.
Откуда и из выражений (1.247) — (1.249), следует
, дер* |
|
|
дт* |
|
~дх~ C0S |
X) + |
Et ~ |
d r C° S{fl' |
+ |
+ е; <Эг |
cos (л, |
г) |
dS = 0. |
(1.250) |
Поскольку аналогичное выражению (1.244) соотношение
справедливо и для области V- , то из выражения (1.250) находим:
е \2 |
|
ч2 |
|
|
|
|
е+1 |
+ Е« ( т г ) + е-:" |
дг |
|
dV =* 0. |
||
&х 1 дх |
|
|
||||
у— |
|
|
области У- . Но |
отсюда и из |
||
Откуда ф0 (Q) г== const в |
||||||
соотношения (1.247) следует |
|
|
|
|
||
°о(Q) = 8+ cos(п, |
х ) ( - ^ ~ - |
дх |
+ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
е+ cos (п, |
у) / |
дфо |
V, |
+ |
|
|
|
|
% |
|
|
|
+ |
е+ cos (п, |
г) |
дг |
дг |
s O . |
|
|
|
|
|
|
Теорема доказана.
91
Из единственности решения системы интегральных уравнений (1.232) и (1.233), вообще говоря, не следует существование решения (разрешимость) этой системы, поскольку она не является системой интегральных уравнений Фредгольма, так как интеграл в уравнении (1.233), содержащий т (М ), имеет особенность порядка
—и возможно существует как сингулярный [55], если
rQM
т(М ) дифференцируема, т. е. |т (М) — т (Q) | <; CrQM.
Правильнее было бы нормальную производную потенциала двойного слоя в уравнении (1.233) записать в виде
■ а £ - ф т ( Л < ) |
i S u = |
|
|
|
d n Q 7 |
rQM |
|
|
|
д |
[т (M) — т (Q)] |
(r Q M ’ Пм1 |
dSM, |
(1.251) |
dnQ |
Г3 |
|||
|
|
rQM |
|
|
т. е. не вносить знак производной под интеграл. Однако для приближенного решения системы интегральных урав нений (1.232) и (1.233) такое различие в записи не существен но, так как при численном решении поверхность S разби вается на малые участки AS, в пределах которых плотность т (М ) можно считать постоянной. Поэтому интеграл по участку AS, содержащему точку Q, обращается в нуль, а на остальных участках ядро интеграла (1.251) непрерывно дифференцируемо и, следовательно, производную можно внести под знак интеграла.
Рассмотрим задачу расчета плоского поля. В этом случае оказывается возможным использовать однотипные интегральные представления решения для изотропной и анизотропной сред и получать при этом интегральные урав нения 2-го рода.
Напряженность поля в изотропной среде представим в ви
де суммы двух слагаемых: |
|
|
Е (Q) — Ео (Q) + |
£ _ (Q), |
(1.252) |
где |
|
|
*=i |
м |
(1.253) |
'Q M |
|
— напряженность, создаваемая всеми объемными зарядами в области V~ при предположении, что все пространство
92
заполнено однородной изотропной средой с проницаемостью
sT\E— (Q) — напряженность в области V~, созданная поля ризацией диэлектрика.
Учитывая выражение (1.252), краевые условия на гра нице раздела изотропной и анизотропной сред записываем в виде:
£ -т (Q) - |
Е+ (Q) = |
- |
Е0Х(Q); |
(1.254) |
|
г~Е_п (Q) - |
D+ (Q) = |
_ |
е~Еоп (Q), |
(1.255) |
|
где Е'х — касательная составляющая |
вектора. |
|
|||
Введем скалярный потенциал ф+ (Q) |
и представим его |
||||
в виде |
|
|
|
|
|
Ф+ (Q) = — - ) = = = & о |
|
‘'QM |
(1.256) |
||
2л у |
е+е+ J |
|
|
||
|
х У L |
|
|
|
|
Для поля E-(Q) введем функцию потока ф~ |
(Q) |
||||
|
Е-> = - Ч |
г |
о -257» |
||
и будем разыскивать ее в виде |
|
|
|
|
|
(Q) = |
(J) н (М) 1п -7— |
dlM, |
(1 -258) |
||
|
L |
|
|
|
|
т. е. для ф+ (Q) и (Q) используем однотипные интеграль ные представления в виде потенциалов простых слоев.
Из краевых условий и выражений (1.257) и (1.200) на ходим:
дп |
+ |
дф+ |
— £от (Q); |
(1.259) |
дх |
||||
е- |
дх |
+ в*" сдх)ф,+' cos (п, х) + |
|
|
+ |
|
cos («> |
у) — — е Е0п. |
(1.260) |
Из соотношений (1.256), (1.258) — (1.260) выводим сис тему интегральных уравнений 2-го рода для к (М) и а (М):
K(Q) + ± |
S x ( M |
) .."q -- Мм - |
|
||
П |
|
? |
|
rQM |
|
|
|
д 1п ■ |
|
|
|
■(j) а (М) |
_Я,QM |
dlM ^ 2 E 0x(Q)i |
(1.261) |
||
дхг |
|
||||
|
|
|
|
|
93
a(Q) |
1 |
(rQM’ "Q) |
(Им — |
||
я У 4 |
4 |
||||
|
|
|
|||
|
|
ain —-— |
|
|
|
|
-----_ ^ L _ d/M= _ 2e-£o„(Q). |
(1.262) |
|||
|
L |
Q |
|
|
|
Нетрудно видеть, что если система интегральных |
уравне |
ний (1.261) и (1.262) разрешима, то ее решение неединствен но. В самом деле, если х (М ) и а (М)—какое-либо решение
этой системы, то х (М) и а (М ) + |
о0 (М), где а0 |
(М) — ка |
|
кое-либо ненулевое решение однородного уравнения |
|
||
a0(Q)------ -v L - = r (6 о0(М) |
dlM= |
0, |
(1.263) |
L |
RQM |
|
|
также является решением системы (1.261) |
и |
(1.262). |
Это объясняется тем, что решение уравнения (1.263) можно
интерпретировать, как |
распределение |
заряда по контуру |
||||||
L цилиндрического проводника, когда среда вне является |
||||||||
анизотропной |
с |
тензором |
диэлектрической |
проницаемости |
||||
|
р + |
|
Поэтому |
потенциал <р (Q) |
X |
|||
6,7 |
О е.+ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
я"|/" ,+р.+ |
|
X § °о (М) 1п- |
1 ■(Им |
будет |
постоянным |
внутри и на |
||||
|
|
XQM |
|
|
|
|
|
|
контуре L и, |
следовательно, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
д 1п ■ |
|
|
|
|
1 |
^ |
о0(М)- |
ЯQM |
■(Им — 0. |
||
|
|
дхг |
||||||
|
пУ 4 4 |
|
|
|
|
|
Откуда очевидно, что х (М) и о (М) + ст0 (М) также являются решением системы (1.261) и (1.262).
Преобразуем эту систему так, чтобы решение ее было единственным. Для этого достаточно, чтобы решение систе мы (1.261)—(1.262) удовлетворяло условию
ф о (М) (Им — 0, |
(1.264) |
которое автоматически будет выполнено, если придать сис теме вид:
«(Q) + |
(rQM' nQ> |
(Им — |
Л |
||
|
rQM |
|
94
1
- - - / = = = • ( £ q (A t)------ ^ |
- ^ м |
= 2£<н((3); (1.265) |
|
" К 4 4 I |
Q |
' |
|
a(Q)------ (Б о (М) |
7 |
(rQM’ ng) |
|
Rqm |
|||
*v 4 4 |
д In------- |
|
|
И № ----- d%QM |
dlM ~ ~ 2еГЕ°" (Q). (1.266) |
|
Как и в пространственном случае, можно доказать, |
что |
|
если решение системы (1.265) |
и (1.266) существует, |
то |
это решение единственно. Доказательство этого утвержде ния дословно повторяет доказательство теоремы о единствен ности решения системы П.232)—(1.233). Система (1.265)— (1.266) является одномерной системой сингулярных ин тегральных уравнений 2-го рода, так как последние инте гралы в уравнениях являются сингулярными.
Уравнения (1.261) и (1.262) симметричны, что является следствием симметрии краевых условий (1.259) и (1.260), которая станет очевидной, если выражение
представить в виде |
cos (я’ х) + 4 |
cos (П’ У) |
||||
|
|
|
|
|
||
|
4 ДаГ" cos (п’ |
+ |
4 |
cos ("» |
У) = |
е+ н | г - О -267) |
где |
е+ = Y t8+ cos (я, |
x)f + |
[ 4 cos (n, |
г/)]2; |
v — направле- |
|
ние |
|
|
-* |
-► e+ cos (n, x) |
cos (n,y) |
|
единичного вектора v = |
i ---------;p---------(- / —— — , |
которое для уравнения (1.196) играет ту же роль, что на правление нормали п для уравнения Лапласа [см. соотно шения (1.200), (1.211) и (1.212)]. Поэтому в общей теории уравнений эллиптического типа [56] v называется конормалью.
Симметрия краевых условий (1.259) и (1.260) возникла потому, что в плоском поле наряду с потенциалом можно
95
ввести сопряженную с ним функцию потока (чего, к сожа лению, не удается сделать в трехмерном поле). Это и позво
ляет разыскивать ф~ и ср+ в виде однотипных интегральных представлений и получать систему уравнений 2-го рода.
Изложенная в настоящем параграфе теория автомати чески переносится на случай, когда в пространстве имеются несколько областей, заполненных однородной анизотроп ной средой.
Глава II
РАСЧЕТ МАГНИТОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
В ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ
ИНЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
1.ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
РАСЧЕТА МАГНИТОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
Под магнитостатическим полем в последующем будем понимать поле, созданное стационарными токами в про водниках и намагниченностью находящихся в пространстве ферромагнетиков. Магнитостатические поля в ферромаг нитных средах рассчитывают при решении самых разно образных задач современной электротехники:
а) при исследовании электромагнитных процессов в элек трических машинах и аппаратах;
б) при расчете магнитных систем ускорителей элемен тарных частиц;
в) при создании новых магнитных элементов и устройств автоматики и вычислительной техники;
г) при расчете ферромагнитных экранов мощных силь ноточных устройств;
д) при разработке магнитных систем для фокусировки потоков заряженных частиц в устройствах радиоэлектро ники и т. д.
Разнообразие и сложность геометрических форм ферро магнитных деталей современного электротехнического обо рудования, увеличение электромагнитных нагрузок и свя занная с этим необходимость учета нелинейных свойств ферромагнитной среды, а также все более жесткие требо вания, предъявляемые практикой к точности электромаг
96
нитных расчетов, с одной стороны, указывают на беспер спективность использования аналитических методов для расчета сложных электромагнитных полей, с другой, под черкивают актуальность разработки универсальных чис ленных алгоритмов расчета полей, ориентированных на при менение ЭЦВМ.
Для расчета магнитостатических полей используем метод вторичных источников, основные положения которого изложены в гл. I. Между электростатическими и магнито статическими полями существует глубокая аналогия. Это позволит применять многие полученные ранее результаты, что сделает изложение более компактным.
Магнитостатическое поле возбуждают неизменные во вре мени электрические токи. Поэтому, полагая в полной систе ме уравнений электромагнитного поля все производные по времени равными нулю, получаем следующие соотноше ния:
rot Я = |
б; |
(2.1) |
divB = |
0, |
(2.2) |
где Я — вектор магнитной напряженности; В — вектор
магнитной индукции; б — плотность электрического тока. Уравнения (2.1) и (2.2) необходимо дополнить уравне
нием материальности, связывающим векторы В и Я. Наи более простой вид это уравнение имеет для воздушной сре ды, где можно принять
В = р0Я. |
(2.3) |
Для ферромагнитной среды уравнение связи В и Я за пишем в виде
В — P-о (^ Н~ •О» |
(2.4) |
где 7 — вектор намагниченности, который характеризует способность ферромагнитной среды возбуждаться (на магничиваться) под действием внешнего магнитного поля и создавать свое дополнительное и даже самостоятельное (в случае остаточной намагниченности) поле.
Используя соотношение (2.4), можно решить уравнения (2.1) и (2.2) только в том случае, когда известен вектор 7
как функция координат. Но 7 обычно является сложной (почти всегда неоднозначной) функцией напряженности
7 4-691 |
97 |
Н. Поэтому для решения уравнений (2.1) и (2.2) необходи
мо задать уравнение связи между J и Н.
В общем случае ферромагнитной среды уравнение свя
зи / = / (Я) носит чрезвычайно сложный, еще далеко до кон ца не изученный характер. Поэтому при расчете поля обычно принимают некоторые упрощающие допущения, при ближенно аппроксимирующие реальные свойства ферро магнитной среды, наиболее распространенными из которых являются предположения об изотропности и линейности фер ромагнитной среды, что приводит к следующему уравнению материальности:
В — |хН (J = хЯ), (2.5)
где р и х — магнитные проницаемость и восприимчивость ферромагнетика, которые в пределах данного тела считают ся постоянными, не зависящими от координат точки вели чинами.
Уравнение (2.5) наиболее близко описывает свойства магнитомягких материалов при небольших значениях на пряженности поля.
Следующим шагом в направлении более полного учета свойств ферромагнитной среды является допущение, что проницаемость р в выражении (2.5) есть функция координат р = / {х, у, z), т. е. что ферромагнитная среда является изо тропной и неоднородной. Неоднородность магнитной про ницаемости ферромагнитных тел почти всегда наблюдается у их поверхности, как остаточное явление после механи ческой или термической обработки. Но достоверные коли чественные сведения о характере этой неоднородности, т. е. о зависимости р = f (х, у , г), обычно отсутствуют. Поэтому случай объемно-неоднородной магнитной среды чаще всего возникает как результат расчетной идеализации при по пытке учета нелинейных свойств среды методом последо-. вательных приближений. Следующим по сложности допу щением является предположение, что среда является нели нейной (безгистерезисной) и изотропной, т. е.
Б = р ( | Я | ) Я , |
(2.6) |
где зависимость р(|Я|) обычно определяют из эксперимента на тороидах.
В тех случаях, когда необходимо учитывать анизотропию ферромагнитной среды, вводят тензор магнитной проница-
98
емости \1 ц и записывают соотношение (2.5) в виде
|
В = циН. |
|
|
(2.7) |
|
При рассмотрении однородной анизотропной |
среды |
||||
декартову систему |
координат |
можно |
выбрать |
так, чтобы |
|
ее оси совпали с |
главными |
осями |
тензора |
р^/, |
а сам |
тензор можно записать в виде диагональной матрицы р,у =
величины р*, \ау, р2 постоянны и не
зависят от координат х, у и г вследствие однородности анизотропной среды.
Наиболее сложным, но в то же время наиболее близким к действительности является случай гистерезисной среды, когда магнитная проницаемость (если вообще такую ха рактеристику в этом случае можно ввести) является нелиней
ной многозначной функцией напряженности Я, зависящей от предыстории процесса намагничивания, а векторы В
и Я, как правило, не совпадают в пространстве по направ лению и угол между ними изменяется от точки к точке. В этом случае не совсем ясно, в каком виде (даже качествен но, а не только количественно) представлять уравнение
связи между В и Я, чтобы это уравнение можно было ис пользовать для расчета поля. Неизвестно, какие экспери менты помогут извлечь информацию о свойствах ферро магнитной среды, одновременно минимальную и достаточ ную для расчета магнитного поля. Информация о свойствах ферромагнитной среды, которая доставляется семейством петель гистерезиса (симметричных и несимметричных), получаемых в результате эксперимента на замкнутых тороидах, часто достаточна для расчета электрических цепей с ферромагнитными сердечниками, так как поле в большей части объема сердечников можно считать однонаправленным и в этом смысле идентичным полю в экспериментальных тороидах. Однако эта информация совершенно недостаточна для расчета магнитных полей в телах сложной формы, где направление векторов поля резко меняется от точки к точ ке. Поэтому возникает необходимость построения моделей гистерезисной среды, которые позволили бы приблизиться к этому необычайно сложному и пока расчетно недоступ ному явлению. При построении моделей гистерезисной среды
т |
99 |