книги из ГПНТБ / Липкович С.М. Проектирование технологических процессов очистной выемки угля
.pdfточное.определение или уточнение цели; изучение состава персонала и средств производства;
поиск характерных величин для данного процесса;
Рис. 4. Технологические схемы очистных работ узкозахватными комбайнами
синдивидуальной крепью:
а- 2К-52, БК-52; 6 — КШ, К-58; в — «Урал»
динамику этих характеристик (т. е. знание возможных границ расширения или развития исследуемых величин);
установление общей схемы процесса.
Поскольку при проектировании технологических процессов очистной выемки речь идет о времени, необходимом на механи ческую или ручную операцию, или о частоте того или иного явле ния, обозначим через X объем исследуемых переменных и заключим его в прилегающие равные интервалы размером а. Центральный
объем |
каждого интервала, индексированного через |
і, обозначим |
X), х2, |
..., Хі, ..., х„. Здесь каждый рассматриваемый |
объем может |
|
|
И |
быть представлен в одном интервале, т. е. х принадлежит интер валу класса і, если соблюдается неравенство
* і — |
+ |
( i -і) |
Если п,- — число случаев, где х принадлежит |
к классу і, и |
|
если общее число наблюдений N, то можно определить частоту /у |
||
сделанных наблюдений в классе |
і : |
|
|
|
(2.Г) |
Ц и кл |
В ы ем ки |
|
|
|
ö: |
|
1 |
Сз |
|
I |
0 |
I1 |
g |
lg |
1 IS5 |
sЛ |
|
II |
И |
är |
Iej |
|
£ |
II |
|
С; |
t |
^ =3 |
|
|
||
Ü |
|
|
|
|
-о
^ s
Уст ройст во с о п р я ж е - к и я л а в ы с от ка т о ч - н ы м ш т р е ко м
Уст ройст во с о п р я ж е |
О бслуживание и пе |
||
н и я |
л а в ы |
с В ент ил я |
р е д в и ж к а зн е р го - |
ц и о |
н н ы м |
ш т р е ко м |
о б ор удова ни я |
$
<5Ö
§ g f t
Р е м о н т |
с л у ч а й н о |
В о з - |
Плановые ремонтно- |
н и к ш и х |
о т к а з о в |
о б о р у - |
профилактические |
д о в а н и я В пр о ц е ссе вы ем ки |
работы |
Рис. 5. Схема анализа процессов в очистном забое
По оси абсцисс (рис. |
6) |
откладываем частные объемы x t, |
|
х2, ..., Хі, ..., Хп |
и строим |
в |
& |
каждом интервале прямоугольник |
|||
площадью |
|
|
1 |
Гистограмма |
(рис. 6), |
или |
I |
плотность распределения (рис. 7), |
представляет полную информацию, собранную в течение одного наблюдения. Во многих задачах проектирования технологических процессов можно рассматривать среднее арифметическое и'дис персию' (рис. 8) как достаточную информацию для исследования отдельных операций процесса.
Законы распределения случайной величины и его свойства показаны на рис. 9, а, б, в, г.
Характеристиками случайной величины являются математиче ское ожидание, мода, медиана (рис. 10).
32
Рис. 6. Гистограмма |
Рис. 7. Плотность |
рас |
|
пределения |
|
Рис. 8. Дисперсия |
Рис. 9. Свойства функции |
|
распределения |
||||||
|
|
|
1Г |
|
|
|
|
> |
|
|
f i n ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,18 |
|
\ Г ~ 5 |
|
|
|
|||
|
0,14 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
1/ |
|
\ |
|
|
Х і -10 |
|
|
0,10 |
1 |
К |
|
|
к |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
Л |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
0,06 |
|
1 |
/ |
|
V |
|
||
|
0,02 |
- |
/ |
\к |
\ |
|
|||
|
|
|
|
|
ІО |
|
|
Ѵц, |
|
|
О |
|
5 |
' |
|
|
]5 |
п |
|
Рис. 10. Характеристики слу |
Рис. |
11. Закон |
|
|
|
Пуассона |
|
||
чайной величины: |
|
|
(для |
А./= 5 и W=10) |
|
М — мода; M e мёдйана
Распределение Пуассона (рис. 11). Случайная величина, кото рая принимает только неотрицательные целочисленные значения с вероятностью
РпЮ |
(kt)n |
(З.І) |
ft! |
называется распределенной по закону Пуассона, где е — основание натуральных логарифмов.
Эта формула дает вероятность того, что за время t произойдет
п событий. Величина |
А представляет собой среднее количество со |
|||||||||
|
|
бытий |
(испытании} за выбран |
|||||||
|
|
ную единицу времени. |
_ |
|
||||||
|
|
Здесь тп — kt, |
ап — \/ kt. |
|||||||
|
|
Закон |
Пуассона |
часто |
ис |
|||||
|
|
пользуется |
в изучении |
фено |
||||||
|
|
мена ожидания. |
|
|
|
рас |
||||
|
|
На |
рис. |
12 показано |
|
|||||
|
|
пределение |
заявок |
ка |
пере |
|||||
|
|
движку секций |
крепи в тече |
|||||||
|
|
ние 10 мин работы выемочной |
||||||||
|
|
машины, |
которое |
является |
хо |
|||||
|
|
рошей |
аппроксимацией |
|
рас |
|||||
|
|
пределения |
вероятностей |
.по |
||||||
|
|
закону Пуассона. |
|
Пуассона |
||||||
|
|
В |
|
распределении |
||||||
|
|
функция |
распределения |
изве |
||||||
Рис. 12. Распределение заявок на пере |
стна |
|
полностью, |
если извест |
||||||
движку секций крепи за |
10 мин работы |
но математическое |
ожидание. |
|||||||
комбайна |
|
При |
этом |
вероятность появле |
||||||
|
|
ния |
некоторого определенного |
значения можно получить непосредственно из таблиц для пуассо
новского распределения, приведенных |
в приложении (табл. 1). |
|||
Экспоненциальное распределение, |
Плотность распределения |
|||
существует и равна |
|
|
|
|
Ю |
при |
^ < 0 , |
(4.1) |
|
К0 = Ае' -и |
при |
* > 0 , |
||
|
где А — интенсивность возникновения события; t — время.
Экспоненциальное распределение служит достаточно хорошей аппроксимацией распределения времени безотказной работы вы емочных и доставочных машин и механизмов.
На рис. 13 показано распределение времени безотказной ра боты механизированной крепи в условиях 3-й южной лавы пл. /7 шахты «Пролетарская-Глубокая» комбината Макеевуголь, близкое к показательному.
Показательное распределение также полностью определено, если известно его математическое ожидание. Среднее квадрата
14
ческое отклонение этого распределения равно его математическому ожиданию:
ot = mt.
Нормальное распределение. Плотность распределения имеет вид
|
|
|
|
|
1 |
( х ~ тх У |
|
|
|
|
|
/(*) |
202 |
(5.1) |
|
|
|
|
|
ах у 2л |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где тх — математическое ожидание случайной величины; |
|
||||||
Ох — среднее квадратическое отклонение. |
|
||||||
На |
рис. |
14 показано рас |
|
|
|||
пределение |
сменного |
спроса |
|
|
|||
на пополнение |
резерва |
по |
|
|
|||
рожних вагонеток для |
очи |
|
|
||||
стного забоя |
шахты |
«Вер- |
|
|
|||
гелевская» (3-й восточной |
|
|
|||||
лавы |
пласта 1%). |
|
за |
|
|
||
Если в |
нормальном |
|
|
||||
коне |
распределения |
заме |
|
|
|||
нить переменную |
|
|
|
|
х — т х
= t ,
Ох
получаем функцию распре деления для нормально рас пределенной величины
P ( t ) d t = |
|
- i -І2d t |
(6.1) |
Р» |
* |
||
|
V' 2я |
|
|
ДЛЯ т х = |
О И 0 Х= |
I. |
|
Рис. 13. Распределение времени без отказной работы механизированной крепи
.0,20
Величины этой |
функции |
оід |
|
|
|
|
|
|||
приведены |
в |
приложении |
|
|
|
|
|
|
||
(табл. 2). |
|
распределе |
0,05 |
|
|
|
|
|
||
Нормальное |
|
|
|
|
|
|||||
ние симметрично по отноше |
|
|
|
|
|
|
||||
нию |
к |
математическому |
2 8 |
56 |
84 |
|
1/2 /4 0 |
/6 8 |
||
ожиданию тх (рис. 15). |
|
С менный |
спрос |
6а го н о б ,п |
|
|||||
Табл. 2 Приложения поз |
|
|
|
|
|
|
||||
воляет увидеть, |
|
что 68%, |
Рис. 14. |
Распределение |
сменного |
спроса |
||||
95% и 99% случаев множе |
вагонеток для |
очистного забоя |
||||||||
ства |
находятся |
в |
интервале |
|
закон |
встречается очень |
||||
±сгх, |
± 2 Ох и ±3а.г- вокруг тх. Этот |
часто.
Логарифмическое нормальное распределение. Если логарифм случайной переменной х следует нормальному закону, можно сказать, что х подчиняется логарифмическому нормальному закону.
15
На график но оси абсцисс наносим log(x— х0) — х„ будет кон стантой— и получаем кривую плотности распределения f(x) в виде нормального закона (рис. 16).
Математическое выражение этого закона
/ (х) dx ■ |
__________ 1_________ |
|Іог |
d x |
(7.1) |
|
(A' — А'о) <т, Iх 2л |
|
|
|
где т: — математическое ожидание |
случайной |
переменной |
2= |
|
= log(.v — х0) и öz |
ее среднее квадратическое |
отклонение. |
|
Рис. 15. Нормальный закон распределения
Логарифмический нормальный закон может быть применен, когда явление зависит одновременно от многих случайных пере менных.
Биномиальное распределение. Если имеется N деталей, из
которых А',, дефектных и А7(1 — Р) |
хороших, |
биномиальный закон |
|||||
|
позволяет узнать распределение |
дефект |
|||||
|
ных деталей в испытании, содержащем |
||||||
|
один тираж п деталей, |
взятых |
наугад, |
||||
|
(при условии, что п очень мало по срав |
||||||
|
нению с N). |
|
|
п независимых |
|||
|
Когда |
производится |
|||||
|
испытаний, в каждом из которых собы |
||||||
|
тие А может либо появиться, либо не по |
||||||
|
явиться, а вероятность Р появления со |
||||||
Рис. 16. Логарифмический |
бытия А в каждом |
испытании одна |
и та |
||||
нормальный 'закон плот |
же и вероятность |
наступления |
события |
||||
ности распределения |
А равна |
<7= 1—Р, то |
вероятность |
того, |
|||
|
что в п |
независимых |
испытаниях |
собы |
тие А осуществится ровно k раз и не осуществится n—k раз, вы числяется по формуле
|
|
р __ f ^ k p k |
n—k |
( 8 - Г ) |
|
|
|
! kn — |
Ч |
> |
|
'где СІ |
п\ |
число сочетаний из п по |
k. |
||
|
k \ '( i t - * k ) \
16 |
Л |
Приведенный биномиальный закон описывает распределение вероятностей числа появлений события А при испытаниях. Мате матическое ожидание равно пР, а среднее квадратичное откло
нение V пР( 1— Р) ■
На рис. 17 приведено биномиальное распределение для п= 15 и различных вероятностей Р.
Этот закон может быть подобен нормальному, если ге>20.
Рис. |
17. Биномиальный |
Рис. 18. Распределение х2 |
|
закон |
распределения |
|
|
(при |
/г=15 |
и Р = 0,05; |
|
|
0.1; |
0,5) |
|
Имея реальное распределение случайной величины х и теоре тическое распределение предполагаемого закона для их сопостав ления, наиболее часто используют критерий согласия Пирсона х2Статистически доказано, что степень расхождения при достаточ но большом і%практически не зависит от функции теоретического
закона распределения.
Приведенное на рис. 18 распределение объемов у} зависит только от «степени свободы» распределения, число которых г равно числу разрядов k минус число независимых условий («свя зей») S. Параметрами этих условий могут быть:
а 2 |
Пі (Xj —- тху |
|
N — 1 |
По г и X2 с помощью табл. 3 Приложения определяется вероят ность того, что величина, имеющая распределение %2 с г степенями свободы, будет, находиться в интервале х2 и yj. Если эта вероят
ность мала (мы выходим за пределы интервала), гипотеза о рас пределении случайной величины по■принятому'закону от&расывается как неправдоподобная.
•17
ЧИТА/, •»' О Г 0 З А Л А I
Числовой пример. Определить минимальное число рабочих по передвижке, стоек во время спуска комбайна, если известно, что нормапередвижки на одного рабочего составляет 24 стойки за 1 ч, а по графику работ каждая стойка должна быть передвинута
не более чем за |
1 мин. |
частичные |
хронометражи |
||||||
С этой |
целью |
были использованы |
|||||||
30 наиболее |
быстрых спусков: |
|
|
|
|
|
|
|
|
п —число на передвижку стоек в одну минуту . . |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
||
Л ’ і —число наблюдаемых с л у ч а е в ........................ 702 |
977 |
710 |
402 |
153 48 |
8 |
||||
п — случайная |
величина, зависящая |
|
от скорости |
спуска |
ком |
байна; БЛ/,-= 3000.
Предполагаем закон Пуассона в связи с тем, что мы имеем
.здесь исследование феномена ожидания момента передвижки стоек.
Математическое ожидание составит
0 X 702 + 1 X 977 + 2 X 710 + 3 X 402 4- 4 X 153 + 5 X 48 + 6 X 8
JTlfj = ■----------- --------------- -------------------------------------------------— ==
3000
= 1,5.
Общее уравнение закона Пуассона:
еm N \ m N t ) n
|
|
|
|
Р,М) |
п \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РпѴ) |
е - 1,5.! |
5« |
|
|
|
|
|
|
|
|
п\ |
|
|
|
|
|
Подсчитаем |
"теоретическое |
множество |
АС, |
соответствующих |
||||||
-этому закону: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
N \ = N P n( 1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л . . . . |
. . . |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
6 |
|
,Р„(1) . . . . . 0,224 |
0,335 |
0,252 |
0,125 |
0,047 |
0,014 |
0,003 |
||||
JV '..................... |
672 |
1005 |
756 |
375 |
141 |
42 |
92.Л1І = 3000. |
|||
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 > |
Сравним теперь теоретическое и реальное множества с по- |
||||||||||
м о щ ь ю |
y f : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-N \1 |
|
|
|
|
( » i - K |
1 п |
|
|
N i |
|
N l ~ N 'i |
( N i |
ы ’і У |
■ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 't. |
0 |
|
702 |
|
672 |
30 |
|
900 |
1,33 |
||
1 |
|
977 |
|
1005 |
— 28 |
|
784 |
0,78 |
||
2 |
|
710 |
|
756 |
—46 |
|
2116 |
2,79 |
||
3 |
|
402 |
|
375 |
27 |
|
729 |
1,94 |
||
4 |
|
153 |
|
141 |
12 |
|
144 |
1,02 |
||
5 |
|
|
48 |
|
42 |
6 |
|
|
36 |
0,85 |
6 |
|
|
8 |
|
9 |
—1 |
|
|
1 |
0,11 |
**• |
|
|
• |
< |
|
|
|
72 = |
8,82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S 8 |
\ . С |
* |
4 - |
» Л * |
|
|
|
|
|
|
% * |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X2 по табл. 3 Приложения до 5% |
|
r = k - s = 7 - 2 = 5; |
%г = .11,0 |
s = 2; |
Ь —5,99. |
Подсчитанный %2 находится в интервале %2Г и Xs’. чт0 дает, нам
основание считать закон Пуассона достаточно близким к нашим расчетам с параметром тх = 1,5.
Необходимое и достаточное число наблюдений. Для 95% дове рительного интервала необходимым и достаточным числом наблю дений будет
N = |
40 000а; |
(9.1) |
s* m \
где S — заданная точность результатов в %.’
Некоторые методы наблюдений сопровождаются переменной, имеющей только два состояния: например, анализ машины при остановке или в движении. Для изучения подобных вопросов можно использовать мгновенный метод наблюдений: по таблице случайных чисел (приложение, табл. 4) определяем время проведе ния замеров и записываем Х= 0 — «остановка машины» или Х =
—1— «машина в работе».
Если N общее число наблюдений, то
N --= пг -\- п2,
где пI — число остановок; п2 — число движений.
Математическое ожидание переменной х определит степень использования механизма:
а среднее квадратичное отклонение составит:
ПіП2 |
тх) |
= Ѵ ~ т х ( \ |
- V / N2
В этом случае необходимым и достаточным числом замеров для доверительного интервала 95% будет
N =■ 40 000(1 — т х ) |
(10.1) |
s2mr |
|
Например, при оценке степени использования машины был проведен анализ 40 случайных наблюдений. Он показал 10 остано вок и 30 раз машина работала.
19
Определяем ориентировочно |
математическое ожидание |
тх— |
|||
= 0,75 и необходимое число |
наблюдений |
с |
точностью до |
5% |
|
и степенью доверия 95 %’: |
|
|
|
|
|
дг _ 40 000(1 — т х) |
_ |
40 000-0,25 |
_ |
^ |
|
s2m x |
|
25-0,75 |
|
|
|
Краткие сведения из теории массового обслуживания (теории очередей). Процесс массового обслуживания характеризуется двумя основными понятиями: во-первых, обслуживать необходимо требования или заявки (требование на ремонт оборудования лавы, на передвижку секций крепи и пр.); во-вторых, обслуживание про изводится аппаратом (ремонт выполняется электрослесарем или группой электрослесарей, передвижка секций крепи — рабочими очистного забоя и пр.).
Время обслуживания во многих случаях являтся неопреде ленным. Возможно образование очереди заявок в ожидании об служивания.
Совокупность очередей и аппаратов составляет обслуживаю щую систему.
Большинство задач горного дела, решаемых по теории массо вого обслуживания, относится к процессам, непрерывным во времени, но дискретным в пространстве.
Математическое описание системы массового обслуживания состоит прежде всего в описании потока заявок и времени обслу живания Наиболее важную роль играют предположения о пуас соновском характере потока заявок и об экспоненциальном времени обслуживания. Такая модель позволяет принимать аппа рат теории марковских случайных процессов для вывода системы линейных дифференциальных уравнений, решение которых при водит к получению стандартных формул теории массового обслу живания [12, 13, 14, 15, 16].
§ 3. Способы моделирования процессов выемки угля
Невозможно дать в небольшом разделе полное описание всех методов, используемых при проектировании технологических про- 'цессов, оптимизации работы отдельных звеньев или операций и решении задач по организации работ очистной выемки угля.
Общее направление при решении задачи состоит в перемеще нии проблемы из реального мира в фиктивную область. При перемещении мы получаем так называемую модель.
Существует 4 способа моделирования, содержащих своеобраз ные методы решения: схематическое представление: математиче ские методы; моделирование; теория графов.
Схематическое представление задачи включает все, что можно изобразить в виде диаграмм, графиков или схем. Их применение чрезвычайно разнообразно при изучении отдельных процессов или их элементов. Чаще всего используются сводные графики цирку-
20