книги из ГПНТБ / Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления

Стратегии управления,

минимизирующие

дисперсию

181

v

;

l + a q - 1

= e(t

+ 2) +

(c-a)e(t+

l

)

-

^ ~

a }

e(t),

где последний член можно вычислить

1 -)- aq-1

на­

точно

по результатам

блюдений. Из уравнения

(3.3)

имеем

в ( / )

=

! ± £ Е ± у ( 0 .

w

1 +

c ? - i

У

Следовательно,

y(t

+ 2) = e(t

+

2) +

(c-a)e(t+l)-

1 +

ал{с~а\у(1).

cq—

Л

Пусть теперь у — функция

от

имеющихся

наблюдений

y{t),

y(t—1),...

. Так

как &'t-\-\)

и e(i-\-2)

не зависят

от наблюдений,

получаем

E[y(t

+ 2)-y]*

=

E[e*(t

+

2)] +

(с

-

af

Е [е* (t + 1)] +

-

Е

1 + cq-i

'

У

V

Следовательно,

E[y{t

+

2)-yf>\

+(c-af,

где равенство справедливо при

£ =

+ 2 | о = - т £ = 4 w o .

1 +

с ? - 1

iit

+ 2\t)=—cy((+l\t-l)

— a(c — a)y(t).

Ошибка

двухшагового упреждения

является

скользящим

сред­

ним второго порядка

у(( +

2|0 =

y(t + 2)-y(t

+ 2|0

= e(t + 2) +

( с _ а ) е ( * +

1).

стационарного нормального

процесса

{y(t),

t=6,

± 1 ,

±2,...} с

дробно-рациональной спектральной

плотностью.

По

теореме

3.1 гл. 4 для этого процесса

всегда можно

найти

два

полинома

A(z)

и

C(z),

таких, что спектральную плотность

ср(<а)

процес­

са можно написать в виде

=

Хь С («"»)<: ( . - ' « )

4 ,

С ( У " ) С * ( ^ )

А (е1 '05 ) Л ( е - ' ш )

Л (е' а ) Л* (е'т )

•где Л* — обратный полином, определяемый

равенством A*{z)

=

=znA{z-[).

В представлении

(ЗЛ2) полиномы Л и С можно вы­

брать так, что все нули полинома Л будут расположены

внутри

единичного круга,

а все нули полинома С будут лежать

внутри

или на границе

единичного круга. В этой главе мы будем счи­

тать, что полином С не имеет нулей

на единичной

окружности.

Полиномы А и С имеют вид

Л (г) =

zn

+ alZ'1-1

-г • • • +

ап,

(3.13)

С (z) = zn

+ clZn~l

+

- - - +

с „ .

(3 . 14 }

Из теоремы 3.2 гл. 4 следует, что стохастический процесс

можно

представить

в

виде

A(q)y(t)

=

XC(q)e(t)

(3.15)

или

А* Or1 ) У (0 =

АС* («Г1) в (/),

(3.15а)

где

{e(t),

teT}

— последовательность

независимых

нормальных

с параметрами

(0, 1) случайных

переменных. Найдем

наил\'ч-

л

ший

k

шаговый

упредитель, т. е. построим функцию

y(t-\-k\t)

от y(t),

y{t—1),

такую, что

E[y{t

+

k)-y{t

+ k\t)\*

достигает наименьшего значения.

Для

вывода

формулы

упредителя

рассмотрим

состояние

в

момент времени I. При условии, что есть результаты

измерения

выходной

переменной y(t),

y(t—1),...,

требуется

предсказать

J/(/+&). Уравнение (3.15)

дает

y(t + k) =

% С*(?~2

e(t +

k).

(3.16)

А* («7-1 )

цией переменных e(t-\-k), e{t-\-k—\),

e(t+\), e(t), e(t—

— 1), ... . Случайные переменные e{t),

e(t—1), ... могут быть вы­

ные e(t-\-\),

eit+k) не зависят от наблюдений. Таким обра­

зом, правая

часть уравнения (3.16) состоит из членов, которые

Стратегии управления, минимизирующие дисперсию

183

нов перепишем правую часть уравнения

(3.16) в виде

%-C*(q-^ e ( t

+ k) =

Я [

> {q-*)e{t

+ k) + Q~k-^^e(t

+

А ) ] ,

A* (Q

(3.17)

9

где F* и О*

полиномы

степени k—1 и п—1

соответственно,

т. е.

F*{z)

=

\+flz

+

--- +

fk_,z

(3.18)

G*(z) =

g 0

+

g1z + --- +

gn _1 z»-

(3.19)

Уравнение (3.16) теперь можно написать в виде

y(t

+ k) =XF*(q-1)e(t

+ k)

A* fo-i)

%F* (q-1)

e (t + k) + %

G*

(q-i

e(t).

(3.20)

A*

(q-i)

Второй член в правой части

является

функцией

переменных

e(t), e(t—1),

и, следовательно, его можно

вычислить по ре­

зультатам наблюдений y{t),

у

{I—1),...

. Получаем

Хе (t)

A*

(q-1)

У If),

С*

и уравнение ,(3.20) сводится к уравнению

y(t

+ k) — XF*

e(t + k) + -^f^-

у (t).

(3.21)

С*

Первый член в правой

части

является

линейной функцией

переменных

e(t-\-l), e{t-\-2),

e(t-\-k),

которые не зависят от

наблюдений. Второй

член является

линейной

функцией от ре­

зультатов

наблюдений,

л

y{t),

y{i—

Пусть

у—произвольная

функция

переменных

—1)

Тогда

гЛ

Е [у it + k) -

yf

= Е [XF* fa"1)

е (t + k)\* + E

У

С*

(q-1)

+

2E [XF* fo-i)

e (t + k)] [у -

у (t) .

Последний член равен нулю, так как e(t-\-\),

е ( / + 2 ) ,

... не

зависят от y(t),

y(t—1),

a e(t)

имеет нулевое

математическое

ожидание при всех t. Таким образом, имеем

Е \У (t + Щ -

у}* = Е [XF* (q-i) e(t + k)]* +

ГЛ

(3.22)

У-

С*

*

'

E[y{t +

k)-yY>K[\+n-r--+fi^,

где равенство достигается при

y^y(t + k\t) =

-^^-y{t).

(3.23)

= g0y(t)

+ giy(t-l)

+ --- + ga-iy(t-n

+ 1).

(3.24)

Ошибка упреждения равна

y(t + k\t) =

y(t + k)-y(t

+ k\t) = %F* fo-*) e(t +

k) =

=

% [e(f +

k) +

fxe(t + k— 1) - f • • • +

+

fk^e(t+l)}.

(3.25)

Итак, чтобы получить упредитель, надо определить

коэффици­

енты полиномов F.(z) и G(z), заданные

формулами

(3.18) и

(3.19). Уравнение (3.17) дает следующее равенство:

С* (<rl ) = A* (a-1) F* (с?- 1 ) +

Ч~к G* (<7-1)-

(3.26)

Если .4* и С* — произвольные

полиномы от q~l, то

существует

два однозначно определяемых

полинома F* и G*, которые удов­

летворяют равенству (3.26). Эти полиномы

можно определить с

помощью операции деления. Полином F* получается как част­

ное от деления С* на A*, a q~hG*(q-1)

является остатком от де­

ления.

Полиномы F* и G* можно

определить

приравниваем

коэф­

'k-l

=

ak-i

••• + aifk- -2

+ h.

ck

=

ак + ak-i

fi+ak-ih

+ --

• + ai fk-i

+

§0'

'k+l = ak+x + akfi+ak-J2

+ --

• +

aifk-i +

gl,

с

= ап + a^Ji

^%--J2

+ -- • +

an-k+l

fk—l ~

п

anfi

§n—k+l

0

=

0 =

a„fn-i+g„-v

(3.27)

Стратегии управления,

минимизирующие дисперсию

185

Таким образом, коэффициенты полипомов F* и G* можно оп­

ределить с помощью рекуррентных соотношений.

Полученные

результаты сформулированы в теореме 3.1.

Теорема 3.1. Пусть {y{t),

teT} — нормальный

стохастический

процесс с дискретным временем, который имеет

представление

A*(q-4y(t)

= XC*(cr>)e(t).

(3.15>

С* (cr1 ) y(t + k\t) = G* Or1 ) У (t),

(3.23)

С* fa-1) = А* fa-1) F* (q~l) + а~к G* (с/"1).

(3.26)

y~(t + k\i) =

lF* (qrl)e(t + k) =

=

Я [e(t + k) + /,е (/ + k

- 1) + • • • + fk_xe{t

+

Щ (3.25),

и имеет дисперсию

var [у (t + k\t)] = X2 (1 +

/г + fl + • • • +

•

(3.28>

Eh(y(t

+ k)-y),

(3.29)

где h — произвольная симметричная функция.

Замечание 2. Предположение о независимости

e(t)

и e(s)

при t^s

является решающим для

справедливости

выражения

(3.22). Если стохастические

переменные e(t) и e(s)

зависимы,,

математическое ожидание от произведения e(t-\-x)

на

произ­

вольную

функцию от y(t), y(t—1)

не обязательно будет

равно

нулю при т > 0 . Однако если

ограничиться для допустимых уч­

E[y{t-\rk)—у]2

будет содержать только квадратические члены,

и выражение

(3.22)

будет

справедливо в том

случае,

когда

е(г"+1), 6 (^+2),

e(t-\-k)

не коррелированы

с y(t),

i/(t—

- 1 ) , - •

Замечание

3. Упредитель

является динамической системой'

188

Глава 6

y{t) + a\y(t- 1) + • • • +

almy(t-

т) = b*u(t-

k) +

+ b\u(t — k—l)-\

+ blmu(t

— k—m),

(4.1)

А1(г) = г" + а[г"-1-г----+а1п,

(4.2)

В1 (г) = Ь\ гт + Ъ\ г — 1 + . . . + Ъ)п,

(4.3)

A1{q~1)

Ах(Я)

А;

(

О

e(t),

(4.6)

где

{e(t),

t=0,

± 1 ,

± 2 ,

...}—последовательность

одинаково

распределенных

независимых нормальных

с параметрами

(0,

1)

случайных переменных, а С\ и А2

— полиномы.

уравнением

Итак,

система и ее среда могут

быть

описаны

(4.7)

Блок-схема представления системы приведена на рис. 6.1.

Уравнение

(4.7)

является,

таким

образом,

канонической

е

V

формой для дискретной стаци­

Аг(Ч)

онарной динамической системы

Лк .

с одним входом и одним выхо­

дом с

запаздыванием,

равным

и

В, (1)

целому

числу интервалов

дис­

A,

W

кретизации; система

подверга­

ется

воздействию

стационар­

Р и с .

6.1.

Блок-схема системы,

ных

возмущений с

дробно-ра­

циональными

спектральными

описываемой уравнением

(4.7).

плотностями. Полиномы

A2(z)

что их нули будут ле­

и C\(z)

всегда могут быть выбраны так,

жать внутри или на границе единичного круга.

А2

Так как предполагается, что возмущение v стационарно,

не может иметь нулей на единичной окружности

Для

упрощения

анализа перепишем

уравнение

(4.7)

в виде

А* (7-1 )У (/) = В*

fa-1)u(t-k)

+

W* От-1 )е(/),

(4.8)

где А,

В

и С—полиномы,

определяемые

равенствами

А—А\А2,

В=ВХА2

и C=C\Ai.

Положим

А (г) = г" + ах

z"_ 1

Н

+

ап,

(4.9)

1 Если мы можем прямо постулировать представление v

в форме (4.6),

нет необходимости предполагать, что все нули А2

лежат внутри единичного

круга.