книги из ГПНТБ / Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления

сигналами этих систем служат случайные процессы второго по­ рядка.

Теоремы представления позволяют значительно упростить исследование, так как в этом случае большой класс задач мож­ но свести к анализу линейных систем с белым шумом на входе. Даны аналогичные результаты для систем с непрерывным вре­ менем.

Предметом обсуждения в гл. 5 является расчет квадратич­ ных функций от переменных состояния для линейных систем. Используя результаты теории аналитических функций, получа­ ют рекуррентные формулы для вычисления квадратичной функ­ ции потерь. Выявлена связь между анализом устойчивости и вычислением квадратичной функции потерь. В качестве иллюст­ рации параметрической оптимизации объектов, зависящих от времени, рассматривается задача восстановления переменных состояния динамической системы с использованием математиче­ ской модели.

Гл. 6 посвящена самому простому классу задач стохастиче­ ского управления: линейным системам с одним входом и одним выходом и с критерием минимального среднеквадратического отклонения на выходе в устойчивом состоянии. Эта частная за­ дача дает хорошее представление о структуре оптимальных ре­ шений, так как теорема разделения может быть доказана без особых математических трудностей. Решение иллюстрирует яв­ ную связь между оптимальной фильтрацией и оптимальным уп­ равлением. При этом получают новый алгоритм решения зада­ чи фильтрации для объектов с дробно-рациональными спект­ ральными плотностями. В этой главе даны также приложения рассмотренной теории.

В гл. 7 изложена теория фильтрации и упреждения. Дана по­ становка задачи и описаны общие свойства решения. Рассмот­ рены необходимые свойства гауссовых процессов и выведены рекуррентные формулы Калмана. Дана геометрическая интер­ претация результатов и анализ свойств ошибок упреждения. До­

Г л а в а 1

СТОХАСТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ

1.ВВЕДЕНИЕ

Вданной главе сделана попытка изложить основы стохасти­ ческой теории управления. В разд. 2 кратко рассмотрены основы теории управления. Особое внимание уделяется обсуждению де­ терминированной теории управления, основной недостаток ко­ торой состоит в том, что в ней не обеспечивается необходимое различие между разомкнутыми и замкнутыми системами. Это

обусловлено в основном тем, что в рамках детерминированной теории управления пренебрегают помехами. В разд. 3 обсужда­ ются некоторые трудности, возникающие при описании помех. В разд. 4 изложены основы стохастической теории управления и приведены наиболее важные выводы из нее.

2. ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

Теория управления возникла как средство для анализа и син­ теза систем управления. Ранние разработки были связаны с центробежными регуляторами, простыми схемами регулирова­ ния для промышленных объектов, электронными усилителями и системами управления стрельбой. По мере развития теории ока­ зывалось, что ее методы применимы к целому ряду разных си­ стем, как технических, так и не технических. В теории управле­ ния использовались результаты различных ветвей прикладной математики. Задачи управления в свою очередь приводили к но­ вым результатам в прикладной математике.

На ранних этапах развития теории большое внимание уделя­ лось теории устойчивости, построенной на теореме Рауса—Гур- вица. Эта теорема является наглядным примером взаимодей­ ствия между теорией и практикой. Действительно, задачу об ус­ тойчивости Гурвицу предложил Стодола, который столкнулся с этой проблемой на практике при разработке регуляторов для паровых турбин.

Для анализа усилителей с обратной связью использовались методы теории аналитических функций, что привело в результа­ те (помимо всего прочего) к знаменитому критерию Найквиста.

После второй мировой войны специалисты по управлению столкнулись с некоторыми задачами, для решения которых тре-

многие из подлежащих исследованию объектов управления ока­ зались очень сложными. Это привело к новой формулировке за­

мального управления, которая в совокупности с цифровыми вы­ числительными машинами представляет мощный метод решения задач управления. При использовании теории оптимального уп­ равления нередко оказывается, что проблемы устойчивости не

не вводится информация, достаточная для вычисления истинно­ го значения сигнала управления.

Проиллюстрируем эти особенности на примере.

Пример 1

Предположим, что управление этой системой желательно осуществлять таким образом, чтобы характеристики системы удовлетворяли критерию минимума значения функционала

Легко показать, что минимальное значение критерия (2.3) равно 1 и что это значение получается как для программного управления

Уравнение .(2.4) описывает управление без обратной связи, так как значение сигнала управления определяется только апри­ орными данными, т. е. независимо от того, как протекает про­ цесс. Уравнение (2.5) представляет закон управления с обрат­ ной связью, так как значение сигнала управления в момент t зависит от состояния объекта в этот момент.

Таким образом, приведенный пример показывает, что разомк­ нутая система (2.4) и замкнутая система (2.5) эквивалентны в том смысле, что функция потерь (2.3) для них имеет одно и то же значение. Однако их характеристики устойчивости раз­ личны.

Система (2.1) с управлением (2.5) с обратной связью асимп­ тотически устойчива, в то время как система (2.1) с програм­ мным управлением (2.4) просто устойчива. Таким образом, на практике управление с обратной связью (2.5) и управление без обратной связи (2.4) сильно различаются. Это можно обнару­ жить, например, если ввести помехи или считать, что управление осуществляется по модели, коэффициенты которой определены с ошибками.

Некоторые указанные выше особенности детерминированной теории управления весьма нежелательны в теории, предназна­ ченной для применения в управлении с обратной связью. При разработке детерминированной теории оптимального управле­ ния серьезной критике подвергался тот факт, что в ней не раз­ личаются разомкнутые и замкнутые системы и не учитываются динамические характеристики цепи обратной связи. Например, с помощью этой теории невозможно было получить стратегию, которая соответствовала бы хорошо известным регуляторам, используемым в промышленных установках.

Эти ограничения детерминированной теории управления объясняются тем, что в ней используются нереальные модели для помех. Если даже так называемые помехи и вводятся, то всегда предполагается, что они описываются априорно известной функцией. В этом случае для системы, управление которой пред­ ставляется дифференциальным уравнением с единственным ре­ шением", знание начального состояния очевидно эквивалентно знанию состояния системы в произвольный момент времени. По­ этому не различаются между собой разомкнутые и замкнутые системы, и предположение о заданном начальном условии при­ водит к тому, что истинное значение состояния известно в любой момент времени. Кроме того, когда известно состояние системы, оптимальное управление будет функцией, которая отображает пространство состояний системы в пространство состояний пере­ менных управления. Как показано ниже, проблема учета дина­ мических характеристик цепи обратной связи возникает в том

восстановлено по измерениям выходных сигналов.

Тем, кто занимался практическими работами в области уп­ равления, было известно с самого начала развития теории уп­ равления, как важно учитывать влияние помех. Многие класси­ ческие методы синтеза также давали возможность эвристически

нас проработали весь день в лаборатории Гардн Сити и, следо­ вательно, не слышали о нападении на Пирл-Харбор до поздне­ го вечера. Мы были обескуражены, потому что хотя мы и созда­ ли хорошую систему для испытаний, но совершенно забыли о важности шумов, и в результате наша система была нестабиль­ на и совершенно неудовлетворительна. Попытки найти решение проблемы привели нас к использованию частотных методов. Ме­ нее чем через три месяца у нас была усовершенствованная си­ стема, которая была устойчива, имела удовлетворительные пе­ реходные характеристики и на порядок меньшую величину раз­ броса. У меня этот случай породил большое доверие к частот­ ным методам».

dt

где а имеет значение, близкое к 1, когда управление действи­ тельно осуществляется по уравнению (2.1). Определить значе­ ние критерия (2.3) для систем, получаемых при регулировании по разомкнутому циклу и регулировании по замкнутому циклу.

3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОМЕХ

Необходимость введения более реальных моделей помех тре­ бует соответствующих методов их представления. Особенности реальных помех состоят в том, что невозможно точно предска­ зать их значение. Поэтому нелегко построить математическую модель, обладающую таким свойством. Например, нельзя моде­ лировать помехи аналитическими функциями, ибо если известно значение аналитической функции на произвольно малом интер­ вале, то значение этой функции для всего интервала можно опре­ делить ее аналитическим продолжением.

Попытаемся использовать статистические понятия для пост­ роения моделей помех. Например, можно попытаться моделиро­ вать помехи в следующем виде:

Более удачной может оказаться попытка моделировать поме­ хи в виде последовательности случайных величин. Простым при­

тельность независимых нормальных случайных величин с пара­

том, чтобы описывать их случайными процессами. Теория слу­ чайных процессов фактически частично выросла из попыток мо­ делирования флуктуации, наблюдаемых в физических системах. Эта теория достигла совершенства благодаря вкладу таких вы­ дающихся ученых, как Крамер, Хинчин, Колмогоров и Винер.

Задачи прогнозирования имеют большое значение в теории

-x(t+l)]*.

4.СТОХАСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

Вэтом разделе рассмотрены основные задачи и результаты стохастической теории управления, а также кратко изложена история ее развития.

Стохастическая теория управления изучает динамические системы, описываемые разностными или дифференциальными уравнениямиfc "учётом действующих помех^которые рассматри­

ваются как Стохастические процессы.^ Эта теория разработана для того, чтобы получить ответы на следующие вопросы:

Каковы статистические свойства параметров системы? (Ана­ лиз.)

Как подстраивать параметры (если, например, имеем систе­ му и регулятор с заданной структурой, но неизвестными пара-

метрами), чтобы оптимизировать систему относительно заданно­ го критерия? (Параметрическая оптимизация.)

Как при заданных системе и критерии найти такой закон управления, который минимизирует заданный критерий? (Стоха­ стическое оптимальное управление.)

Методы решения подобных задач были разработаны относи­ тельно недавно. Во время второй мировой войны в Массачу- •сетском технологическом институте в США стохастическая тео­ рия управления применялась для синтеза систем управления •стрельбой. В работе [11] рассмотрена схема следящего радио­

танная Винером и Колмогоровым. Эта теория дает возможность

реальных задачах уравнение Винера — Хопфа редко имеет ана­ литическое решение, а решение численными методами представ­ ляет собой громоздкую трудоемкую процедуру.

Большое влияние на развитие стохастической теории управ­

числительные машины. Результаты Калмана и Бьюси распрост­ раняются и на нестационарные процессы. На основании теории Калмана — Бьюси прогноз дается в виде выходной переменной линейной динамической системы, когда управление осуществля­ ется по наблюдениям. Чтобы определить коэффициенты этой

.динамической системы, необходимо решить уравнение Риккати с заданными начальными условиями. Уравнение Риккати анало­ гично уравнению, которое рассматривали в теории оптимально­ го управления линейными детерминированными системами с квадратичным критерием. Действительно, задача прогнозирова­ ния и проблема управления по квадратичному закону представ-

.ляют собой математически двойственную задачу. Этот вывод представляет большой интерес как с теоретической, так и с практической точек зрения. Если одна из задач решена, то, об­ ращаясь к принципу двойственности, легко решить и другую задачу. Для решения задач фильтрации и детерминированного управления могут быть использованы также одни и те же прог­ раммы для вычислительных машин.

Стохастическое оптимальное управление в значительной сте­

оценки состояния в виде условного среднего при заданных на­

Линейная

обратная

связь Оптимальная стратегия

Р и с . 1.1. Блок-схема, иллюстрирующая теорему разделения.

быть найдена путем решения задачи детерминированного управ­ ления. Условное среднее значение состояния характеризует вы­

зависят от помех и динамических свойств системы, но не зави­ сят от критерия.

Таким образом, теорема разделения обеспечивает связь меж­ ду теорией фильтрации и теорией стохастического оптимального- 'управления. Впервые теорема разделения была опубликована в работе [18]. Подобный результат известен в эконометрике под. названием принципа определенной эквивалентности.

Таким образом, оптимальная стратегия решения задачи сто­ хастического управления для линейных систем с квадратичным критерием состоит из линейной динамической системы с возмож­ но зависящими от времени параметрами. К этому классу стра­ тегии относятся стратегии, которые на протяжении многих лег

уже использовались на практике, но их получение осуществля­ лось частными методами.

Поскольку переход к системам с многими входами и выхода­ ми не вызывает трудностей, то линейная стохастическая теория управления представляет собой мощное средство решения за­ дач управления. Результатом этой теории является решение в «замкнутой форме» в том смысле, что параметры оптимальной стратегии получаются при решении уравнения Риккати с задан­ ными начальными условиями. Для решения подобных уравне­ ний известны численные алгоритмы. Иногда эти задачи могут быть не удобны для численного решения.

Линейная стохастическая теория управления обладает осо­ бенностями, которые необходимы для теории регулирования с обратной связью. Например, в ней проводится различие между разомкнутыми и замкнутыми системами; работа системы кри­ тически зависит от информации, получаемой в тот момент, ког­ да определяется сигнал управления (так, задержка измеряемо­ го сигнала ведет к ухудшению работы системы).

Оптимальная обратная связь представляет собой линейную динамическую систему.

5. ЗАМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРА

Список ранних работ и полный обзор разработок в теории управления даны в работе [1] . Обзор классической и современ­ ной теории управления приведен в работе [2].

ления даны в работе [11]. Трудности первых попыток модели­ рования помех показаны в работах [12—14].

Теорию фильтрации можно найти в работе [15]. Теория Калмана — Бьюси изложена в работах [16, 17]. Теорема разде­ ления доказана в работе [18]. Принцип эквивалентности осве­ щен в работах [19, 20].

1.Bellman R., Kalaba R. (eds.), Mathematical Trends in Control Theory, Dover, New York, 1963.

2.Astrom K. J., Reglerteori, Almqwist and Wiksell, Uppsala, 1968 (in Swe­ dish).