Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3311 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

100 Глава 3

броуновского движения. Рекомендуется прочесть работы Энштенна, собранные в книге [3].


В книге [4] подобраны более ранние статьи.
Тепловое	движение	ограничивает			точность		измерений. Это
давно наблюдаемое		явление		объясняется		шумом		Найквиста
в усилителях. Подобные эффекты рассмотрены							в работах [5,6].
Строгое	определение		стохастических			дифференциальных
уравнений введено в работах				[7,8].	Стохастические			дифферен
циальные уравнения рассмотрены также в работе [9.]
Теоремы	существования		и	единственности,			основанные на

методе последовательных приближений Пикара, доказаны в ра

боте [10]. Эти доказательства приведены						также в работах [И,
12]. Работа [12] рекомендуется для					более		полного			изучения
теории стохастических дифференциальных						уравнений.
Стохастические интегралы типа
где w(t),t	еТ,— винеровский			процесс,	а / — функция				ограничен
ной вариации, также были введены Винером,								который		опреде
лил интеграл следующим			образом:
	о				и
Так как	f — функция	ограниченной			вариации,			а	выборочные
функции	непрерывны,	то	интеграл в		правой		части		равенства
строго определен.
Более элементарное изложение дано в работе								[13].
Подход к стохастическим				дифференциальным					уравнениям,

который сильно отличается от изложенного в книге, базируется на представлении белого шума как «обобщенного стохастичес кого процесса» по аналогии с обобщенными функциями. Эта идея рассматривается в работе [14]. Компактное и строгое из ложение дано в работе [15]. В этой монографии есть также •обобщение результатов Ито на векторный случай.

Другой подход к теории стохастических дифференциальных уравнений дается в работе [16]. Авторы рассматривают стоха стические дифференциальные уравнения как результат предель ного перехода в стохастических разностных уравнениях. Усло вия существования и единственности аналогичны условиям, при нятым Ито. Стохастический интеграл был введен Ито в работе [10]. Другой подход к понятию стохастического интеграла опи сан в работе [17].

Как уже указывалось, различия в подходе Ито и Стратоно вича не очень существенны. Вычислительные формулы Страто новича в некоторых случаях проще. В нашей книге использу-

Стохастические модели	состояния	101
ется интеграл Ито, чтобы сохранить	интуитивное	представление

о модели состояния. Связь различных определений интеграла с

соответствующими разностными уравнениями	рассматривается
в работе [18].
Вопросы устойчивости стохастических дифференциальных
уравнений рассматриваются в работе [19].
Некоторые вопросы теории стохастических	дифференциаль

ных уравнений рассматриваются в работе [20]. В ней приведе на большая библиография.

Уравнение Фоккера — Планка рассмотрено в работе [21], а

применение уравнения Фоккера — Планка			к нелинейным			систе
мам описано в работе [22].
Связь между квантовой механикой и			стохастическими			диф
ференциальными уравнениями рассматривается				в работе		[23].
Доказательство правила		дифференцирования		Ито	приведено
в работах	[24, 25].
Задача	моделирования,	рассмотренная	в разд. 9,		довольно

проста, так как анализируются только линейные системы. В не линейном случае моделирование более сложно. Рассмотрим, на

пример, дифференциальное				уравнение
		f	=	Hz) +	g(z)n,
где г — скалярная		величина, а /г — белый					шум с		ограниченной
полосой. Оказывается, что				уравнение		Ито, которое				является
моделью уравнения		(11.1), имеет вид
	d0x	f(x) + ^-g(x)g'(x)]dt					+	g(x)dv,
где dox — дифференциал			Ито. Соответствующее уравнение Стра
тоновича имеет вид
		do,5 x	=	f С*0 d t +	g (х)		dv,
где dQt5x — дифференциал Стратоновича							(см. также [26—28]).
Моделирование		уравнения (11.1)			в том случае, когда					z — век
торная величина, значительно сложнее.							Эта задача			подробно
рассмотрена	в диссертации			Кларка	[27].		Она		тесно связана с
проблемой	моделирования			стохастических				дифференциальных
уравнений.	Простой случай			рассмотрен		в работе [29].

1.Yulu Q. U., On a Method of Investigating Periodicities in Disturbed Series with Special Reference to Wolfer's Sunspot Numbers, Phil. Trans. Roy, Soc, A226, 267—298 (1927).

2.	Wold H., Stationary Time Series, Almqvist	and Wiksell, Uppsala, 1938.
3.	Einstein A., Investigations on the Theory	of the Browian Motion, Dover,
	New York, 1956.

102		Глава	3
4.	Wax N., Selected Papers on	Noise and		Stochastic Processes,	Dover,	N. Y.,
	1954.
5.	Barnes R. В., Silverman S.,	Brownian Motion as a Natural			Limit	to all
	Measuring Processes, Rev. Mod. Phys., 6, 162—192 (1934).
6. McCombie C. W., Fluctuation		Theory	in	Physicul Measurements, Rep. Prog,
	in Phys., 16, 266—320 ("1953).

7.Bernstein S. N., Principes de la Theorie des Equations Differentielles Stochastiques, Труды мат. ин-та им. Стеклова, 5, 95—124 (1934).

8. Bernstein	S. N., Equations Differentielles Stochastiques, Act. Sci. et Ind.,
738, 5—31	(1938).

9.Levy P., Processus Stochastiques et Mouvement Brownien, Gautier-Villars, Paris, 1948. Русский перевод: Леви П., Стохастические процессы и броу новское движение, изд-во «Мир», 1972.

10.Но К-, On Stochastic Differential Equations, Mem. Am. Math., Soc, № 4 (1951).

11.Doob J. L., Stochastic Processes, Wiley, 1953. Русский перевод: Дуб Дж. Л., Вероятностные процессы, ИЛ, 1956.

12.Гихман И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, изд-во «Наука», 1965.

13. Wiener N., Nonlinear Problems in		Random Theory, MIT Press,	1958.
14. Gelfand	I. M., Wilenkin N. J.,	Verallgemeinerten Funktionen,	IV, VE B
Deutscher	Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1964.

15.Скороход А. В., Исследования по теории случайных процессов, изд-во Киевского университета, 1961.

16.Гихман И. И., Скороход А. В., Стохастические дифференциальные уравне ния, «Наукова Думка», Киев, 1968.

17.Stratonovich R. L., A New Representation of Stochastic Integrals and

	Equations, SIAM J. Control, 4, 362—371		(1966).
18.	Astrom K. J-, On Stochastic	Differential	Equations, Lecture notes, Lund,	1965.
19.	Kushner H. J., Stochastic	Stability and Control, Academic Press,		N. Y.,
	1967.

20.Stochastic Problems in Control, A symposium of the American Automatic Control Council, Am. Soc. Mech. Eng., 1968.

21.Bharucha-Reid А. Т., Elements of the Theory of Markov Processes and Their Application, McGraw-Hill, 1960.

22.Fuller А. Т., Analysis of Nonlinear Stochastic Systems by means of the Fokker-Planch Equation, Int. J. Control, 9, 603—655 (1969).

23.Gelfand I. M., Yaglom A. M., Integration in Functional Spaces and Its Application in Quantum Physics, J. Math. Phys., 1, 48—69, 1960.

24.Но K-, On a Formula Concerning Stochastic Differentials, Nagoya Math. J . (Japan), 3, 55 (1951).

25.Ito K., Lectures on Stochastic Processes, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1961.

26.Стратонович P. Л., Условные марковские процессы и их применение к тео рии оптимального управления, Изд-во МГУ, 1966.

27.Clark I. М. С, The Representation of Nonlinear Stochastic Systems with Applications to Filtering, Ph. D. Thesis, Imperial College, University of London, 1966.

28.Wong E . , Zakai M., On the Relation Between Ordinary and Stochastic Dif

ferential Equations and	Applications to Problems in Control Theory, 3rd
IFAC. Congress, London,	1966.

29.Astrom K. J., On a First-order Stochastic Differential Equation, nt. J . Control, I, 301—326, 1965.

Г л а в а 4

АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНЫМИ ВХОДНЫМИ СИГНАЛАМИ

1.ВВЕДЕНИЕ

Впредыдущих главах рассматривались в основном стоха стические процессы и стохастические модели. В этой главе да ны основы стохастических систем управления. Рассмотрены си стемы, внешними воздействиями которых являются случайные


процессы. Основная задача			при	этом — анализ				динамических
систем со случайными входными переменными.							Анализ			ограни
чивается	только линейными		системами.			Рассматриваются си
стемы как с непрерывным, так и с дискретным временем.
Динамические системы могут быть представлены путем опи-\
сания соотношений между входными и выходными								переменными
или Моделями, состояний. Кроме				того,	стохастические				процессы
также могут быть описаны разными способами							(например, ко
вариационными функциями, спектральными плотностями, моде
лями состояний). Таким образом, при анализе динамических си
стем, на входе которых действуют случайные процессы, имеется
множество вариантов для		рассмотрения.
В разд. 2 рассматриваются системы с дискретным временем,
описываемые весовыми функциями. Входными							сигналами этих
систем являются случайные процессы второго порядка, описы
ваемые ковариационными			функциями.			Приводятся			условия,
при которых выходной сигнал будет процессом второго порядка.
Выводятся формулы для средних значений и ковариаций выход
ного сигнала. Показывается, что для стационарных процессов
все выводы могут быть получены в более						компактном			виде, ес
ли рассматриваемую систему описывать передаточной функци
ей, а процессы — их спектральными					плотностями.			Результаты
разд. 2 свидетельствуют о том, что многие случайные процессы
можно представлять в виде выходного						сигнала		динамических
систем, на входе которых действует белый шум. В разд. 3 пока
зано, что это справедливо для дискретных процессов, спектраль
ные плотности которых являются рациональными функциями от
cos со. Основные выводы		сформулированы в					теоремах			спект
рального	разложения и представления.					Оэгласно		этим		теоре-	,
мам, все	процессы с ^ а х ш щ а л м ъ ш и				спектральными плотностя-						1
ми можно представить в в^ще^од_е^й.хш^ояндя, и. при анализе											'
необходшяр рассматривать		только случай белого шума							на	входе.

104 Глава 4

В разд. 4 приведен анализ систем с непрерывным временем. В разд. 5 даны теоремы спектрального разложения и представ ления для систем с. непрерывным временем.

2. СИСТЕМЫ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Рассмотрим системы, входными сигналами которых явля ются случайные процессы второго порядка с дискретным вре менем. За интервал квантования выберем единицу времени и символом Т обозначим множество {...,—1,0,1...}. Схема динами

ческой системы с входным сигналом и и выходным			сигналом у
представлена на рис. 4.1. Для простоты		примем,	что система
Вход	Выход
и	Система	У
и		У
Р и с . 4.1.	Схема динамической	системы.

стационарна и имеет один вход и один выход (эти ограничения


несущественны для анализа). Будем				считать,	что входной сиг
нал и	есть случайный	процесс второго порядка			с заданным		сред
ним	значением mu(t)	и заданной		ковариационной		функцией
ru(s,	t). В этом случае задача		заключается в определении				стоха
стических свойств выходного			сигнала. Предполагая,			что	систе

ма описывается весовой функцией h, можно написать соотноше

ние между входным		и выходным	сигналами в следующем	виде:
y(f)=	t	h[t~s)u(s)	= £ h(s)u(t — s).
	2			(2.1)
	S=—oo		S=0

Прежде всего необходимо убедиться, что выражение (2.1) имеет смысл. Если сумма конечна, то трудностей не возникает, ибо в этом случае выходная переменная у есть просто взвешен ная сумма случайных величин. При бесконечной сумме в выра жении (2.1) необходимо сначала доказать, что сумма сходится. В гл. 2 дано несколько понятий сходимости, которые можно ис пользовать для случайных величин. Выберем среднеквадрэти ческую сходимость. Для доказательства сходимости ряда (2.1) составим последовательность Коши

2,h(s)u(t — s).

Динамические системы со случайными входными сигналами

105

Имеем
m		mm
£ [ I > ( s ) « ( 7 — s)]2 =		£ £	S h(s)h(s')u(t		— s)u(t		— s')	=
		m
	=	У, h(s)li{s')ru(t-s,t				— s').		(2.2)
		s,s'=n
Поскольку {u(t),	t еТ)	—случайный процесс				второго порядка,
		Ей2(/)<а		< о о .
Следовательно,
	\|лц (/, s)\| < К Р Ж О л Т М				<	а-
Если динамическая система			асимптотически			устойчива,		полу
чаем
	\|ft(s)\|<a* при			\| а \| < 1.
Таким образом,	оказывается,		что,	выбирая		пг и п	достаточно

большими, сумму (2.2) можно сделать произвольно малой. Тог да бесконечная сумма (2.1) существует в смысле среднеквадратической сходимости и, следовательно, процесс {y(t), t еТ} есть случайный процесс второго порядка. Перейдем к исследованию

свойств этого процесса.		y(t):
Определим среднее значение		y(t):
my{t) = Ey{t) = Е		%h{s)u{t		— s)	=
		s=0
= 2	h (s) Eu (t - s) =		f	h (s)	mu it —s).	(2.3)
s=0			s=0
Третье равенство следует	из теоремы 6.2			гл. 2. Таким		образом,

среднее значение выходного сигнала получим в результате про хождения через динамическую систему среднего значения вход ного сигнала.

Для определения	ковариационной		функции	выходного сиг
нала вычтем выражение		(2.3) из выражения		(2.1) и получим
разность между сигналом и его средним значением:
		со
y(t)-my(t)	=	£ M s ) \u(t —	s)~ma(t-s)}.

s=0

Итак, эта разность проходит через систему так же, как и сигнал. Вследствие этого в дальнейшем можем считать, что среднее значение сигнала равно нулю. Это упростит запись формул.

106 Глава 4

Принимая, что входной сигнал имеет нулевое среднее значе ние, получим ковариационную функцию

		с>о	со
ry(s, i) =	Ey(s)y(f) = Е 2,h(k)u(s — k)		Y,h{l)u (t—l) =
		k=0	1=0
	со	со
=	2	£ h (k) h (I) Eu (s — k) и (/—/)	=
	ft=0 1=0
=	S	th(k)h(l)ru(s-k,t-l),	(2.4)
	k=0	1=0

где третье равенство следует из теоремы 6.2 гл. 2.

Найдем также уравнение для коварпации входного и выход ного сигналов

					ее
		ruy(s> 0 =	Ей(s)у(t) =	£ы(s)	Yih{l)u{t		— /) =
					1=0
		=	j?h(l)Eu{s)u(t	— l) = ^h(t)ru(s,t—t).				(2.5)
			/=0			1=0
Итак, при условии, что заданы				система		(2.1),	описываемая ве
совой функцией, среднее значение mu(t)						и ковариационная функ
ция	r„(s,	t) входного сигнала, мы			нашли		среднее	значение
niy(t)	и	ковариационную функцию ry(s,				t) выходного		сигнала

Сформулируем выводы в теореме 2.1.

Теорема 2.1. Рассмотрим асимптотически устойчивую дина мическую систему с дискретным временем. Пусть входной сиг

нал и — случайный процесс	второго	порядка со средним значе
нием mu(t) и ковариацией	ru(s, t).	Тогда выходной сигнал

	y(l)=		f,h(n)u(t-n)			(2.1)
			л=0
существует в смысле среднеквадратической сходимости.
Выходной сигнал	{y(t),	t	еТ}	есть случайный	процесс	второго
порядка со средним значением
			DO
	me(t)=%h(n)mu(t-ri)					(2.3)
			п=0
и ковариацией
	во	со
гу М	= £	S	h (k)	h (0 r„(s—k,t-	I).	(2.4)

k=0 1=0

Динамические системы со случайными входными сигналами

107

Ковариацию между входным и выходным сигналами систе мы можно представить соотношением

r„,,(s,t)=jth(l)rtt(s,t-l).

		1=0
Если входной сигнал	{u(t),	t еТ}—нормальный	процесс, то ы
выходной сигнал {y(t),	t et}	— нормальный процесс.
Это утверждение не доказывается, оно следует из того фак
та, что сумма нормальных		величин есть нормальная величина.

Стационарные процессы

Рассмотрим

стационарные

процессы

и запишем

полученные

результаты в иной форме. Если входной

сигнал — стационарный

процесс \

имеем

пги

(/) =

пги =

const,

ги M

= ru

(s — t).

Уравнения

(2.3) — (2.5) сводятся

соответственно к

следующим

уравнениям:

m^ =

m „ f > ( * ) ,

(2.6)

СО 00

ry(s,t) =

I>h{k)h(l)ru{s-t

l-k),

(2.7)

ft=0 1=0

со

ray(s,

t) =

h (l)ru(s-t

l).

(2.8)

(=0

Таким образом, среднее

значение

выходного

сигнала есть

по

стоянная величина, a ry(s,

и ruy(s,

t) — функции только разнос

ти s — t. Итак,

если входной

сигнал стационарен и система

ус

тойчива, то выходной сигнал также

стационарен.

Уравнения

(2.6) —(2.8)

можно

еще

более

упростить, если

ввести спектральные плотности и передаточные функции.

Обозначим через Н передаточную функцию системы с диск

ретным временем, т.е. изображение или z-преобразование

от

весовой функции:

со

Я (г) =

z~nh(n).

(2.9)

п=0

Рассматривается стационарность в широком смысле. — Прим. ред.

108 Глава 4

Уравнение (2.6.) принимает вид
ту = Н{\)-ти.	(2.10)

Спектральная плотность сру выходного сигнала связана с гу со отношением

2л
где
ry{n) =	ru{t + n,t).	(2.12)
С помощью уравнения (2.7)	получаем

сю од со

л=— со fe=0 1=0

оо

со

Используем определение передаточной функции системы с дис кретным временем (2.9) и получим

Ф, (со) = Я (е - / в ) Н (е1в) Фы (со).

(2.13)

Функция спектральной плотности, связанная с ги у(т), опре деляется выражением

		со
Ф а »	= ^ -	£	(2-14)
Обозначим
/ • „ „ С О ^ ч Л ' + М			(2-15)
и получим из выражений	(2.14)	и (2.8)

= 1 7 £ ^"ah(t)e-i{a+lJaru(n

+ [i =

/=0

Динамические системы со случайными входными сигналами

109

Используем определение передаточной функции дискретной си стемы и получим

Ф и > ) =	Я(е-''ш ) ф(о>).	(2.16)
Выводы сформулированы в теореме 2.2.
Теорема 2.2. Рассмотрим	стационарную дискретную	систему

с передаточной функцией H(z). Пусть входной сигнал — ста ционарный случайный процесс со средним значением пги и спект ральной плотностью ф м (ы) . Если данная система асимптотиче ски устойчива, то выходной сигнал, определяемый выражением (2.1), есть стационарный случайный процесс со средним значе

нием
my = H(l)mu	(2.10)
и спектральной плотностью
Ф, (со) = Я (е-'ш ) Я (еса) Ф „ (со) = \|Я (е"»)\* Фи (со).	(2.13)

Взаимная спектральная плотность входного и выходного сигна

лов определяется	выражением
	Ф и > ) =	Я(е-( 'и )Ф„(со).			(2.16)
Замечание 1.	Полученный	результат	имеет	простую физиче
скую интерпретацию: \| Я ( е г ш )		\| есть амплитуда		выходного	сигна
ла в устойчивом	состоянии при входном		сигнале sin со t.		Спект

ральная плотность выходного сигнала ф!/(со) равна произведе нию усиления по мощности |Я(е1 'ш ) | 2 и спектральной плотности входного сигнала фи (со).

Замечание 2. Уравнение (2.16) часто используется для опре деления передаточной функции динамической системы. Напри

мер, если входным сигналом является	белый шум, т. е. cpu(co) =
= 1, то из соотношений (2.8) и (2.16)	получаем

ruy(t) = h{-t)

Ф „ » = Я(<Г'И ).

Следовательно, измеряя взаимную ковариацию или взаим ную спектральную плотность входного и выходного сигналов, получим весовую или передаточную функции дискретной сис темы.

Упражнения

1. Для линейной динамической системы

y{t) + ay{t~\) = e{t) +

ce(t-\),

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3311 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
22.10.202312.76 Mб25Основы теории полета и элементы проектирования искусственных спутников Земли..pdf
#
22.10.202312.8 Mб30Основы теплотехники и гидрогазодинамики учеб. пособие.pdf
#
22.10.202315.81 Mб11Основы технической эксплуатации ЭЦВМ..pdf
#
19.10.20237.26 Mб5Особенности вскрытия, испытания и опробования трещинных коллекторов нефти..pdf
#
29.10.20235.26 Mб93Остапов Г.К. Логарифмы.pdf
#
24.10.202310.97 Mб50Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления.pdf
#
29.10.20231.86 Mб7Островский Я.М. Борьба с пробкообразованием в нефтяных скважинах на месторождениях Туркмении.pdf
#
29.10.20234.68 Mб13Остроумов Г.Н. Приручение Солнца [очерки].pdf
#
27.10.202320.12 Mб6Отделка сортового проката..pdf
#
29.10.202311.55 Mб6Отепление шахтных стволов М. М. Шемаханов. 1960- 11 Мб.pdf
#
19.10.20236.57 Mб6Отраслевая экономика народного хозяйства Удмуртской АССР [сборник статей]..pdf