Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 337 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

•60				Глава 3
где P(t)	удовлетворяет	условию
	P(t + \) =	0(t	+	\;t)P(t)0T(t+\;t)			+	R1	(3.7)
с начальным условием
Если матрицы Ф и Ri			Р (to) = Ro-						(3.8)
Если матрицы Ф и Ri			постоянны, то из условий					(3.7)	и (3.8)
следует, что
	Р (t) =-- ф'/?0 ( Ф Т У +					t—\
	Р (t) =-- ф'/?0 ( Ф Т У +					Е Ф ^ х (Ф Г ) 5 .			(3.9)
Если	все собственные		значения			матрицы	Ф строго		меньше
•единицы, то ряд в выражении					(3.9) сходится		и существует предел
			Px	=	limP(t).				(3.10)

Перейдя к пределу в уравнении (3.7), найдем, что Я» удовлет воряет следующему уравнению:

Р„ = ФР„ФТ + R,.

Таким образом, для линейных стохастических разностных урав нений условные распределения будущих состояний при задан ном x(t) нормальны. Средние значения и ковариации распреде ления легко вычисляют при помощи рекуррентных уравнений.

Упражнения

1. Динамическая система описывается разностным урав нением

	v	'	V—sinh		cosh/	w '
тде /г=зт/4т. Начальное состояние				x(0) нормально			со средним
значением
		Ех{0)
и ковариационной	функцией
	cov	[(0),(0)]
Определить наименьшее значение				i*,	такое,	что компоненты х\
и х2 независимы	при	t=t*.	Найти	распределение			x(t*).

2. Управление динамической системой осуществляется сто хастическим разностным уравнением

	Стохастические	модели	достояния		61
x(t+l)	= ( 1 , 5	1 \x(t)	+	(l'°)e(t),
где (е(^), teT}—последовательность			независимых		нормальных

случайных величин с параметрами (0, 1). Найти ковариацию распределения для устойчивого состояния.

3. Случайный процесс определяется разностным					стохасти
ческим уравнением
	x(t+l)	= ax(t) + e(t),	М < 1 ,
где {e(t),	teT}—последовательность		независимых нормальных
случайных	величин	с параметрами (0, а).		Начальное	состояние
JC(I?Q) нормально с параметрами (0, ст0). а переменные					{e(t), teT}
независимы от x(t0).		Найти дисперсию x(t)		и предел	дисперсии

при ^->-оо или при tQ-+oo. Показать, что если а0 выбрана так, что

<Jo =	lim P(t)	и если множество		Г = { ^ 0 , £i +		l , . . . } ,	то	процесс
{x{t),	teT} стационарен.		Найти	ковариационную			функцию		и
спектральную		плотность	для данного		стационарного процесса.
4. Рассмотреть стационарный				случайный		процесс,		который
удовлетворяет		стохастическому		разностному		уравнению
		x(t+l)	= Ox(t) +		e(t),
где	{e(t),teT}—последовательность				независимых		одинаково
распределенных векторов			с нулевыми		средними значениями				и

ковариационной матрицей Ri. Пусть характеристический много член для Ф имеет вид

det	[W — Ф] =Хп + ах\п-1 + • •.	+ая.
Показать, что	ковариационная функция	r(t) произвольной

линейной комбинации компонент состояния удовлетворяет соот ношению

г (t) + atr (t — 1)+ • • • +anr (t — n) = 0, t> n.

4.СИСТЕМЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ. ВРЕМЕНЕМ

Вэтом разделе мы рассмотрим системы с непрерывным вре менем. Так же, как и для систем с дискретным временем, попы таемся построить модель состояния прибавлением случайной помехи к обыкновенному дифференциальному уравнению. По следовательное проведение этой аналогии встречает ряд труд ностей. Для их преодоления мы введем (пока только эвристиче ски) понятие стохастического дифференциального уравнения. Точное определение этих уравнений и их решение даны в по следующих разделах данной главы.

Глава 3

Неудачная модель

По аналогии с системами с дискретным временем (разд. 2) мы начнем с детерминированной модели состояния, описывае мой обыкновенным дифференциальным уравнением

	(4.1)
которое означает, что скорость изменения	состояния однознач
но определяется его текущим значением.	Для получения стоха

стической модели состояния мы предположим, что вероятност

ное распределение случайной	величины dx/dt однозначно опре
деляется временем и текущим		значением вектора		состояния.
Следовательно,
-^- = f(x,t)		+	v(x,t),	(4.2)
где {v(x, t), teT}—случайный		процесс с нулевым		математиче
ским ожиданием. Последнее	условие		не ограничивает общности
рассуждений и всегда может	быть		выполнено за	счет выбора

функции f. Теперь остается определить соответствующие свойст ва случайного процесса {v(x, t), teT}. Чтобы уравнение (4.2) было моделью состояния, необходимо потребовать независимо


сти v(x, t) и v (у, в)для любого хну		при t¥*s,		в противном		слу
чае вероятностное распределение dx/dt			будет	зависеть не толь
ко от текущего состояния, но и от его предыстории. Чтобы						урав
нение	(4.2) имело смысл, необходимо	наложить условие				регу
лярности. Если пользоваться среднеквадратической					нормой, то
естественно потребовать, чтобы случайная величина dx/dt						обла
дала	конечной дисперсией, т. е. чтобы		случайная		величина v
имела	конечную дисперсию. Необходимо также наложить некото

рые условия непрерывности, например чтобы v была непрерыв на в среднеквадратическом. Проанализируем структуру случай ного процесса, обладающего этими свойствами.

Теорема 4.1. Пусть {v(t), teT}—-непрерывный случайный процесс с конечной дисперсией, обладающий следующими свой

ствами:
1. v (t)		и v(s)	независимы при		t=£s.
2.	v(t)	непрерывен в среднеквадратическом для					всех 2 еТ и
имеет	конечную		дисперсию.
3. Ev (t)		= 0 .
Тогда £ о 2 ( 0 = 0 .				Так как процесс {v(t),		teT}
Доказательство.1							непрерывен,
то для него можно				определить	интеграл в	среднеквадратиче-

ском

(4.3)

Стохастические модели состояния

Отсюда следует, что

Ей (t) =E^v (s) ds = j Ev (s) ds = 0.

о0

Второе равенство вытекает из теоремы 6.2 гл. 2. Далее имеем

Ей* (/) =	£ ( J о (s) ds)* = Е ( l i m £ v{t.)					[t.+l	-Ц)]2		=
	о
=	Е lim £	£ о	ft)	о (I,)	-	*,)	-	<,)	=
=	lira ц £	£о	ft)	* ft) ft+1	-	tt) (ti+l	-	t,)	=

=l i m £ £ ^ f t ) f t + 1 - ^ ,

где ( 0 = £ o i

*ь—, tN.=

t)—разбиение

интервала ;(0, i ) . Последнее

равенство

следует

из свойства

J. Так

как

{v(t)}

имеет

ограни

ченную дисперсию, то Ev2^.c.

Пусть теперь max

(t{+i—£,) стре

мится к нулю таким образом, что max

—1{) ^.a/N.

Тогда

Ей2

(() == lim £t>*

ft) ft+1

— /,)2 <Шп

с {jrfN

= °>

откуда Eu2(t)

—0.

Из

уравнения

(4.3)

вытекает, что

средний

квадрат производной существует, поэтому

E*=El-^)'

E lim lim " ( ' + *>-"(*> " « + * > - » № =

\ dt I

л-о fc->-o Л

= lim lim —

Е [u(t

+ h) — и (ft]

[и (* + Jfe) — и (Л]

= 0 ,

где последнее

равенство

следует

из

неравенства

Шварца

| Ей (Л u (s) |а <

£ и 2 (s) Ей2

(t) = 0.

Сравним этот результат с формулой (4.5) гл. 2. Получим, что v(t) равно нулю в среднеквадратическом, и теорема доказана.

Обсудим следствия этой теоремы, относящиеся к рассматри ваемой модели '(4.2). Так как процесс {v(x, t), teT} равен нулю в среднеквадратическом, то его можно не учитывать при реше нии уравнения (4.2). Проинтегрировав предложенную стохасти ческую модель состояния и сравнив ее с детерминированной моделью-(4.1), найдем, что решения совпадают в среднеквадра тическом. Таким образом, попытка построить стохастическую модель состояния с желаемыми свойствами оказалась не удачной.

Для получения корректной стохастической модели состояния системы с непрерывным временем необходимо изменить требо-

64	Глава	3
вания, предъявляемые	к процессу	{и(t), teT}. Кроме предполо

жения о нулевом среднем, которое несущественно, остаются два условия:

1. v(s) и v(t) независимы

2. v имеет конечную дисперсию.

Тогда, чтобы получить модель состояния, условие 2 необходимо ослабить. Это естественно приводит к вопросу о справедливости

уравнения	(4.2), так как, если v не имеет конечной дисперсии,
то и dx/dt	не имеет конечной дисперсии. Следовательно, при по

строении стохастической модели состояния мы не можем ожи дать существования процесса dx/dt.

Продолжение анализа

Таким образом, первая попытка построить стохастическую модель состояния для систем с непрерывным временем не уда лась. Предпримем следующую попытку. Сначала заметим, что обыкновенное дифференциальное уравнение можно получить с помощью предельного перехода. Начав с разностного урав нения

	x(t±h)	— x (0 = /(*,/) Л + о (ft),						(4.4)
получим выражение (4.1),			разделив на Л и перейдя к				пределу
при h-*-oo. Так	как соотношение (4.4) является разностным
уравнением, то	можно	легко получить стохастическое					разност
ное уравнение, добавив		помеху к		правой	части. Пусть			{v(t),
teT}—случайный	процесс с независимыми приращениями. Рас
смотрим модель
x(t +	h) — x (t) = f (х, t)h +			v (х, t) — v(t)		+ o (ft).		(4.5)
Так как {u(t),	teT}—процесс		с независимыми			приращениями,
то модель (4.5)	является, очевидно, моделью				состояния для			всех

/г. По аналогии с предыдущим предположим, что условное рас

пределение v(t-\-h)—v(t)			при	заданном			x,(t)	нормально,	по
этому
v(t + h) — v(t)			= a{x,t)		[w(t	+	h) — w(t)},		(4.6)
где {w(t), teT}—винеровский				процесс		с единичной дисперсией.
Таким образом,	получим		следующую			стохастическую модель
состояния:
х (t - f Л) — х (t) = f(x,t)h			+ <s (x, t) [w(t			+	h) — w (t)} + о (ft).		(4.7)
Имеем
E	[x(t	+ h) — x{t)\		=f(x,f)h			+ o(ft),		(4.8)
var	[x(t	+ ft) — x(t)]		=	a2 (x,t)E[w(t			+ h) — w(/)]2	+
		+ о (ft) =			fta2 (x, t) + o (ft).				(4.9)

Стохастические модели	состояния	65
Заметим, что дисперсия приращения	пропорциональна	h, а не
/г2. Таким образом, мы не можем разделить уравнение		(4.7) на
h, допустив, что А.->-0, так как производная винеровского про
цесса не существует (см. также разд. 6 гл. 2). Однако		мы мо

жем формально допустить, что h стремится к нулю в уравнении (4.7), и тогда получим следующее выражение:

			dx = f(x,t)dt + o (х, t) dw,			(4.10)
которое называется			стохастическим		дифференциальным	уравне
нием.	Модель	(4.7)	означает, что приращение переменной состо
яния	представляет		собой сумму двух членов. Первый член —
детерминированный			и равен	произведению функции		состояния
на временное		приращение.		Второй	член — стохастический и

равен произведению функции состояния на приращение винеров ского процесса.

Стохастическое дифференциальное уравнение называется линейным, если функция / линейна по х и если а не зависит от х. Это уравнение можно легко написать в векторной форме

dx = Axdt + dv,	(4.11)
где х—n-мерный вектор, {v(t), teT} — д-мерный	винеровский
процесс с ковариацией приращений R\dt. Элементы	матриц А и

Ri могут быть непрерывными функциями времени. Заметим, что в уравнении (4.10) Е (dw)=dt. Это означает, что dw имеет раз мерность У<И в среднеквадратической метрике, поэтому сле дует соблюдать осторожность при формальных преобразованиях

выражений, включающих			dw.
Отметим		также, что	если	принять	понятие		белого шума е
непрерывным		временем, то уравнение			(4.10)	можно представить
в следующем виде:
		=	f{x,t)	+ a(x,t)e(t),				(4.12)
		at
где {e(t),	t еТ} —белый шум с непрерывным					временем.
При	сравнении уравнения (4.12). с тем, что говорилось							в на
чале этого раздела, обнаруживаем, что если							мы хотим	полу

чить нетривиальную стохастическую модель состояния добавле нием помехи к правой части обыкновенного дифференциального уравнения, то помеха не должна иметь конечную дисперсию и должна быть подобна белому шуму.

Используя понятие стохастического дифференциального уравнения, можно придать точный смысл дифференциальному уравнению, в которое входит белый шум. Следует отметить, что формальные преобразования уравнения (4.12) могут легко при вести к неправильным результатам.

5—403

Глава 3

Прежде чем приступать к изложению следующего материа ла, рассмотрим кратко использование стохастического диффе ренциального уравнения как модели физических процессов. Про изводная dxjdt в уравнении (4.10) не существует в обычном смысле, поэтому использование уравнения (4.10) как модели физического процесса выглядит странным. Однако имеется мно го практических задач как в управлении, так и в теории связи, где предпочтительно не иметь дела с производными некоторых сигналов. Поэтому моделирование таких сигналов стохастиче скими дифференциальными уравнениями допустимо.

Обратные разности

Необходимо соблюдать осторожность при интерпретации стохастического дифференциального уравнения (4.10) как пре дела в среднеквадратическом разностного уравнения. Выше уравнение (4.10) рассмотрено как предел выражения

х {t + h) — х (t) = f (x (t), t)h + a(x (t), i) [w{t + h) — w (t)] + о (A). (4.13)

Однако мы получим совсем другие результаты, если рассматри

вать уравнение		(4.10) как предел выражения
х{t)	— x{t		— h) = f (х(/),t)h + a(x(t),t) [w(t) —
			— w(t — h)]+o(h)	(4.14)
(даже, если	/	и а	непрерывны). Для доказательства	вычислим

первые два момента приращения процесса (4.14) в случае, когда функция f непрерывно дифференцируема и функция а дважды

непрерывно дифференцируема. Разность {w(t)—w,{t—К)}

не за

висит

от x(t—К),

но зависит

от x(t). Разложим правую

часть

выражения (4.14) в ряд Тэйлора

в окрестности точки

{x(t—h),

t—h)

и получим

x(t)

— x(t—h)

= f (х(t — h),t

— h)h + o(x{t

— h),t — h) [w(() —

— w (t — h)\ - f

ax (x (t — h),t — h) [w (t) —

— w(t — h)] [xif) — x(t — h)} +o{h).

(4.15)

Третий член в правой

части

появляется

потому, что

как

\x{t)—x(t—h)],

так и

[w{t)—w(t—h)]

имеют

порядок \fh

среднеквадратической

метрике.

Так как только член a [w(t)—w(t—h)\

в правой

части вы

ражения

(4.14) имеет порядок

~/h , то

x(t)

— x(t — h) = f(x(t

— h),t

— h)h

+ o{x(t—h),t

— h),

[w(t) — w(t~h)]

+ ax(x(t

— h),t — h)a(x(t

— h),t — h)[w(t)

—

—w(t — h)]2+o(h).

Стохастические модели состояния

Перейдя к математическому ожиданию, получим

Е [x{t) — x(l — h)} = /{x(t — h),t — h)h + ax{x(t — h),

t — h)a (x (t — h),t — h)h-ho	(h),	(4.16)
var [x(t) — x{t — h)]= a2 (x(t	— h),t — h)h + o(h).	(4.17)

Сравнение выражений (4.8) и (4.16) показывает, что среднее приращение процесса зависит от типа используемой разности

E d x	f / ( * . ' ) Л	(прямая	разность),^ { ^
	\ f (х, t) dt +	ах {х, t) а (х, t) dt (обратная	разность).

Если использовать смешанную разность

Ах(()	=	(1 —X) [х(t + h) — х (t)\ + X [х(t) — х (t — h)},	(4.19)
TO
Edx	=	/ (x, t) dt + Xax (x, f) a (x, t) dt.	(4.20)
Аналогично можно найти дисперсию приращения
		var(dx) = c2(x,t)dt.	(4.21)

Хотя полученные результаты сходны, очень важно при опре делении стохастического дифференциала учитывать тип исполь зуемой разности. В эвристическом доказательстве, которое при вело к стохастическому дифференциальному уравнению, мы фак тически ввели f(x, t)h как среднее значение приращения. Для


сохранения этого интуитивного представления мы					должны ин
терпретировать	стохастическое	дифференциальное			уравнение
как предел прямого разностного уравнения типа				(4.13).
Уточним эвристическую мотивировку			стохастического диф
ференциального	уравнения. Используя		теорию	обыкновенных
дифференциальных уравнений,		можно получить		желаемый ре

зультат по крайней мере двумя разными способами: либо пере ходом к пределу в разностном уравнении, либо преобразовани ем дифференциального уравнения в интегральное, которое мож но решить методом последовательных приближений. При этом можно попытаться определить уравнение (4.10) как предел раз

ностного уравнения	или доказать	существование	и	единствен
ность решения интегрального уравнения
	t	t
х{t) = х{t0)+	§f(x(s),s)ds+^o(x(s),s)dw		(s).	(4.22)
	и	и

Первый метод был использован Бернштейном, Леви и Гихманом. Интегральное уравнение изучалось Ито. Для решения уравнения (4.22) необходимо сначала придать точный смысл ин тегралам в правой части уравнения. Это сделано в следующих разделах.

68	Глава		3
Упражнения
1. Пусть {w(t),	teT} — винеровский процесс с единичным па
раметром дисперсии и
	Aw (t) =w{t	+	h)~w	(t).
Показать, что
	h			— w [t.)]2 = h
	j' {dwf = lim	E	[w (t.+l)	— w [t.)]2 = h
	6

свероятностью 1.

5.СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ

Впредыдущем разделе введен интеграл типа

	mt)dy(t),	(5.1)
где {y{t), teT}—процесс	с независимыми нормальными	при

ращениями. Этот интеграл необходим для придания точного


смысла стохастическому					дифференциальному			уравнению.
В частных			случаях	у	может быть		винеровским		процессом.
Такой процесс			непрерывен			с вероятностью 1, однако			почти все
выборочные функции				имеют неограниченную				вариацию. Инте
грал	(5.1)	нельзя интерпретировать как обычный интеграл Стиль-
тьеса.	В	этом	разделе		мы	подойдем	к определению		интеграла

(5.1), а также рассмотрим некоторые его свойства, которые пред ставляют интерес для задач управления и моделирования. Мно гие результаты приведены без доказательства. Более подробно

эти вопросы	освещены в работе [11] (раздел 11 данной главы).
Сначала	рассмотрим	случай,		когда / — детерминированная
функция, а	затем случай,	когда		/ — случайный	процесс. В	пос
леднем случае интеграл		(5.1)	имеет некоторые		свойства,	кото
рые существенно отличаются			от	свойств интеграла Стильтьеса.

Интеграл от детерминированной функции

Если / — детерминированная функция, то существует по крайней мере два способа определения интеграла (5.1). Если f —- достаточно гладкая функция, то интеграл можно определить следующим образом:

\ f (0 dy (0 = / ф) y(b)-f	(а) у (а) - j у (t) df (t).	(5.2)
О	а

Так как выборочные функции процесса {y(t),	t еТ} непрерывны
с вероятностью 1, то интеграл в правой части	существует почти

Стохастические модели состояния

для всех выборочных функций, если f имеет ограниченную вари ацию.

Особенность такого определения интеграла	состоит		в том,
что его можно интерпретировать как интеграл	от	выборочных
функций. Однако это определение нельзя обобщить		на	случай,

когда / — случайный процесс (например, винеровский процесс). Это определение также не сохраняет интуитивного представле ния о том, что интеграл является пределом сумм независимых случайных величин.

Поэтому дадим другое определение интеграла (5.1), исполь зуя обычные методы интегрального исчисления. Сначала опре

делим интеграл для

случая, когда / — кусочно постоянные

функ

ции, а затем распространим это определение

на

более

общий

класс

функций. Предположим,

что f — постоянна

интервалах

[ti, ti+i]. Тогда

интеграл

(5.1)

можно определить

следующим

образом:

/ =

| / (0 dy ft) = £

(т.) [у (t[+l)

у (t.)],

(5.3)

где ^<лгг<С^-н. Интеграл обладает свойством

= £

f (т,) Е \у

ft,+1)

у ft,)] =

j f f t )

dmy

ft),

(5.4)

где

my(t)

Ey(t).

(5.5)

Это следует из теоремы 6.2 гл. 2.

Далее имеем

var / =

var 2

f (т,-) [у (tt+l -

у «,)]

2 2 /

f N

cov {[у [ti+l)~

у (tt)],

[у

у (/,)]} =

= 2 / , К ) [ г ( / | + 1 ) - г ( / | ) ]

= j f ( x ) d r ( T ) .

(5.6)

Пусть теперь функция / является пределом последовательно сти кусочно постоянных функций {fn}, т. е.

m a x [ j ( / „ - / ) 2 d r , j | f „ - / r > 7 2 J - > 0 .

Интеграл от функции / можно получить, используя обычный метод обобщения. Таким образом, интеграл от функции / опре деляется следующим образом:

/ = lim $fn(t)dy(l),

(5.7)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 337 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
22.10.202312.76 Mб19Основы теории полета и элементы проектирования искусственных спутников Земли..pdf
#
22.10.202312.8 Mб27Основы теплотехники и гидрогазодинамики учеб. пособие.pdf
#
22.10.202315.81 Mб9Основы технической эксплуатации ЭЦВМ..pdf
#
19.10.20237.26 Mб4Особенности вскрытия, испытания и опробования трещинных коллекторов нефти..pdf
#
29.10.20235.26 Mб74Остапов Г.К. Логарифмы.pdf
#
24.10.202310.97 Mб35Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления.pdf
#
29.10.20231.86 Mб6Островский Я.М. Борьба с пробкообразованием в нефтяных скважинах на месторождениях Туркмении.pdf
#
29.10.20234.68 Mб11Остроумов Г.Н. Приручение Солнца [очерки].pdf
#
27.10.202320.12 Mб3Отделка сортового проката..pdf
#
29.10.202311.55 Mб4Отепление шахтных стволов М. М. Шемаханов. 1960- 11 Мб.pdf
#
19.10.20236.57 Mб3Отраслевая экономика народного хозяйства Удмуртской АССР [сборник статей]..pdf