книги из ГПНТБ / Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления

190

Глава

6

В(г) =

Ь0г" + Ь1г«-*

+ • • • + &„,

(4.10)

С (г) =

z"~c%zn~l

-\

hc„.

(4.11)

Без

потери общности можно

предположить, что все

полино­

нях всегда

можно положить

равными

нулю.

Полином C(z)

всегда можно

выбрать так, что

нули его

будут

лежать внутри

что дисперсия выходной

переменной имеет наименьшее значение.

Оптимальный закон управления называется стратегией

управ­

ления,

минимизирующей

дисперсию.

Решение

Для

решения

задачи

рассмотрим состояние

в момент

вре­

мени t.

Имеются

результаты измерений

y(t),

y(t—1),

... и

из­

вестны

все

предыдущие

управляющие

воздействия

u(t—1),

u(t-2),

... .

u(t), при котором

Задача

состоит в определении такого

дис­

уравнения (4.8)

следует,

что сигнал

управления u(t)

влияет на

y{t-\-k) и не влияет на

предыдущие

значения

выходной пере­

менной. Рассмотрим

y(t +

k)=

и (0 - f Л ^ ^ I f

е (t+k).

(4.12)

A

(q ')

A (q-1)

Стратегии управления,

минимизирующие

дисперсию

191

менных e(t-\-k), e(t-\-k—\),

e(t-\-\), e{t),

e(t—\),

... . Из

урав­

нения (4.8) следует, что e(t—1), ... могут

быть

вычислены по

шем

выражение (4.12), используя равенство

С* fa-') = A* (q~l) F* (с?-1) + q~k

G* (q-1),

(4.13)

где F и G — полиномы степеней k—-1 и п—1,

определяемые фор­

мулами (3.18) и (3.19).

(Сравнить

с выражением (3.20),

полученным

при решении

задачи упреждения.) Следовательно,

y{t +

k) =

KF4.q-4e(t

+ k) + £b-S-u(t)

.

e{t).

(4.14)

A

(q~l)

A

(q

')

Решая уравнение

(4.3)

относительно

Ke(t),

получим

к

е

( 0

=

^

C l

у (t) -

^ 2 = 1

q-* и (Q.

(4.15)

Исключая

e(t)

из

уравнения

(4.14)

с

помощью

выражения

(4.15), находим

y{t +

k) =

XF* (q-l)e(t

+ k)

+

A*(q-1)

'

A*(q-l)C'(q-l)\

u(t)

о'Ог1) У it).

С помощью равенства (4.13) второй

член

в

правой

части

можно преобразовать. В результате получим

y(t

+ k)

=

XF* (с?-1 ) е (t

+

k)

+

^

Л .

у

(/)

+

С-

(q~l)

с* (я-1)

'

(4.16)

Пусть теперь

u(t)—произвольная

функция

от y{t),

y(t—1), ...

и u{t—1),

u(t—2),

... . Тогда

Еу2

(t H • k) = E [IF* (с/-1) e (t + k)Y- +

G- Or1)y(t)

B* (q-')F*

(«Г1)

u(t)

(4.17)

L C* (q-1)

C'(q~l)

Смешанные произведения равны нулю, так как e(t-\-l),

e{t-\-2).

e(t-\-k)

не

зависят

от

y{t),

y(t—1),...

и

(t—2),...

. Следова­

тельно,

Ey*(t

+

k)>%*

[1 + / а

+

Л +

. . .

+

/ э _ ] ] ,

(4.18)

где равенство имеет место при

В* (с?-1) F* (с/-1) и (t) +

G* fa"1) у (0

=

0,

(4.19)

ны

в теореме

4.1.

Теорема

4.1. Рассмотрим

процесс,

описываемый

уравнением

А*

Or1)

У (t) = В* (с/-1) u(t-k)

+ ХС* (сг1)

е ((),

(4.8)

где

{e(t),

teT}—

последовательность

независимых

нормальных

с параметрами

(0, 1) случайных переменных. Пусть

все нули

полинома

C(z)

расположены

внутри

единичного

круга. Тогда

закон управления, минимизирующий дисперсию, имеет вид

5*

(a-1) F* fa-')

и it) = -

G* (a-1) y(f),

(4.19)

С* ( г 1 )

= Л* ( г 1 )

F* (о-1 ) +

<Г* G* (</-').

(4-13)

Ошибка управления

для оптимальной

системы

равна

скользя­

щему среднему порядка /г:

у (/) = XF* {q~l)e

(0 = К \е (/) + fx е (t -

1)

+

4---- +

/ й _ , в ( / - * + 1 ) ] .

(4.20)

Замечание

1. Теорема

остается

справедливой,

если только

предположить,

что

e(t)

и

e(s)

не

коррелированы

при 1Фа

и рассматривать линейные законы управления.

Замечание

2. Сравнение

с решением

задачи

упреждения в

разд. 3 показывает, что член из выражения

(4.16)

С («Г1)

'

С (с-1)

'

можно интерпретировать как А-шаговый упредитель для

y(t-\-k),

основанный

на наблюдениях

y(t), y(t—1),..., а

ошибка

управ­

ления равна

ошибке /г-шагового упреждения. Таким образом,

из теоремы 4.1 следует, что

закон управления,

минимизирую­

щий дисперсию, вытекает

из

определения

^-шагового

упреди-

196

Глава

6

Итак,

из этого примера

следует, что ошибка управления зна­

чительно увеличивается

при введении в систему дополнитель­

ного времени запаздывания.

На

рисунках 6.2—6.4 показаны

модели выходного сигнала,

ляющих и выходных

сигналов для системы при /г= 1 и к —2 и

стратегии управления, минимизирующей

дисперсию.

Упражнения

1. Рассмотреть систему, описываемую

уравнением

0(0 =

1 г и ( * - ! ) + 1 +

0 Jq~] е{(),

y(t)

+ ay(t—

l) = bu(t — k) + l \e{t) + ce(t — 1)],

где {e(t),

teT}—последовательность

независимых нормальных

с параметрами (0, 1)

случайных

переменных. Определить стра­

ления при k—\, 2 и

3.

3. Рассмотреть детерминированную систему, заданную урав­

нением

A' {q-l)y(t)

=

B'{g-')u(t~k).

Показать, что стратегия

управления

и®

=

»/

Gif*<

ч У { 1 ) '

( 4 - 2 1 )

В*

(q-1) F* ОТ1 )

где полиномы F и G определяются

равенством

Стратегии управления, минимизирующие

дисперсию

197

5.

Рассмотреть систему, заданную с помощью

уравнения

(4.7).

Показать, что стратегия управления,

минимизирующая

если полином А% имеет простой нуль при z=\

и если

А\(\)ф§.

6. Показать, что числа /,-, определенные

равенством

(4.13),

ваемой уравнением

у (0 + 0,50 (t - 1) = е (0 +

2е (t- 1) - f и (t - 1).

8. Рассмотреть систему, описываемую уравнением

y(t) = —[-—u(t-l)+

e(t),

1 + 2 ? - 1

1 — 0,2?—1

где {e(t)} —последовательность

независимых нормальных с па­

управления, минимизирующую дисперсию, для этой

системы.

(Сравнить с упражнением

1.)

9. Цифровой вариант

регулятора

описывается уравнением

u(t)=u(t-\)

+

K\(l + j - )

У®-У (t-Vh

(4-22)

C(z)=A(z)F(z)

+

B(z)G(z),

где А,

В

и С — заданые полиномы степеней пА,

пв

и пс

соответ­

ственно. Допустим, что Пс<пА-\-пв—1.

Показать,

что

сущест­

вуют единственные полиномы F и G степеней пр=Пв—1

и Пв=

пА—1,

которые удовлетворяют

данному равенству.

Показать

также,

что существует много полиномов степеней

nF>i%B—1 и

nG>nA—1,

удовлетворяющих данному равенству.

11.

Рассмотреть систему

(4.8).

Показать,

что существует

стратегия управления, такая, что ошибка управления

равна

ошибке упреждения выхода на / шагов вперед, когда

l>k.

Указание. Использовать

равенство

198

Глава 6

ковы, что u(t)

является функцией от y(t—1),

y(t—2),

u(t—1),

u{t—2),... .

13. Найти

представление пространства

состояний

системы,

А°(q) у (0 = В"(q)u(t-k)

+ А°С°(q)е(t),

(5.1)

A (q) y(f) = B (q) u(t~k) + KC (q) e (t),

(5.2)

„( 0 =

91^1

у( 0 =

_ J^sL у ( 0 i

(5.3)

W

В* («Г1) F * (q-1)

B(q)F(q)yy"

'

где F и G — полиномы степеней к—1

н п—1, определяемые ра­

венством (4.13).

ние (5.3) в уравнение

(5.1), получим

A°{q)

В" (?) G (q)

y(t)

=

X°C°(q)e(t).

(5.4)

B(q)F(q)

J '

Применим

оператор qn+k~l

к равенству

(4.13)

и используем оп­

ределение обратного полинома. Находим

qk-1C(q)=A(q)F(q)

+

G(q).

(5.5)

Уравнения

(5.4)

и (5.5) дают

[дк~1В°

(q) С (q) +

(Л° (?) В (q) - A (q) Я» (q)) F (q)] у (t)

=

= WB(q)C°(q)F(q)e(f).

(5.6)

Следовательно,

характеристическое

уравнение

системы

имеет

вид

гк-1В°

(г) С (г) +

[А0

(г) В {z) —A

(z) 5° (г)] F(z) = 0.

(5.7)

Стратегии управления,

минимизирующие

дисперсию

199

Если А=А°,

В=В° и С = С ° ,

характеристический полином

сво­

дится к выражению zh~lB°(z)

C°(z). Таким образом, для неболь­

ших изменений параметров колебания системы

(5.6) близки к

колебаниям,

соответствующим zh-lB°(z)C°(z),

и п

т. е. к—1

коле­

баниям для

полюсов в начале координат

колебаниям

для

цессов (теорема 3.2 гл. 4) следует, что С0

всегда можно

выбрать

и что его нули будут лежать внутри или

на границе единично­

го круга. Таким образом, для полинома

С° единственный

кри­

тический случай возможен тогда, когда

С0 имеет нули

на

еди­

равления, которые не чувствительны к

изменениям

параметров

и дают дисперсии, близкие к минимальным.

Квазиоптимальные стратегии

Известно много способов получения

стратегий

управления,

S(z)

=

B 1 ( ? )52 (z),

(5.8)

где В\—полином степени

щ,

все нули которого лежат

внутри