книги из ГПНТБ / Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления

50 Глава 2

Найдем

Следовательно, смешанная вторая производная не существу­ ет. Согласно теореме 6.4, винеровский процесс недифференциру­ ем. Однако формально можно вычислить

dsdt

где б(/") есть б-функция Дирака. Таким образом, формальна найдено, что производная винеровского процесса есть белый шум.

Винеровский процесс был введен как математическая модель броуновского движения частицы, и поэтому может казаться странным, что винеровский процесс не имеет производной. Это' означает, согласно физической интерпретации, что невозможно' найти скорость броуновской частицы. Чтобы обойти эту труд­ ность, рассмотрим процедуру получения данной модели. Урав­ нение движения частицы, погруженной в жидкость, имеет вид

тал, что т = 0 , т. е. он пренебрегал весом частицы по сравнению- с силами вязкости. Тогда уравнение движения принимало вид.

D^-=F. dt

При постоянной силе пренебрежение массой означает, что ча­ стица приобретает постоянную скорость мгновенно. Обращаясь- к идеализированной теории удара, можно вычислить только из­ менение импульса вследствие толчка и нельзя проанализировать детально изменение скорости во время удара. Если предполо­ жить теперь, что интервал времени между ударами бесконечно мал, то окажется естественной невозможность определения ско­ рости частицы.

разбиение [а, Ь]. Рассмотрим сумму

На элементарном уровне теория случайных процессов изло­ жена в работах [2—4]. В работах [5—7] изложение основ тео­ рии случайных процессов дано на значительно более высоком уровне; кроме того, работа [6] является хорошим справочни­ ком, в котором подчеркиваются особенно теоретико-вероятност­ ные аспекты. Легко читается оригинальная работа по теореме Колмогорова [8].

В работе [9] описан способ преодоления трудностей, обсуж­ даемых в гл. 2, и введено понятие непрерывности выборочных функций с вероятностью 1.

Известно также много работ, в которых обсуждаются стоха­ стические процессы различных видов, например работы [10—13-].

1.Karlin S., A First Course in Stochastic Processes, Academic Press, 1966. Русский перевод: Карлин С, Основы теории случайных процессов, изд-во «Мир», 1971.

2.Сох D. R., Miller Н. D., The Theory of Stochastic Processes, Methuen, Lon­ don, 1965.

5.Гихман И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, изд-во «Наука», 1965.

6.Doob J. L., Stochastic Processes, Wiley, New York, 1953. Русский перевод- . Дуб Дж. Л., Вероятностные процессы, ИЛ. 1956.

7.Loeve М., Probability Theory, Van Nostrand, Princeton, New Jersey, 1963. Русский перевод: Лоэв M., Теория вероятностей, ИЛ, 1962.

8. Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, ОНТИ, 1936.

9.Cramef Н., Leadbetter М. R., Stationary and Related Stochastic Processes, Wiley, New York, 1967. Русский перевод: Г. Крамер, М. Линдбеттер, Ста­ ционарные случайные процессы, ИЛ, 1962.

10. Яглом А. М., Введение в теорию стационарных случайных функций, УМН, 7, № 5 (1955).

11.Bharucha-Reid А. Т., Elements of the Theory of Markov Processes and Their Applications, McGraw-Hill, New York, 1960.

12.По К., McKean H. P., Diffusion Processes and Their Sample Paths, Sprirc- ger-Verlag, Berlin, 1965. Русский перевод: Ито К., Маккии Г., Диффузион­ ные процессы и их траектории, изд-во «Мир», 1968.

13.Levy P., Processus Stochastiques et Mouvement Brownian, Gautier-Villars, Paris, 1948. Русский перевод: Леви П., Стохастические процессы и броу­ новское движение, изд-во «Мир», 1972.

Г л а в а 3

СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ

вопрос о том, как понятие состояния можно перенести на стоха­

модель состояния добавлением помехи к правому члену обыкно­ венного дифференциального уравнения. В данном случае помехи можно представить последовательностью независимых случай­ ных величин.

Случай систем с непрерывным временем (разд. 4) более сло­ жен. Сначала обсуждается эвристический подход. Прямая по­ пытка обобщить результаты, полученные для системы с дискрет­ ным временем добавлением помехи к правому члену обыкновен­ ного дифференциального уравнения, не приводит к успеху. Дело в том, что непрерывный случайный процесс, такой, что x(t) и -x(s) независимы при t^s, равен нулю в среднеквадратическом. Поэтому добавление помехи такого типа к обыкновенному диффе­ ренциальному уравнению не дает эффекта. Для преодоления этих трудностей естественно ввести понятие стохастического

.дифференциального уравнения. В разд. 5—8 разработаны мето­ ды, необходимые для решения стохастических дифференциаль­ ных уравнений. Дано точное определение таких уравнений и по­ казано, как их интерпретировать и использовать. Моделирова­ ние физических процессов с помощью стохастических моделей -состояния описано в разд. 9. В разд. 10 рассмотрена аппрокси­ мация стохастического дифференциального уравнения разност­ ным уравнением.

2.СИСТЕМЫ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Воснове понятия состояния лежат причинно-следственные -отношения классической механики. Например, движение систе-

.мы частиц однозначно определяется действующими силами,

нуто начальное положение. Интуитивно состояние можно пред­ ставить как минимальное количество информации о предысто­ рии системы, которое необходимо для предсказания движения системы в будущем. Для детерминированной системы свободноедвижение в будущем однозначно определяется значением ее со­ стояния в настоящем.

Естественно, нельзя требовать, чтобы движение стохастиче­ ской системы в будущем определялось однозначно ее состояни­ ем х в настоящем. Для обобщения понятия состояния на стохас­ тические системы потребуем, чтобы вероятностные распределе­ ния переменной состояния х в будущем определялись бы одно­ значно значением ее состояния в настоящем. Потребуем также, \ ' 1

В этом случае множество индексов Т будет представлять собой-

где х есть n-мерный вектор состояния, a t — время. Таким обра­ зом, движение системы в будущем однозначно определяется* значением х в момент времени t и не зависит от предыстории x(t).

Теперь выясним, каким образом модель (2.1) может быть, представлена как стохастическая модель состояния. Для этогопредположим, что лг(^-|-1) не определяется однозначно x(t), как в уравнении (2.1), а что x(t-\-l) —случайная величина, которая зависит от x(t) и t. Тогда можем написать

модель состояния, необходимо потребовать, чтобы условное ве­ роятностное распределение x(t-{-\) при заданном x(t) не зави­ село от прошлых значений х. Отсюда следует, что условное рас­

зависимых одинаково распределенных случайных величин с па­

Заметим, что нетрудно повторить аналогичные выкладки для •случая, когда х есть n-мерный вектор. Тогда получим уравнение 1,2.5), где х—n-мерный вектор, а {e(t), t еТ}—последователь­ ность независимых одинаково распределенных гауссовых слу­ чайных векторов с нулевыми средними значениями и ковариаци­ онной матрицей ^о-

Уравнение (2.5) можно также записать следующим образом:

векторов с нулевыми средними значениями и ковариационными

Таким образом, для систем с дискретным временем стохасти­ ческую модель состояния можно представить стохастическим разностным уравнением. В линейном случае уравнение (2.6) приводит к линейному разностному уравнению, в котором вы­ нуждающей функцией является белый шум с дискретным вре­ менем.

Уравнение (2.7) представляет большой интерес, так как из него легко получить процесс авторегрессии

* i (0 + а Л (t - 1) + • • • +апхх (t -п) = е (0

Обыкновенное разностное уравнение решено, если известны, значения х для всех t. Так как обыкновенное разностное уравне­ ние рекуррентно определяет каждое x(t) через предыдущие зна­ чения, то разностное уравнение можно рассматривать как алго­ ритм для получения решения. Аналогично будем считать, что разностное стохастическое уравнение решено, если известно сов­ местное вероятностное распределение значений состояний в про­ извольные моменты времени.

Рассмотрим, например, разностное вероятностное распреде­

тельных значений переменных состояния может быть записана в. виде

решением стохастического разностного уравнения является мар­ ковский процесс. В общем случае выполнение приведенных вы­ числений далеко не тривиально. Ограничимся рассмотрением ли­ нейных нормальных систем, так как в этом случае можно легко выполнить все вычисления аналитически.

Линейные уравнения

Рассмотрим линейное нормальное стохастическое разностное уравнение

•ф—/гХ«-матрица с изменяющимися 'во времени элементами. Векторы e(t) и e(s), следовательно, независимы, если 1ФБ. Векторы e(t) \ix(t) также независимы.

Нормальное распределение &{t) определяется моментами первого и второго порядка

так как значения х в каждый момент времени являются линей­ ными комбинациями нормальных переменных. Таким образом, стохастический процесс можно полностью охарактеризовать ма­ тематическим ожиданием и ковариационной функцией, опреде­ ление которых дано ниже.

Среднее значение

Для определения среднего значения функции возьмем мате­ матическое ожидание от обеих частей уравнения (3.1) и по­ лучим

Таким образом, среднее значение функции задается линейным разностным уравнением (3.3) с начальным условием (3.4).

Ковариационная функция

Чтобы найти ковариационную функцию, предположим, что mQ равно нулю. Это предположение не ограничивает общности,

Сформулируем теорему 3.1, которая является итогом прове­ денных выше обсуждений.

Теорема 3.1. Решением нормального линейного стохастиче­ ского разностного уравнения является нормальный процесс со