Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей

.pdf
Скачиваний:
59
Добавлен:
24.10.2023
Размер:
11.32 Mб
Скачать

Из выражений (1.241), (1.242), (1.244) и (1.245) находим

-

e-C a( £ ^ - d S =

s - j

| grad Фо |2 dV +

 

 

S

 

 

V -

 

 

 

+

4

+

,+

4

+ 8+

4

dV.

dx

e;

dy

dz

 

 

 

 

 

Так как Ф„ (Q) совпадает с точностью до константы с по­ тенциалом двойного слоя, то

Ф

дФ е

 

 

___ о

dS = О

 

дп

 

и, следовательно,

 

 

 

ъ- j | grad Ф„ |2dV +

 

 

+

v—

 

 

 

 

 

2 -

 

+ 8Z+

 

| dV = 0.

 

Отсюда находим:

 

 

 

Ф0(Q) — const

в области V~;

(1.246)

Ф0 (Q) s= const

в области V+.

(1.247)

Из выражений (1.236) и (1.246) следует, что плотность двойного слоя должна быть постоянной т0 (М) == const. Но интегрируя уравнение (1.234) по S, получаем

т0(Q) dSQе== 0.

Откуда и вытекает т0 (Q) = 0.

Из уравнения (1.247) следует фо (Q) = const на поверх­ ности 5 и

дер1

дер1

-gj-cos (п, X) + е + - ^ - cos [п, у) +

Iд(р‘

+еГ cos (п,

90

Согласно соотношениям (1.212) и (1.213)

ф °о (Q) dSQ = ф

,

<Эф*

 

*) +

еГ -g j- cos (n,

 

 

s

 

 

 

 

 

.

<Эфе

г/) + e+

<Эф*

cos (л,

г)

dSu

+ e j

cos (л,

 

 

■ <Эф*

 

 

 

J

 

 

 

 

x) +

e+

dcp‘

 

y) -f-

 

et - fc - cos (л,

cos (л,

 

+

d<Pe

cos (л, z)

(ISm.

 

(1.249)

 

+ 87

 

 

Интегрируя уравнение (1.235) no S и учитывая соотно­ шение (1.204), находим

J) а0(Q) dSQ= 0.

Откуда и из выражений (1.247) — (1.249), следует

, дер*

 

 

дт*

 

~дх~ C0S

X) +

Et ~

d r C° S{fl'

+

+ е; <Эг

cos (л,

г)

dS = 0.

(1.250)

Поскольку аналогичное выражению (1.244) соотношение

справедливо и для области V- , то из выражения (1.250) находим:

е \2

 

ч2

 

 

 

е+1

+ Е« ( т г ) + е-:"

дг

 

dV =* 0.

1 дх

 

 

у—

 

 

области У- . Но

отсюда и из

Откуда ф0 (Q) г== const в

соотношения (1.247) следует

 

 

 

 

°о(Q) = 8+ cos(п,

х ) ( - ^ ~ -

дх

+

 

 

 

 

 

 

+

е+ cos (п,

у) /

дфо

V,

+

 

 

 

 

%

 

 

 

+

е+ cos (п,

г)

дг

дг

s O .

 

 

 

 

 

 

Теорема доказана.

91

Из единственности решения системы интегральных уравнений (1.232) и (1.233), вообще говоря, не следует существование решения (разрешимость) этой системы, поскольку она не является системой интегральных уравнений Фредгольма, так как интеграл в уравнении (1.233), содержащий т (М ), имеет особенность порядка

—и возможно существует как сингулярный [55], если

rQM

т(М ) дифференцируема, т. е. |т (М) — т (Q) | <; CrQM.

Правильнее было бы нормальную производную потенциала двойного слоя в уравнении (1.233) записать в виде

■ а £ - ф т ( Л < )

i S u =

 

 

d n Q 7

rQM

 

 

 

д

[т (M) — т (Q)]

(r Q M ’ Пм1

dSM,

(1.251)

dnQ

Г3

 

 

rQM

 

 

т. е. не вносить знак производной под интеграл. Однако для приближенного решения системы интегральных урав­ нений (1.232) и (1.233) такое различие в записи не существен­ но, так как при численном решении поверхность S разби­ вается на малые участки AS, в пределах которых плотность т (М ) можно считать постоянной. Поэтому интеграл по участку AS, содержащему точку Q, обращается в нуль, а на остальных участках ядро интеграла (1.251) непрерывно дифференцируемо и, следовательно, производную можно внести под знак интеграла.

Рассмотрим задачу расчета плоского поля. В этом случае оказывается возможным использовать однотипные интегральные представления решения для изотропной и анизотропной сред и получать при этом интегральные урав­ нения 2-го рода.

Напряженность поля в изотропной среде представим в ви­

де суммы двух слагаемых:

 

 

Е (Q) — Ео (Q) +

£ _ (Q),

(1.252)

где

 

 

*=i

м

(1.253)

'Q M

 

— напряженность, создаваемая всеми объемными зарядами в области V~ при предположении, что все пространство

92

заполнено однородной изотропной средой с проницаемостью

sT\E— (Q) — напряженность в области V~, созданная поля­ ризацией диэлектрика.

Учитывая выражение (1.252), краевые условия на гра­ нице раздела изотропной и анизотропной сред записываем в виде:

£ -т (Q) -

Е+ (Q) =

-

Е0Х(Q);

(1.254)

г~Е_п (Q) -

D+ (Q) =

_

е~Еоп (Q),

(1.255)

где Е'х — касательная составляющая

вектора.

 

Введем скалярный потенциал ф+ (Q)

и представим его

в виде

 

 

 

 

 

Ф+ (Q) = — - ) = = = & о

 

‘'QM

(1.256)

у

е+е+ J

 

 

 

х У L

 

 

 

 

Для поля E-(Q) введем функцию потока ф~

(Q)

 

Е-> = - Ч

г

о -257»

и будем разыскивать ее в виде

 

 

 

 

(Q) =

(J) н (М) 1п -7—

dlM,

(1 -258)

 

L

 

 

 

 

т. е. для ф+ (Q) и (Q) используем однотипные интеграль­ ные представления в виде потенциалов простых слоев.

Из краевых условий и выражений (1.257) и (1.200) на­ ходим:

дп

+

дф+

— £от (Q);

(1.259)

дх

е-

дх

+ в*" сдх,+' cos (п, х) +

 

+

 

cos («>

у) — — е Е0п.

(1.260)

Из соотношений (1.256), (1.258) — (1.260) выводим сис­ тему интегральных уравнений 2-го рода для к (М) и а (М):

K(Q) + ±

S x ( M

) .."q -- Мм -

 

П

 

?

 

rQM

 

 

 

д 1п ■

 

 

 

■(j) а (М)

_Я,QM

dlM ^ 2 E 0x(Q)i

(1.261)

дхг

 

 

 

 

 

 

93

a(Q)

1

(rQM’ "Q)

(Им

я У 4

4

 

 

 

 

 

ain —-—

 

 

 

-----_ ^ L _ d/M= _ 2e-£o„(Q).

(1.262)

 

L

Q

 

 

Нетрудно видеть, что если система интегральных

уравне­

ний (1.261) и (1.262) разрешима, то ее решение неединствен­ но. В самом деле, если х ) и а (М)—какое-либо решение

этой системы, то х (М) и а (М ) +

о0 (М), где а0

(М) — ка­

кое-либо ненулевое решение однородного уравнения

 

a0(Q)------ -v L - = r (6 о0(М)

dlM=

0,

(1.263)

L

RQM

 

 

также является решением системы (1.261)

и

(1.262).

Это объясняется тем, что решение уравнения (1.263) можно

интерпретировать, как

распределение

заряда по контуру

L цилиндрического проводника, когда среда вне является

анизотропной

с

тензором

диэлектрической

проницаемости

 

р +

 

Поэтому

потенциал <р (Q)

X

6,7

О е.+

 

 

 

 

 

 

 

 

я"|/" ,+р.+

X § °о (М) 1п-

1 ■(Им

будет

постоянным

внутри и на

 

 

XQM

 

 

 

 

 

контуре L и,

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д 1п ■

 

 

 

 

1

^

о0(М)-

ЯQM

■(Им — 0.

 

 

дхг

 

пУ 4 4

 

 

 

 

 

Откуда очевидно, что х (М) и о (М) + ст0 (М) также являются решением системы (1.261) и (1.262).

Преобразуем эту систему так, чтобы решение ее было единственным. Для этого достаточно, чтобы решение систе­ мы (1.261)—(1.262) удовлетворяло условию

ф о (М) (Им — 0,

(1.264)

которое автоматически будет выполнено, если придать сис­ теме вид:

«(Q) +

(rQM' nQ>

(Им

Л

 

rQM

 

94

1

- - - / = = = • ( £ q (A t)------ ^

- ^ м

= 2£<н((3); (1.265)

" К 4 4 I

Q

'

a(Q)------ (Б о (М)

7

(rQM’ ng)

Rqm

*v 4 4

д In-------

 

 

И ----- d%QM

dlM ~ ~ 2еГЕ°" (Q). (1.266)

Как и в пространственном случае, можно доказать,

что

если решение системы (1.265)

и (1.266) существует,

то

это решение единственно. Доказательство этого утвержде­ ния дословно повторяет доказательство теоремы о единствен­ ности решения системы П.232)—(1.233). Система (1.265)— (1.266) является одномерной системой сингулярных ин­ тегральных уравнений 2-го рода, так как последние инте­ гралы в уравнениях являются сингулярными.

Уравнения (1.261) и (1.262) симметричны, что является следствием симметрии краевых условий (1.259) и (1.260), которая станет очевидной, если выражение

представить в виде

cos (я’ х) + 4

cos (П’ У)

 

 

 

 

 

 

4 ДаГ" cos (п’

+

4

cos ("»

У) =

е+ н | г - О -267)

где

е+ = Y t8+ cos (я,

x)f +

[ 4 cos (n,

г/)]2;

v — направле-

ние

 

 

-*

-► e+ cos (n, x)

cos (n,y)

единичного вектора v =

i ---------;p---------(- / —— — ,

которое для уравнения (1.196) играет ту же роль, что на­ правление нормали п для уравнения Лапласа [см. соотно­ шения (1.200), (1.211) и (1.212)]. Поэтому в общей теории уравнений эллиптического типа [56] v называется конормалью.

Симметрия краевых условий (1.259) и (1.260) возникла потому, что в плоском поле наряду с потенциалом можно

95

ввести сопряженную с ним функцию потока (чего, к сожа­ лению, не удается сделать в трехмерном поле). Это и позво­

ляет разыскивать ф~ и ср+ в виде однотипных интегральных представлений и получать систему уравнений 2-го рода.

Изложенная в настоящем параграфе теория автомати­ чески переносится на случай, когда в пространстве имеются несколько областей, заполненных однородной анизотроп­ ной средой.

Глава II

РАСЧЕТ МАГНИТОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

В ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ

ИНЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ

1.ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

РАСЧЕТА МАГНИТОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Под магнитостатическим полем в последующем будем понимать поле, созданное стационарными токами в про­ водниках и намагниченностью находящихся в пространстве ферромагнетиков. Магнитостатические поля в ферромаг­ нитных средах рассчитывают при решении самых разно­ образных задач современной электротехники:

а) при исследовании электромагнитных процессов в элек­ трических машинах и аппаратах;

б) при расчете магнитных систем ускорителей элемен­ тарных частиц;

в) при создании новых магнитных элементов и устройств автоматики и вычислительной техники;

г) при расчете ферромагнитных экранов мощных силь­ ноточных устройств;

д) при разработке магнитных систем для фокусировки потоков заряженных частиц в устройствах радиоэлектро­ ники и т. д.

Разнообразие и сложность геометрических форм ферро­ магнитных деталей современного электротехнического обо­ рудования, увеличение электромагнитных нагрузок и свя­ занная с этим необходимость учета нелинейных свойств ферромагнитной среды, а также все более жесткие требо­ вания, предъявляемые практикой к точности электромаг­

96

нитных расчетов, с одной стороны, указывают на беспер­ спективность использования аналитических методов для расчета сложных электромагнитных полей, с другой, под­ черкивают актуальность разработки универсальных чис­ ленных алгоритмов расчета полей, ориентированных на при­ менение ЭЦВМ.

Для расчета магнитостатических полей используем метод вторичных источников, основные положения которого изложены в гл. I. Между электростатическими и магнито­ статическими полями существует глубокая аналогия. Это позволит применять многие полученные ранее результаты, что сделает изложение более компактным.

Магнитостатическое поле возбуждают неизменные во вре­ мени электрические токи. Поэтому, полагая в полной систе­ ме уравнений электромагнитного поля все производные по времени равными нулю, получаем следующие соотноше­ ния:

rot Я =

б;

(2.1)

divB =

0,

(2.2)

где Я — вектор магнитной напряженности; В — вектор

магнитной индукции; б — плотность электрического тока. Уравнения (2.1) и (2.2) необходимо дополнить уравне­

нием материальности, связывающим векторы В и Я. Наи­ более простой вид это уравнение имеет для воздушной сре­ ды, где можно принять

В = р0Я.

(2.3)

Для ферромагнитной среды уравнение связи В и Я за­ пишем в виде

В — P-о (^ Н~ •О»

(2.4)

где 7 — вектор намагниченности, который характеризует способность ферромагнитной среды возбуждаться (на­ магничиваться) под действием внешнего магнитного поля и создавать свое дополнительное и даже самостоятельное (в случае остаточной намагниченности) поле.

Используя соотношение (2.4), можно решить уравнения (2.1) и (2.2) только в том случае, когда известен вектор 7

как функция координат. Но 7 обычно является сложной (почти всегда неоднозначной) функцией напряженности

7 4-691

97

Н. Поэтому для решения уравнений (2.1) и (2.2) необходи­

мо задать уравнение связи между J и Н.

В общем случае ферромагнитной среды уравнение свя­

зи / = / (Я) носит чрезвычайно сложный, еще далеко до кон­ ца не изученный характер. Поэтому при расчете поля обычно принимают некоторые упрощающие допущения, при­ ближенно аппроксимирующие реальные свойства ферро­ магнитной среды, наиболее распространенными из которых являются предположения об изотропности и линейности фер­ ромагнитной среды, что приводит к следующему уравнению материальности:

В — |хН (J = хЯ), (2.5)

где р и х — магнитные проницаемость и восприимчивость ферромагнетика, которые в пределах данного тела считают­ ся постоянными, не зависящими от координат точки вели­ чинами.

Уравнение (2.5) наиболее близко описывает свойства магнитомягких материалов при небольших значениях на­ пряженности поля.

Следующим шагом в направлении более полного учета свойств ферромагнитной среды является допущение, что проницаемость р в выражении (2.5) есть функция координат р = / {х, у, z), т. е. что ферромагнитная среда является изо­ тропной и неоднородной. Неоднородность магнитной про­ ницаемости ферромагнитных тел почти всегда наблюдается у их поверхности, как остаточное явление после механи­ ческой или термической обработки. Но достоверные коли­ чественные сведения о характере этой неоднородности, т. е. о зависимости р = f (х, у , г), обычно отсутствуют. Поэтому случай объемно-неоднородной магнитной среды чаще всего возникает как результат расчетной идеализации при по­ пытке учета нелинейных свойств среды методом последо-. вательных приближений. Следующим по сложности допу­ щением является предположение, что среда является нели­ нейной (безгистерезисной) и изотропной, т. е.

Б = р ( | Я | ) Я ,

(2.6)

где зависимость р(|Я|) обычно определяют из эксперимента на тороидах.

В тех случаях, когда необходимо учитывать анизотропию ферромагнитной среды, вводят тензор магнитной проница-

98

емости \1 ц и записывают соотношение (2.5) в виде

 

В = циН.

 

 

(2.7)

При рассмотрении однородной анизотропной

среды

декартову систему

координат

можно

выбрать

так, чтобы

ее оси совпали с

главными

осями

тензора

р^/,

а сам

тензор можно записать в виде диагональной матрицы р,у =

величины р*, у, р2 постоянны и не

зависят от координат х, у и г вследствие однородности анизотропной среды.

Наиболее сложным, но в то же время наиболее близким к действительности является случай гистерезисной среды, когда магнитная проницаемость (если вообще такую ха­ рактеристику в этом случае можно ввести) является нелиней­

ной многозначной функцией напряженности Я, зависящей от предыстории процесса намагничивания, а векторы В

и Я, как правило, не совпадают в пространстве по направ­ лению и угол между ними изменяется от точки к точке. В этом случае не совсем ясно, в каком виде (даже качествен­ но, а не только количественно) представлять уравнение

связи между В и Я, чтобы это уравнение можно было ис­ пользовать для расчета поля. Неизвестно, какие экспери­ менты помогут извлечь информацию о свойствах ферро­ магнитной среды, одновременно минимальную и достаточ­ ную для расчета магнитного поля. Информация о свойствах ферромагнитной среды, которая доставляется семейством петель гистерезиса (симметричных и несимметричных), получаемых в результате эксперимента на замкнутых тороидах, часто достаточна для расчета электрических цепей с ферромагнитными сердечниками, так как поле в большей части объема сердечников можно считать однонаправленным и в этом смысле идентичным полю в экспериментальных тороидах. Однако эта информация совершенно недостаточна для расчета магнитных полей в телах сложной формы, где направление векторов поля резко меняется от точки к точ­ ке. Поэтому возникает необходимость построения моделей гистерезисной среды, которые позволили бы приблизиться к этому необычайно сложному и пока расчетно недоступ­ ному явлению. При построении моделей гистерезисной среды

т

99

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ